专题6.1 向量的概念与线性运算（考点清单5个考点梳理+6题型解读）（原卷版及全解全析）

专题6.1向量的概念与线性运算【清单01】向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．【清单02】向量的加法（1）三角形法则（图甲）：强调向量“首尾相接”（2）平行四边形法则（图乙）：强调“共起点”（3）向量加法的运算律=1\*GB3①交换律=2\*GB3②结合律【点拨】=1\*GB3①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．=2\*GB3②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0．【清单03】向量减法1．相反向量：长度相等且方向相反的向量．2.一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量【点拨】=1\*GB3①向量减法的三角形法则中，eq\o(BA,\s\up6(→))表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”．=2\*GB3②如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b.【清单04】向量的数乘1.定义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向相同λ＝0λa＝0（零向量！）λ<0λa的方向与a的方向相反2.几何意义：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．3.运算律设λ、μ为实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．【点拨】对于非零向量a，当λ＝eq\f(1,|a|)时，λa表示a方向上的单位向量．【清单05】向量的线性运算1.向量加法与数乘的混合运算λa＋μa＝(λ＋μ)a2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．【考点题型一】向量的有关概念【例1】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（）A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反B．若，则C．若，，则D．对任一非零向量，是一个单位向量【变式1-1】（24-25高二上·甘肃临夏·阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（

）A．零向量的大小为0，没有方向B．C．起点相同的单位向量，终点必相同D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【变式1-3】（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（

）

A．有相同起点的向量 B．相反向量C．模相等的向量 D．相等向量【变式1-4】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（

）A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是【考点题型二】向量的加法【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简：(1)；(2)；(3)．【变式2-1】（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（

）A． B．C． D．【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列三个结论：①若，则；②的等价条件是点与点重合，点与点重合；③若且，则．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【变式2-3】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【变式2-4】（24-25高一下·全国·课前预习）对于实数a，b，c满足以下运算律：（1）；（2）．向量，，是否满足该类运算律？【考点题型三】向量的减法【例3】（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式：(1)；(2)．(3)．【变式3-1】（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（

）A． B． C． D．【变式3-2】（21-22高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（

）A． B．C． D．【变式3-4】（多选）（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（

）A． B．C． D．【考点题型四】数乘向量【例4】（多选）（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（

）A．当时，的方向与的方向一定相反B．当时，的方向具有任意性C．D．当时，的方向与的方向一定相同【变式4-1】（23-24高二下·陕西商洛·期中）已知向量是非零向量，则方向上的单位向量为（

）A． B． C． D．（且）【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非零向量，且，则向量的单位向量.（用表示）【变式4-3】（23-24高一下·上海·阶段练习）若非零向量，且设，则实数．【变式4-4】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则.【考点题型五】向量的线性运算【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算；(1)；(2)；(3)．【变式5-1】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式：(1)．(2)；(3)．【变式5-2】（22-23高二上·海南·开学考试）化简：(1)；(2)；(3)【变式5-3】（22-23高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式：(1)．(2)；【变式5-4】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量：(1)；(2)；(3)．【考点题型六】向量线性运算的几何应用【例6】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知所在平面内一点满足，则．【变式6-1】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（

）A． B．C． D．【变式6-2】（23-24高一下·天津·阶段练习）在正方形中，，分别是，边的中点，与相交于点，则（

）A． B． C． D．【变式6-3】（多选）（23-24高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（

）A． B．C． D．【变式6-4】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，已知，是两条对角线的交点，是的一个三等分点（靠近点），若，则．

专题6.1向量的概念与线性运算【清单01】向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．【清单02】向量的加法（1）三角形法则（图甲）：强调向量“首尾相接”（2）平行四边形法则（图乙）：强调“共起点”（3）向量加法的运算律=1\*GB3①交换律=2\*GB3②结合律【点拨】=1\*GB3①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．=2\*GB3②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0．【清单03】向量减法1．相反向量：长度相等且方向相反的向量．2.一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量【点拨】=1\*GB3①向量减法的三角形法则中，eq\o(BA,\s\up6(→))表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”．=2\*GB3②如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b.【清单04】向量的数乘1.定义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向相同λ＝0λa＝0（零向量！）λ<0λa的方向与a的方向相反2.几何意义：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．3.运算律设λ、μ为实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．【点拨】对于非零向量a，当λ＝eq\f(1,|a|)时，λa表示a方向上的单位向量．【清单05】向量的线性运算1.向量加法与数乘的混合运算λa＋μa＝(λ＋μ)a2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．【考点题型一】向量的有关概念【例1】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（）A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反B．若，则C．若，，则D．对任一非零向量，是一个单位向量【答案】D【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断.【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误；对B，，且，方向相同才可判断，故B错误；对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误；对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确.故选：D【变式1-1】（24-25高二上·甘肃临夏·阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】判断命题的真假、零向量与单位向量、平行向量（共线向量）【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可得.【详解】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题.故选：B.【变式1-2】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（

）A．零向量的大小为0，没有方向B．C．起点相同的单位向量，终点必相同D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】B【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、向量的模【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD.【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确；对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误；对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误．故选：B．【变式1-3】（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（

