专题08 指数及指数函数原卷版及全解全析

专题08指数及指数函数【清单01】指数幂的运算性质⑴⑵⑶⑷＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1).【清单02】根式1、根式的定义一般地，如果，那么叫做的次根式，其中叫做根式，叫做根指数，叫做开方数.2、对于根式，要注意以下几点⑴且；⑵当为奇数时，；当为偶数时，；⑶负数没有偶次方根；⑷的任何次方根都是【清单03】指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.解析式的特点：1.底数是常数且不等于1的正数；2.指数是自变量x；3.幂的系数为1.【清单04】指数函数的图像和性质函数a>10<a<1图象最特殊点即图象都过性质①定义域R值域②即当图象都过定点(0，1)，③即不是奇函数也不是偶函数④当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1④当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1⑤在(－∞，＋∞)上是增函数⑤在(－∞，＋∞)上是减函数【清单05】与指数函数复合的函数单调性(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点：u＝g(x)y＝f(u)y＝f(g(x))增增增增减减减增减减减增(3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性．【考点题型一】指数的运算【例1】.（多选），下列运算（化简）中正确的有（

）A．B．C．D．【变式1-1】若，，则不能满足的条件为（

）A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数C．均为奇数 D．均为偶数【变式1-2】.若，，则（

）A．24 B．12 C． D．【变式1-3】.（1）计算:（2）已知求的值.【变式1-4】.（1）化简求值：；（2）已知，求的值.【变式1-5】.求值：(1)(2)【考点题型二】指数函数的图像【例2】.在同一直角坐标系中，函数与（且）的图象可能是（

）A． B．C． D．【变式2-1】.函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（

）A． B． C． D．【变式2-2】.函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【变式2-3】.函数的大致图像是（

）A．

B．

C． D．【变式2-4】.（多选）函数与的大致图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【变式2-5】.（多选）函数，且的部分图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【考点题型三】指数的函数的恒过定点问题【例3】.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点（

）A． B．C． D．【变式3-1】.函数（且）的图象必过定点的坐标是.【变式3-2】.函数的图象恒过定点，则点坐标为.【考点题型四】指数的函数的单调性【例4】.已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-1】.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．【变式4-2】.已知函数在区间上满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-3】.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-4】.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（）A．定义域为RB．值域为C．在上单调递增D．在上单调递减【变式4-5】已知指数函数的图象过点，函数.(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)若不等式对恒成立，求t的取值范围.【考点题型五】指数的比较大小【例5】.已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【变式5-1】.设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式5-2】.若，，，则（

）A． B．C． D．【变式5-3】.已知那么a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式5-4】.若，则（

）A． B． C． D．【考点题型六】指数函数综合应用【例6】.已知函数是奇函数.(1)若，，证明：函数在上单调递增；(2)若，，求函数在时的值域：(3)若函数的图象经过点，求的解析式.【变式6-1】.已知是奇函数，时，则不等式的解集为.【变式6-2】.若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式6-3】.定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（

）A．1 B．3 C． D．【变式6-4】.已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【变式6-5】.（多选）已知函数，则（

）A．是上的减函数B．的图象关于点对称C．若是奇函数，则D．不等式的解集为【变式6-6】.已知定义域为的函数是奇函数，且.(1)求出a，b的值，判断函数在上的单调性，并用定义证明；(2)若，求实数m的取值范围.检测训练1.设，则的分数指数幂形式为（

）A． B． C． D．2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．3.已知为定义在上的奇函数，当时，，则（

）A． B． C．9 D．4.设，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．5.已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．6.已知是奇函数，当时，且，又，则（

）A． B． C． D．7.已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．28.若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（

