专题02 函数及其性质（期末复习讲义）（原卷版及全解全析）

④函数或函数．·示例：已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.【答案】【解析】函数（）是偶函数，，，易得，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以，所以函数的值域为．故答案为：．知识点04函数的对称性与周期性函数的对称性(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．(3)若，则函数关于对称．(4)若，则函数关于点对称．2.函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.对称性与周期性解题技巧方法：对称性：（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．对称性与周期性关系：（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.·示例：（多选题）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（

）A．是奇函数 B．C．的图象关于直线对称 D．【答案】ABD【解析】对于选项，∵是偶函数，∴，∴函数关于直线对称，∴，∵，∴，∴是奇函数，则正确；对于选项，∵，∴，∴,∴的周期为，∴，则正确；对于选项，若的图象关于直线对称，则，但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；对于选项，将代入，得，将，代入，得，同理可知，又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，∴，则正确.故选：ABD.知识点05简单幂函数及其性质幂函数的定义一般地，(为有理数)的函数，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底数为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自变量，幂为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因变量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指数为常数的函数称为幂函数.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减·示例：已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（

）A． B．或 C． D．【答案】A【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递减，则.故选：A题型一复杂函数的定义域或值域解｜题｜技｜巧一、复杂函数定义域解题技巧：分式+根式混合型：这类函数同时含分母不为零、偶次根式下非负的约束，需逐一列出条件再求解不等式组；复合函数型:核心原则是“内函数的值域是外函数的定义域”，解题分两步：第一步由外函数定义域确定内函数的取值范围；第二步根据内函数范围反求自变量x的范围。二、复杂函数值域解题技巧：配方法（二次函数及相关复合函数）：适用于含二次式的函数，通过配方转化为顶点式，结合定义域求最值；换元法（根式、高次混合型）：针对含根号的复杂函数，通过换元简化为熟悉函数；分离常数法（分式函数）：适用于分子分母为同次整式的分式函数；分段函数值域：分段求各区间的值域，最终取所有区间值域的并集。易｜错｜点｜拨忽略复合函数定义域逻辑、换元后忽略新变量范围、含参函数漏分类讨论、结果表达不规范、分段函数值域求并集而非交集。【典例1】(25-26高一上·河北邢台质检联盟·期中)已知函数fx2的定义域为x∣−2≤x≤2，则函数fxA．−1,1 B．(−1,1)C．−4,0)∪(0,4 D．−4,−1)∪(−1,4【答案】A【分析】根据fx2的定义得【详解】因为函数fx2的定义域为x∣−2≤x≤2，所以所以fx的定义域为−1,1故函数fxx+1中的x需满足−1≤x≤1,x+1≠0,故函数fxx+1的定义域为故选：A.