）

A．有相同起点的向量 B．相反向量C．模相等的向量 D．相等向量【答案】C【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、向量的模、平面向量的概念与表示【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误.【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误，对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误，对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确，对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，

故选：C.【变式1-4】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（

）A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是【答案】A【知识点】平行向量（共线向量）、零向量与单位向量【分析】由零向量的定义判断A；通过举反例判断B；由单位向量的定义判断C；直接写出与非零向量共线的单位向量来判断D．【详解】对于A，只有零向量的模为，故A正确；对于B，当时，显然与共线，但零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，根据单位向量的定义可知，单位向量的模相同，但方向是任意的，所以不一定相等，故C错误；对于D，与非零向量共线的单位向量有两个，与方向相同的是，与方向相反的是，故D错误．故选：A．【考点题型二】向量的加法【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知识点】向量加法的运算律【分析】（1）（2）（3）根据向量线性运算的法则化简求解即可.【详解】（1）．（2）．（3）．【变式2-1】（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】向量加法的法则【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得.【详解】在中，，则.故选：C【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列三个结论：①若，则；②的等价条件是点与点重合，点与点重合；③若且，则．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【知识点】零向量与单位向量、相等向量、向量加法的法则【分析】根据向量运算法则，结合向量相等的定义判断①，根据向量相等定义判断②，根据向量加法和零向量定义判断③.【详解】互为相反向量．又互为相反向量，故，故①正确；当时，应有，且由点到点与由点到点的方向相同，但不一定有点与点重合，点与点重合，故②错误；若且，则，，故③正确．故选：B.【变式2-3】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【知识点】向量加法的法则、零向量与单位向量、向量的模【分析】根据向量的线性运算，求得，结合零向量的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，向量，且是一个非零向量，所以A正确；由，所以B不正确，C正确；由，，所以，所以D正确.故选：ACD.【变式2-4】（24-25高一下·全国·课前预习）对于实数a，b，c满足以下运算律：（1）；（2）．向量，，是否满足该类运算律？【答案】满足．【知识点】向量加法的运算律【详解】向量，，满足以下加法的交换律、结合律，如下：（1），（2）.【考点题型三】向量的减法【例3】（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式：(1)；(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案.【详解】（1）．（2）.（3）.【变式3-1】（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】向量减法的法则【分析】由三角形法则即可求解.【详解】.故选：B【变式3-2】（21-22高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则【分析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式.【详解】.故选：D.【变式3-3】（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则【分析】根据向量线性运算化简求解即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B【变式3-4】（多选）（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则【分析】根据向量加减法的计算法则直接可得解.【详解】A选项：，A选项正确；B选项：，B选项正确；C选项：，C选项错误；D选项：，D选项正确；故选：ABD.【考点题型四】数乘向量【例4】（多选）（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（

）A．当时，的方向与的方向一定相反B．当时，的方向具有任意性C．D．当时，的方向与的方向一定相同【答案】ABD【知识点】向量数乘的有关计算、平行向量（共线向量）【分析】根据向量的数乘运算概念判断ABD,再根据向量的模长性质判断C.【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确；对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确；对于D，由可得，同为正或同为负，所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确；对于C，，故C错误．故选：ABD.【变式4-1】（23-24高二下·陕西商洛·期中）已知向量是非零向量，则方向上的单位向量为（

）A． B． C． D．（且）【答案】A【知识点】向量数乘的有关计算、零向量与单位向量【分析】由数乘向量的运算以及单位向量的定义直接判断即可.【详解】因为，且与向量方向相同，所以为方向上的单位向量.故选：A【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非零向量，且，则向量的单位向量.（用表示）【答案】【知识点】向量数乘的有关计算、零向量与单位向量【分析】先写出的单位向量，再由和反向可得.【详解】由已知，则和反向，又非零向量的单位向量，所以向量的单位向量.故答案为：.【变式4-3】（23-24高一下·上海·阶段练习）若非零向量，且设，则实数．【答案】【知识点】向量数乘的有关计算、向量加法的法则【分析】利用向量的加减法法则对化简变形，然后结合可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，故答案为：【变式4-4】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则.【答案】3【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则【分析】先对等式进行变形，将其转化为与和有关的形式，然后再求的值.【详解】已知，根据向量的减法法则，则.因为，又，所以，移项可得.由于，那么，所以.故答案为：.【考点题型五】向量的线性运算【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算；(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知识点】平面向量的混合运算【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果.【详解】（1）；（2）；（3）.【变式5-1】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式：(1)．(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算【分析】（1）应用向量的线性运算计算即可；（2）应用向量的线性运算计算即可；（3）应用向量的线性运算计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）.【变式5-2】（22-23高二上·海南·开学考试）化简：(1)；(2)；(3)【答案】(1)；(2)；(3).【知识点】向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果.【详解】（1）；（2）；（3）.【变式5-3】（22-23高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式：(1)．(2)；【答案】(1)(2)【知识点】平面向量的混合运算、向量数乘的有关计算、向量减法的运算律、向量加法的运算律【分析】（1）直接利用向量的加减法的法则求解即可.（2）直接利用向量的加减法、数乘运算化简即可得出答案.【详解】（1）.（2）.【变式5-4】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知识点】向量加法的