）A． B． C． D．9.（多选）下列结论中正确的是（

）A．若幂函数的图象经过点，则B．函数且的图象必过定点C．函数的单调增区间是D．若幂函数，则对任意、，都有10.（多选）下列命题中正确的是（

）A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是B．函数在上的值域为C．若关于的方程的两根分别为，，且，则有D．函数，则不等式的解集为11.解决下列问题：(1)计算(2)(3)已知=5，求的值12.已知定义域为的函数是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数在内的单调性，并证明你的结论；(3)若，使成立，求实数k的取值范围．13.（1）化简：．（2）已知，求．14.已如数的图象关于点0,1中心称．(1)求实数a的值：(2)判断的单调性（无需证明）；(3)解关于x的不等式．15.已知函数是定义在上的奇函数．(1)求a、b的值；(2)判断的单调性并证明；(3)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)在上单调递增，证明见解析(3)【详解】（1）由于是R上的奇函数，，即，所以，，又，所以，解得，经检验符合题意.（2）在R上单调递增，证明如下：由于，可得，设则，由于，故因此，故在R上单调递增，（3）由于为奇函数，故由可得，又在R上单调递增，因此对任意实数恒成立，故，由于对勾函数在单调递减，故当取最小值，因此，故16.已知函数.(1)当时，求在区间上的最小值；(2)若，总存在，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1），令，，所以，在单调递增，所以，所以在区间上的最小值为；（2）由题意得在的值域包含于在的值域，由二次函数的性质得的值域为，当时，符合题意，当时，，可知函数单调递增，所以，所以，所以，当时，为对勾函数，，所以，，此时，所以，又，可知无解；综上，.

专题08指数及指数函数【清单01】指数幂的运算性质⑴⑵⑶⑷＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1).【清单02】根式1、根式的定义一般地，如果，那么叫做的次根式，其中叫做根式，叫做根指数，叫做开方数.2、对于根式，要注意以下几点⑴且；⑵当为奇数时，；当为偶数时，；⑶负数没有偶次方根；⑷的任何次方根都是【清单03】指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.解析式的特点：1.底数是常数且不等于1的正数；2.指数是自变量x；3.幂的系数为1.【清单04】指数函数的图像和性质函数a>10<a<1图象最特殊点即图象都过性质①定义域R值域②即当图象都过定点(0，1)，③即不是奇函数也不是偶函数④当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1④当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1⑤在(－∞，＋∞)上是增函数⑤在(－∞，＋∞)上是减函数【清单05】与指数函数复合的函数单调性(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点：u＝g(x)y＝f(u)y＝f(g(x))增增增增减减减增减减减增(3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性．【考点题型一】指数的运算【例1】.（多选），下列运算（化简）中正确的有（

）A．B．C．D．【答案】ABD【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．故选：ABD．【变式1-1】若，，则不能满足的条件为（

）A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数C．均为奇数 D．均为偶数【答案】A【详解】对于A：因为，当为奇数，为偶数时，，此时无意义，不合题意，故A错误；对于B：因为，当为偶数，为奇数时，，此时，符合题意，故B正确；对于C：因为，当为奇数，为奇数时，，此时，符合题意，故C正确；对于D：因为，当为偶数，为偶数时，，此时，符合题意，故D正确；故选：A【变式1-2】.若，，则（

）A．24 B．12 C． D．【答案】A【详解】.故选：A【变式1-3】.（1）计算:（2）已知求的值.【答案】（1）；（2）【详解】（1）原式=.（2）因为，所以两边同时平方得：，所以，再两边同时平方得：，故，所以.【变式1-4】.（1）化简求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）194【详解】（1）.（2）由，得，即，则，即.【变式1-5】.求值：(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）.（2）.【考点题型二】指数函数的图像【例2】.在同一直角坐标系中，函数与（且）的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，函数在上单调递减，函数的对称轴为，且函数与轴交点的纵坐标为，D不符合，C符合.当时，函数在上单调递增，函数的对称轴为，B不符合，且函数与轴交点的纵坐标为，A不符合.故选：C.【变式2-1】.函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数在定义域上单调递增，因为，在定义域上单调递减，故排除C、D；又当时，显然不过点，故B错误；在定义域上单调递增，且，所以，符合题意.故选：A【变式2-2】.函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】，所以，排除AC，且，排除D.故选：B【变式2-3】.函数的大致图像是（