【典例2】(25-26高一·福建福州某校·月考)若函数fx的定义域为0,5，则函数gx=A．1,2 B．1,2C．1,2 D．−【答案】C【分析】根据复合函数定义域的求法求解.【详解】因为函数fx的定义域为0,5则对于函数gx=f2x+1x−1所以函数gx=f故选：C【变式1】(25-26高一上·广东佛山顺德区国华纪念中学·月考)若函数f(2x−1)的定义域为[34,74A．{12} B．(12,【答案】D【分析】利用抽象函数的意义求出函数f(x)的定义域，进而求出目标函数的定义域.【详解】由函数f(2x−1)的定义域为[34,74因此在函数f(x)中12≤x≤52，由函数解得12≤x<52，所以故选：D【变式2】(19-20高一上·重庆巴蜀中学·月考)已知函数f(2−x)=4−x2，则函数fA．[0,+∞) B．0,16 C．0,4 D．0,2【答案】B【分析】根据同一个函数f括号内的范围必须相同.由4−x2≥0,解得−2≤x≤2,即可求得2−x值域,即函数f(x)的定义域为[0,4].再令x【详解】∵4−x2即f(2−x)的定义域为:{x|−2≤x≤2}则2−x∈[0,4]∵根据同一个函数f括号内的范围必须相同∴函数f(x)的定义域为[0,4].∴fx中x∈[0,4]故选:B.【点睛】本题考查了复合函数的定义域问题,注意函数定义域指的是x范围,而函数题目中同一个函数f括号内的范围必须相同,这是连接两个函数的桥梁.【变式3】(25-26高一上·浙江嘉兴海宁高级中学·期中)函数fx=1−2xA．−∞,−1 B．−∞,−12【答案】D【分析】令t=1−2x≥0，则t2=1−2x，可得x=1−【详解】令t=1−2x≥0，则t2所以fx因为二次函数y=12t当t≥0时，y=12t2+t−故选：D.【变式4】(25-26高一上·广东广州执信中学·期中)函数y=1−x+1−2x的值域为（

A．−∞,12 B．0,+∞ 【答案】C【分析】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域.【详解】令t=1−2x≥0，可得t2所以y=1−x+1−2x因为函数y=12t2+t+即函数y=1−x+1−2x的值域为1故选：C.题型二判断是否属于同一函数答｜题｜模｜板当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．易｜错｜点｜拨未判断定义域，只判断了对应法则。【典例1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）．A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误；对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误；对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误；故选：C【变式1】下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误，故选：.【变式2】下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．，B．C．，D．，，0，，，，0，【答案】D【解析】对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于B：，，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于D：对应点的坐标为，，，对应点的坐标为，，，两个函数对应坐标相同，是同一函数，故选：D．题型三分段函数运用（结合其它章节的函数）答｜题｜模｜板分段函数与一次/二次函数结合：先根据题干条件确定分段节点（如售价区间、人数分界等）；再在每个区间内建立一次或二次函数表达式；最后结合一次函数单调性、二次函数配方法求各段最值，最终整合所有区间结果。分段函数与函数单调性结合：保证每段函数自身单调，如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的关系；确保分段点处满足单调性，递增则左段最大值≤右段最小值，递减则左段最小值≥右段最大值；联立不等式组求解参数范围。易｜错｜点｜拨忽视分段点处的函数值衔接、分段函数与二次函数结合时忽略区间限制、实际问题中遗漏隐含分段条件、参数范围求解时漏条件。【典例1】(25-26高一上·河北保定部分校·)已知函数fx=1x−2，x<2，A．[2,+∞） B．C．1,2 D．[1,+【答案】A【分析】由换元法进行，将方程转换为ft【详解】令fa+2=t，由ff当t≥2时，t−22=t−2所以a<2，1a−2≥0，当t<2时，ft=1t−2，则所以a的取值范围为[2,+∞）故选：A．【典例2】(25-26高一上·北京育英中学·期中)已知函数fx=−x−12A．−∞,1−2C．−∞,1−2【答案】D【分析】利用数形结合，作出两个函数图象，再对其定义域讨论分析即可.【详解】作出函数ℎx

可求得两图象交点坐标分别为1,1,当ℎx=−x−1所以当a=1−2时，由ℎx=−x−12但是当a<1−2时，由ℎx=−x−12而此时gx=x−3−1在定义域此时不满足题意，故AC错误；又当gx=x−3−1=1再当a=5时，gx=x−3−1在定义域而ℎx=−x−12+1此时满足题意，故B错误，D正确；故选：D.【变式1】(20-21高一上·河南洛阳·期中)已知函数fx=x+1,x≤0lgx,x>0若存在互不相等的实数a，b，c，d满足|fa|A．(0,+∞) B．(-2,+∞) C．2,8110 【答案】D【解析】画出函数fx图象，根据图象结合对称性知a+b=−2，c+d=d+1d【详解】fx=x+1,x≤0lgx,x>0fa=f不妨取a<b<0<c<1<d，根据对称性知a+b=−2，−lgc=lgc+d=d+1d，d∈1,10，故d+故选：D.【点睛】方法点睛：数形结合是解决函数问题的重要方法，画出图象根据图象性质结合对称性和双勾函数的性质是解题的关键.【变式2】(19-20高二·山东枣庄第三中学·)已知函数f(x)=x2+(4a−3)x+3a,x<0loga(x+1)+1,x≥0（a>0且a≠1）在A．0,23 B．13,34【答案】D【解析】由减函数可知f(x)在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出y=|f(x)|和y=2−x3的图象，根据交点个数判断3【详解】∵f(x)是R上的单调递减函数，∴y=x2+(4a−3)x+3a在(−∞,0)且f(x)在(−∞,0)上的最小值大于或等于∴3−4a2≥0作出y=|f(x)|和y=2−x∵|f(x)|=2−x∴3a<2，即a<2综上，13故选：D．【点睛】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．【变式3】(18-19高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数fx=x+1,0≤x≤112sinπ4x+A．a>22 B．22<a<3 C．3<a<2【答案】D【分析】这是一个复合函数的问题，通过换元t=fx【详解】由题可知，当x∈0,1时，f当x∈1,4时，所以当x∈0,4时fx∈1,2，令从而问题转化为不等式t2−at+2<0在即a>t2+2问题转化为求函数y=t+2t在又因为y=t+2t在1,2上先减后增，即：1,2所以y=t+2t≤1+2=3故选:D.【点睛】本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求出最值，同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力.【变式4】(19-20高一上·湖南常德临澧一中·)已知函数fx=   1−|x| A．[ −2 C．[ −2 【答案】D【分析】画出fx的图像，根据f(f(m))≥0求得f(m)的取值范围，再结合图像求得m【详解】画出函数图像如下图所示，由于f(f(m))≥0，结合图像可知fm∈−1,1∪3,+∞，且f−2=f2=−1，f0=1，令x故选D.【点睛】本小题主要考查分段函数图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.题型四复合函数“同增异减”运用答｜题｜模｜板一、求复合函数值域（结合单调性求最值）1.分解函数并求定义域，判断复合函数的单调性；2.