）A．

B．

C． D．【答案】C【详解】由函数，当时，可得，可得排除B、D选项；当时，可得；当时，根据指数函数与幂函数的增长趋势，可得函数大于函数的增长速度，所以，所以选项A不符合，选项C符合.故选：C.【变式2-4】.（多选）函数与的大致图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【详解】对于A，当时，单调递增，与轴交于正半轴，在上单调递增，故选项A符合题意．对于B选项，由指数函数的图象可知，由一次函数的图象可知，则，故选项不符合题意．对于C，当时，单调递减，与轴交于正半轴，在上单调递减，C选项符合题意．对于D选项，由一次函数图象可知，解得，则D选项不符合题意．故选：AC.【变式2-5】.（多选）函数，且的部分图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【详解】函数的定义域为，且，则是偶函数，故D错误，．当时，在上单调递增，且，A正确，B错误．当时，在上单调递减，且，C正确．故选：AC.【考点题型三】指数的函数的恒过定点问题【例3】.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意得且，解得，，令得，此时，故的图像过定点.故选：A【变式3-1】.函数（且）的图象必过定点的坐标是.【答案】【详解】令，则，所以，所以图象所过定点坐标为.故答案为：.【变式3-2】.函数的图象恒过定点，则点坐标为.【答案】【详解】令，则，故，因此，故答案为：【考点题型四】指数的函数的单调性【例4】.已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，对任意都有成立，则函数在上单调递减，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B.【变式4-1】.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】A：令，定义域为R，，则，所以为非奇非偶函数，在R上单调递减，故A不符合题意；B：令，定义域为R，，则，所以为非奇非偶函数，在R上单调递增，故B不符合题意；C：令，定义域为R，，所以为偶函数，在上单调递增，故C符合题意；D：令，定义域为R，，所以为偶函数，当时，，则在上单调递减，故D不符合题意.故选：C【变式4-2】.已知函数在区间上满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由于在区间上满足，所以在上单调递减，所以，解得.故选：C【变式4-3】.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.【变式4-4】.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（）A．定义域为RB．值域为C．在上单调递增D．在上单调递减【答案】ABD【详解】对于A，函数的定义域为R，故A正确；对于B，因为，所以，故函数的值域为，故B正确；对于CD，因为在R上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，所以函数在上单调递减，C错误，D正确.故选：ABD.【变式4-5】已知指数函数的图象过点，函数.(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)若不等式对恒成立，求t的取值范围.【答案】(1)(2)单调递增，证明见解析(3)【详解】（1）设（，且），由，得，所以.（2）在上单调递增.证明如下：由题意得.，，且，则.由，得，，则，.所以，即，故在上单调递增.（3）由题意得，所以是偶函数.由，得，易得，，因为在上单调递增，所以由，得.当时，恒成立；当时，.因为，所以，得，即t的取值范围为.【考点题型五】指数的比较大小【例5】.已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以.故选：A.【变式5-1】.设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为是增函数，所以，是减函数，所以，故又函数在第一象限内为增函数，故，又为减函数，故，综上可得．故选：B．【变式5-2】.若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由函数在上单调递减，且，则；由函数在上单调递增，且，则，由，则.故选：A.【变式5-3】.已知那么a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因函数在R上单调递减，在R上单调增.则．所以．故选：B【变式5-4】.若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为是减函数，所以，即．易得，则幂函数是增函数，所以，又是减函数，所以．故．故选：D.【考点题型六】指数函数综合应用【例6】.已知函数是奇函数.(1)若，，证明：函数在上单调递增；(2)若，，求函数在时的值域：(3)若函数的图象经过点，求的解析式.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）当，时，，任取、，且，则，所以，，则，所以，当，时，函数在R上单调递增.（2）当，时，则，当时，，则，则，则，故当，时，函数在时的值域为.（3）因为函数为奇函数，且，则，可得①，由奇函数的性质可得，即，整理可得②，联立①②可得，，此时，，对于函数，有，解得，该函数的定义域为，定义域关于原点对称，，故函数为奇函数，合乎题意.因此，.【变式6-1】.已知是奇函数，时，则不等式的解集为.【答案】【详解】设，则，所以，又为奇函数，所以，所以，不等式，即或，解得或，所以不等式的解集为.故答案为：【变式6-2】.若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，为增函数，又是定义在R上的奇函数，当x>0时，，故在R上为增函数.故则，故，即，解得.故选；A【变式6-3】.定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（