计算单调性区间端点对应的函数值，即为值域的边界值。二、求含参复合函数的参数范围（进阶题型）1.分解含参复合函数，明确参数对内外层函数单调性的影响；2.根据题干中复合函数的单调性要求，列出内外层函数单调性的匹配条件；3.结合定义域等隐含条件，联立不等式组求解参数。易｜错｜点｜拨混淆内外层函数的自变量与中间变量、多层复合函数漏层分析、含参复合函数漏讨论参数对定义域的影响、误将外层函数定义域当作复合函数定义域。【典例1】(25-26高一上·辽宁营口九师联盟·期中)函数fx=3A．−∞,56 B．56,+【答案】D【分析】先求出二次函数的定义域，再根据复合函数的单调性原则求单调性即可.【详解】由题意知3x2−5x−2≥0，解得x≥2令μ=3x2−5x−2则μ=3x2−5x−2在−又y=u是增函数，所以fx=故选：D.【典例2】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)函数y=1x2A．−∞,2 B．−∞,0 C．【答案】D【分析】利用复合函数的单调性判断即可.【详解】由题可得：x2−4x>0，解得：x<0或x>4，所以函数y=1令μx=x2−4x，则μ则y=1μ在0,+∞上单调递减；结合复合函数单调性可得函数y=故选：D【变式1】(24-25高一上·福建福州十校·期中)函数y=−x2A．52,+∞ B．1,52 【答案】C【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可.【详解】由−x2+5x−4≥0所以函数y=−x2令u=−x2+5x−4u=−x2+5x−4在52,4上单调递减，在1,所以函数y=−x2故选：C.【变式2】下列结论正确的是（

）A．函数fx=B．函数fxC．函数fx=D．函数fx=【答案】C【分析】根据反比例函数、二次函数以及分段函数的单调性，结合图形，依次判断即可求解.【详解】对A，由x2−1>0，解得x<−1或则函数f(x)=1x2−1的定义域为所以函数的单调增区间为(−∞对B，fx函数的定义域为−∞,−12∪−12但不能说fx对C，函数f(x)=x所以函数f(x)的单调增区间为(−1,0),(1,+∞)，单调减区间为对D，当x<0时，函数fx=−x所以f(x)的单调减区间为−2,0，又当x>1时，fx=−2x+1故选：C【变式3】函数y=16−5x−xA．−52,+C．−52,1和1,+【答案】C【分析】令t=−x2−5x+6【详解】设t=−x2−5x+6，则有x≠−6t=−x2−5x+6=−所以函数y=16−5x−x2的定义域为：由二次函数的性质可知t的单调递增区间为：−∞,−6，−6,−5又因为y=1t在区间−∞由复合函数的单调性可知：函数y=16−5x−x2的单调增区间为：故选：C.【变式4】已知函数fx=4−x2，若0<x1<xA．fx1xC．fx3x【答案】C【分析】构造gx=fxx【详解】设gxy=x为0,+∞上为增函数，y=4根据复合函数单调性得gx=f若0<x则fx故选：C．题型五定义法证明函数单调性+最值/参数求解答｜题｜模｜板一、定义法证明函数单调性：在区间D内任取两个自变量x1,x2，且规定x1<x二、结合单调性求最值/参数范围：证明单调性后，可利用“单调函数在区间端点处取得最值”的性质求解最值，或根据单调性的约束条件求参数范围，核心是“单调性结论→不等关系→求解”。易｜错｜点｜拨作差后变形不彻底，无法判号、求最值时忽略区间“开闭”、含参函数漏“恒成立”条件。【典例1】(25-26高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中)已知函数f(x)=(3a−1)x+4a,x<1x2−ax+6,x≥1满足：对任意x1,x2∈RA．[2,+∞) B．(13,2] 【答案】C【分析】根据给定条件，利用定义确定函数f(x)的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解.【详解】对任意x1,x2∈R，当x1≠因此3a−1>0a2≤1所以实数a的取值范围是(1故选：C【典例2】(25-26高一上·湖北黄冈·期中)已知fx是定义在区间−1,1上的奇函数，且f1=−1，若a,b∈−1,1,a≠b时，有fa−fba−bA．−∞,−4∪C．−∞,−4∪【答案】A【分析】先判断的单调性，求得fx的最大值，化简不等式fx≤【详解】已知fx在−1,1上是奇函数，且f1=−1fa−fba−b<0,由奇函数性质得f−1=−f1不等式fx≤m即m2−5mt+4≥0,∀t∈−1,1当m>0时，ℎt递减，最小值在t=1m2得m≤1或m≥4，结合m>0得0<m≤1或m≥4，当m<0时，ℎt递增，最小值在t=−1m2得m≤−4或m≥−1，结合m<0得m≤−4或−1≤m<0，当m=0时，ℎt≡4≥0成立，取并集得：故选：A【变式1】(25-26高一上·广东广州天天向上联盟·期中)已知定义域为R的函数fx满足：∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有fA．−∞,0 B．0,+∞ C．−【答案】B【分析】构造gx=fx+x，根据题意分析可知gx在定义域R【详解】构造gx因为∀x1，x2∈R，可得fx1+x1又因为f1=2，则对于fm+1>2−m，则fm+1可得m+1>1，即m>0，所以实数m的取值范围为0,+∞故选：B.【变式2】(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·)定义在0,+∞上的函数fx，满足对任意x1,x2∈0,+∞，且xA．1,2 B．0,2 C．1,+∞ D．【答案】A【分析】不妨设x1>x2>0，则由x2f【详解】由题意，不妨设x1则由x2fx则x2所以fx令gx=f所以函数gx在0,+由f1=1，得由fx−1>2x−3，得因为函数fx的定义域为0,+∞，所以所以fx−1+1x−1所以x−1>0x−1<1，解得1<x<2所以不等式fx−1>2x−3的解集为故选：A.【变式3】(25-26高一上·广东江门鹤山纪元中学·期中)已知函数f(x)=ax+bx，其中a，b为常数，且f(1)=5，(1)求a，b的值；(2)利用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0,2)上是减函数；(3)求函数f(x)在区间[1【答案】(1)a=1,b=4；(2)证明见解析；(3)最大值为172，最小值为4【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求解即得.（2）利用减函数的定义推理得证.（3）利用（2）的结论，求出函数在指定区间上的最值.【详解】（1）函数f(x)=ax+bx，由f(1)=5,f(2)=4，得a+b=52a+所以a=1,b=4.（2）由（1）得fx=x+4则f(x由0<x1<x2<2，得则(x1−所以函数f(x)在区间(0,2)上是减函数.（3）由（2）得函数f(x)在区间[1则当x=2时，f(x)min=4，当x=所以函数f(x)在区间[12,2]上的最大值为17【变式4】(25-26高一上·广东广州第四中学·期中)已知函数fx=x(1)判断函数的单调性，并用定义证明；(2)解不等式：fx【答案】(1)增函数，证明见解析；(2)2,+【分析】（1）任取x1,x2∈0,+∞（2）由已知条件可得出fx【详解】（1）函数fx=x任取x1,x2∈f=x因为x1>x2>0∴fx1−f所以函数fx=x（2）由（1）可知函数fx=x2−因此由fx>0=f2因此，不等式fx>0的解集为题型六函数单调性、奇偶性与不等式结合的综合运用答｜题｜模｜板单调性与奇偶性的核心作用：奇偶性定“对称”（将非对称区间的变量转化到对称区间，如f(-x)转化为±f(x)）；单调性定“大小”（去掉函数符号时保持不等号方向或反向）。结合不等式时，需先明确函数性质，再分步转化求解。核心解题思路是“性质转化→不等式化简→求解验证”，即先利用奇偶性转化变量范围，再结合单调性去掉函数符号，最终转化为常规不等式求解。易｜错｜点｜拨忽略奇偶性对单调性的区间限制，盲目去符号、混淆奇函数与偶函数的单调性联动规律、含参函数未用奇偶性先定参，直接分析单调性、误用“f(0)=0”的条件，忽略奇函数在x=0处有定义。【典例1】(25-26高一上·广东中山迪茵公学·期中)设偶函数fx的定义域为R，当x∈0,+∞时，fx是减函数，则A．f−3>f−C．f2π<f【答案】C【分析】由偶函数的性质和单调性可解.【详解】因为fx是定义域为R所以f−5=f又当x∈0,+∞时，fx所以f2故选：C.【典例2】(25-26高一上·河北定州·调研)已知定义在R上的偶函数fx满足：∀x1,xA．−14,+C．−∞,−3【答案】C【分析】根据函数单调性定义以及函数奇偶性可得不等式1−x<【详解】由x1fx1+x2又由偶函数性质知f1−x<f3x+2即1−x2<3x+2解得x>−14或所以原不等式的解集为−∞故选：C．【变式1】(25-26高一上·北京第八中学·期中)已知定义在R上的函数fx满足下列条件：①f−2=0，②f−x−fx=0，③对∀x1，xA．−∞,−2∪C．−2,0∪2,+∞【答案】C【分析】依题意可得fx为偶函数且在0,+∞上单调递减，即可得到函数【详解】由②f−x−fx=0，即由①f−2=0，则由③对∀x1，x2∈0,+可得fx在0,+∞上单调递减，所以fx所以当−2<x<2时fx>0，当x<−2或x>2时所以不等式fxx<0，等价于x>0解得x>2或−2<x<0，即不等式fxx<0故选：C【变式2】(24-25高三上·河北部分校·)已知fx是定义在实数集R上的函数，在0,+∞内单调递增，f2=0，且函数fx−1关于点1,0A．−∞,−2∪C．−∞,−1∪【答案】C【分析】先根据fx−1的对称性判断出fx的奇偶性，再结合【详解】因为fx−1关于点1,0函数fx的图象是由函数f所以函数fx的图象关于原点0,0对称，所以函数f所以f−2=−f2=0且当x>0时，要使得不等式xf1−x<0成立，则根据函数fx的单调性，可得1−x<−2或0<1−x<2解得x>3或−1<x<1，又x>0，所以x>3或0<x<1；当x<0时，要使得不等式xf1−x<0成立，则根据函数fx的单调性，可得−2<1−x<0或1−x>2解得1<x<3或x<−1，又x<0，所以x<−1.综上可得不等式的解集为−∞,−1∪故选：C.【变式3】(25-26高一上·福建厦门外国语学校·期中)已知函数fx的定义域为R，满足fx+4=A．f−1=0 B．f(0)=0 C．f2【答案】A【分析】由fx+4=f−x得到fx+2【详解】因为函数f2x+1为奇函数，则f所以f1−x所以fx+2又fx+4=f所以f2−x=−f−x则fx+4故函数fx是以4因为函数Fx=f2x+1所以f3所以f−1其它三个选项条件不足无法计算，故选：A.【变式4】(25-26高一上·江苏南通·期中)已知偶函数fx的定义域为−∞,+∞，对任意的x1,x2∈A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．c<b<a【答案】C【分析】根据给定条件，利用单调性定义确定函数单调性，再利用单调性、偶函数性质比较大小.【详解】由对任意的x1,x2∈−∞由fx是R上的偶函数，得f(x)在(0,+∞)因此f(1)>f(2)>f(2)=f(−2)，所以a,b,c的大小关系为故选：C题型七函数对称性与周期性答｜题｜模｜板（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.【典例1】（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数和的导函数分别是和，若，，且是奇函数，则下列结论正确的是（

）A． B．的图像关于点对称C． D．【答案】ABD【解析】因为是奇函数，所以．因为，所以，所以，则正确；因为，所以，所以，因为，所以，则的图像关于点对称，则B正确；因为，所以，所以（为常数），所以（为常数）．因为，所以．令，得，所以，则．因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以，即是周期为4的周期函数．因为，所以，所以，所以，即是周期为4的周期函数．因为，所以，，所以，，，则，，故，，即C错误，D正确.故选：ABD.【变式1】（多选题）（2024·河北·统考模拟预测）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（

）A．4为函数的一个周期 B．函数的图象关于点对称C． D．【答案】ABC【解析】由得，由求导得，又得，所以，所以，所以，所以，所以4为函数的一个周期，A正确；，故，因此，故函数的图象关于点对称，B正确，在中，令由得为常数，故，由函数的图象关于点对称，，因此，所以由于的周期为4，所以的周期也为4，由于，所以，，所以，故C正确，由于,故D错误，故选:ABC【变式2】（多选题）（2024·山东滨州·统考二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（

）A．的图象关于点对称 B．8是的一个周期C．一定存在零点 D．【答案】ACD【解析】对于A,由于的图象关于点对称，所以，故，所以的图象关于点对称，故A正确，由得，令所以，故为偶函数，又的图象关于点对称，所以，又，从而，所以的图象关于对称，对于C,在中,令，所以，由于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得在有零点，故C正确对于D,由于的图象关于对称以及得，又，所以，所以是周期为8的周期函数，，故D正确，对于B，，所以8不是的周期，故选：ACD题型八与幂函数有关的复杂函数的不等式解集或参数答｜题｜模｜板1.幂函数与其他函数结合的不等式解集求解：先确定复合函数的定义域，再将不等式转化为“幂函数的最简不等式”，结合单调性求解。2.含参幂函数的参数范围求解：先根据“幂函数定义”确定参数的初步范围，再结合单调性进一步缩范围。3.含参幂函数不等式恒成立求参：将不等式转化为“参数与函数最值的关系”，如(a≤xα−1)易｜错｜点｜拨避坑关键：定义域优先、单调性分区间、参数分离看符号、平方保证非负。【典例1】(25-26高一上·湖北襄阳第四中学·期中)已知幂函数fx=m2+m−1⋅xm+1在0,+∞A．−∞,1 B．12,1 C．【答案】C【分析】先根据幂函数的概念和单调性求m的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可.【详解】因为幂函数fx=m所以m2+m−1=1m+1>0⇒m2+m−2=0m+1>0又幂函数y=x12所以(2−a)12>(2a−1)12⇒故选：C【典例2】设函数fx=x3x，若关于x的不等式fA．0,2 B．2,+C．0,8 D．8,+【答案】D【分析】由函数的奇偶性及解析式可得f2x2+m>f【详解】∵f−x=−x∴fx是奇函数，故f2x∵16=84∴f2当x>0时，fx=x3结合奇函数对称性，知fx在R上为增函数，故2∴Δ=82故选：D【变式1】(24-25高三上·辽宁丹东敬业实验高级中学·期中)已知函数fx=(x−2)35+1，对于任意的t∈−1,2A．−∞,−2 B．−∞,−10 C．【答案】A【分析】令gx=x【详解】令gx=x所以不等式f2t+fa+t即g2t−2+ga+t−2≤0，因为所以g2t−2≤−ga+t−2所以a≤−3t+4在t∈−1,2上恒成立，则a≤−2即实数a的取值范围是−∞故选：A【变式2】(21-22高一上·上海徐汇中学·月考)①函数值域为[0,+∞)；②函数为偶函数；③函数在[0,+∞)上fx1−fx2x1−x2>0恒成立；④若任意x1≥0,A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】分别作出①y1=2x−1；②y2=12【详解】分别作出①y1=2x−1；②y2=由图知，四个函数的值域都是0,+∞都满足①由图知：①y1=2x−1；②y2=12x；③y3=x2图象关于y条件③：函数在0,+∞上fx1−fx2x1−x2>0恒成立；由函数单调性的定义可知：函数在0,+∞上单调递增，由四个函数图象可知，①y1=2x对于条件④：函数①y1=2x−1：如图任意x1≥0,x函数③y3=x2：如图任意x1≥0,x2所以同时满足以上四个条件的函数有函数①y1=2x−1、函数故选：C【变式3】在y=2x,y=x2,y=xA．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【分析】由不等式fx【详解】由不等式fx函数y=2x的图象在函数y=x2的图象在函数y=x12函数y=log2x故选B.【点睛】本题考查上利用数形结合思想求解问题，理解不等式所表达的图象特征是快速求解本题的关键，考查逻辑推理能力和直观想象能力.【变式4】已知函数fx=−xA．−∞,−2∪C．−2,2 D．−【答案】B【分析】fx是R上的奇函数且在−∞,+【详解】由于fx的定义域为R，且f−x=−又因为y=−x3,y=−x则fx在R从而不等式f3+f−x2此即2<x2，即x−2故选：B. 期末基础通关练（测试时间：10分钟）1.(25-26高三上·江苏镇江第一中学、镇江中学·)函数f(x)=1+x3+A．(0,5] B．(0,10] C．【答案】D【分析】首先求出函数的定义域，令y=f(x)=1+x3+4−x3【详解】令f(x)=1+x3+4−所以函数的定义域为−1,2则y2=5+24+3因为−1≤x≤223所以4+3则4+3x3−显然y>0，所以y∈[5,10故选：D2.(17-18高一·四川眉山眉山中学·月考)已知函数f(x)=3x−1,x<1x2,x≥1，则满足f(f(a))=fA．5−56∪23,+∞ 【答案】A【分析】采用换元法，令fa=t，结合函数定义域对t进行分类讨论，求出t值或范围，反算对应【详解】令fa=t，则ft=t2，当t<1时，则若a<1，则3a−1=3−52,a=5−当t≥1时，t2=t2成立，由fa≥1，即3a−1≥1a<1综上可知得a的范围是a≥23或故选：A.3.(25-26高一上·河南名校大联考·期中)已知fx+1是定义在R上的奇函数，且fx在R上单调递增，则不等式4−xA．−1,2 B．−1,0C．−∞,1∪【答案】D【分析】由奇函数的性质得f1=0，由fx在R上单调递增得x>1时，fx>0【详解】由函数fx+1是定义在R上的奇函数，则f令x=0得f1=−f1又fx在R上单调递增，所以x>1时，fx>0；当x<14−x2fx<0所以−2<x<2x<1或x<−2或x>2x>1，所以则不等式4−x2f故选：D.4.(17-18高一上·陕西西安第一中学·期中)已知f(x)=3x12，若0<a<b<1A．f(a)<f(b)<f1a<fC．f(a)<f(b)<f1b<f【答案】C【分析】根据f(x)=3x12【详解】解：因为函数f(x)=x12所以f(x)=3x12又0<a<b<1∴f(a)<f(b)<f1故选：C．期末重难突破练（测试时间：10分钟）1.(25-26高一上·江苏盐城五校联考·期中)已知实数t≠0，函数f(x)=2x+t,x<1,−x−2t,x≥1,若f(1+3t)=f(1−2t)，则tA．−37 B．−32 【答案】A【分析】根据给定的分段函数，按t>0,t<0分段判断代入列式求解.【详解】当t<0时，1−2t>1，1+3t<1，由f(1+3t)=f(1−2t)，得−(1−2t)−2t=2(1+3t)+t，解得t=−37，则当t>0时，1−2t<1，1+3t>1，由f(1+3t)=f(1−2t)，得2(1−2t)+t=−(1+3t)−2t，解得t=−3所以t的值为−3故选：A2.(21-22高一上·江苏常州第一中学·期中)若函数则fx=1−xA．−∞,−3 B．−∞,−1 C．【答案】D【分析】首先利用二次函数的性质判断t=x2+2x−3【详解】令t=x2+2x−3=(x+1)2∴t在[1,+∞)上递增，在又g(t)=1−t∴f(x)=1−x2+2x−3故选：D3．(25-26高一上·山东青岛第十九中学·期中)设fx是定义在−∞,0∪0,+∞上的奇函数，对任意的x1,xA．−∞,3 C．−∞,−3∪【答案】C【分析】根据题意可设gx=fxx，结合fx的奇偶性判断gx的奇偶性，再结合题设判断g【详解】由题意可设gx=fxx则g−x=f−x−x对任意x1,x2∈∴fx1x1又gx是偶函数，故gx在−∞当x>0时，fx>5x，即fx∴0<x<3；当x<0时，fx>5x，即fx∴x<−3，综上，不等式fx>5x的解集为故选：C.4.(25-26高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中)已知函数fx=x(1)求实数m的值；(2)根据函数单调性的定义证明fx在区间1(3)若x∈−1,3，求f【答案】(1)m=−1；(2)证明见解析.(3)fxmin=−【分析】（1）由f2=1，代入函数解析式，求实数（2）定义法证明fx（3）由函数单调性求区间内函数的最值.【详解】（1）由f2=4+2m−1=1，得（2）由（1）可知，fx任取12<xx1−x2<0，x所以fx在区间1（3）由二次函数的性质，fx=x2−x−1f−1=1，f1所以x∈−1,3时，ffx期末综合拓展练（测试时间：15分钟）1.(23-24高一上·浙江宁波镇海中学·期中)函数fx=x−x2A．−∞,3 C．−∞,1∪【答案】D【分析】由已知得x2−4x+3=x−y