）A．1 B．3 C． D．【答案】C【详解】①，故，因为为上的偶函数，为上的奇函数，故，所以②，式子①和②联立得，，，其中，当且仅当，即时，等号成立，所以在上的最小值为，由于的对称轴为，故当时，在上单调递增，故，解得，不合要求，舍去；当时，在上单调递减，在上单调递增，故，解得，负值舍去；故选：C【变式6-4】.已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，所以由可得，即，由，则，当且仅当，即时，等号成立.故选：D【变式6-5】.（多选）已知函数，则（

）A．是上的减函数B．的图象关于点对称C．若是奇函数，则D．不等式的解集为【答案】ACD【详解】对于A选项，任取、，且，则，则，所以，，所以，函数是R上的减函数，A对；对于B选项，因为函数的定义域为R，则，所以，，所以，函数y=fx的图象关于点对称，B错；对于C选项，因为函数y=fx是奇函数，即函数y=f由B选项可知，函数y=fx的图象关于点对称，则，解得，C对；对于D选项，由，可得，因为函数是R上的减函数，则，解得，故不等式的解集为，D对.故选：ACD.【变式6-6】.已知定义域为的函数是奇函数，且.(1)求出a，b的值，判断函数在上的单调性，并用定义证明；(2)若，求实数m的取值范围.【答案】(1)，函数在上单调递增，证明见解析(2)【详解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，且所以，解得，此时，则，符合题意，所以.函数在上单调递增，证明如下：由，任取，且，则，因为，所以，，则，即，所以函数在上单调递增.（2）由题意，函数是定义在上的奇函数，由，即，由（1）知，函数在上单调递增，则，解得，即实数m的取值范围为.检测训练1.设，则的分数指数幂形式为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】．故选：D2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为的定义域为，所以在中，，则在中，，解得，故的定义域为.故选：B3.已知为定义在上的奇函数，当时，，则（

）A． B． C．9 D．【答案】B【详解】由题意得，得，当时，．所以．故选：B4.设，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意，，而，所以.故选：A5.已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为在定义域上单调递减且过点0,1，定义域为，在定义域上单调递增且过点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下：所以与有且仅有一个交点，且交点的横坐标属于0,1，又，所以，又，所以，因为，所以，综上可得.故选：D6.已知是奇函数，当时，且，又，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数是奇函数，当时，且，则，即，所以，，所以，当时，，故，故选：C.7.已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】由f−x=fx解得，.当时，，定义域为，关于原点对称，故符合题意，故选：B.8.若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】①函数单调性递增，则满足，即，解得.②若函数单调性递减，则满足即，此时无解.综上实数取值范围为：.故选：D.9.（多选）下列结论中正确的是（

）A．若幂函数的图象经过点，则B．函数且的图象必过定点C．函数的单调增区间是D．若幂函数，则对任意、，都有【答案】BCD【详解】对于A选项，设幂函数的解析式为，由题意可得，解得，则，A错；对于B选项，因为，所以，函数且的图象必过定点，B对；对于C选项，因为内层函数的增区间为，减区间为1,+∞，外层函数为减函数，故函数的增区间为，C对；对于D选项，幂函数，对任意的，则，则对任意、，，，所以，，所以，，可得，所以，，D对.故选：BCD.10.（多选）下列命题中正确的是（

）A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是B．函数在上的值域为C．若关于的方程的两根分别为，，且，则有D．函数，则不等式的解集为【答案】BCD【详解】对于A，函数在区间上是增函数，由函数是R上的减函数，有函数在上单调递减，时符合题意，A选项错误；对于B，，时，，有，得，所以函数在上的值域为，B选项正确；对于C，若关于的方程的两根分别为，，且，则有，，所以，C选项正确；对于D，设，，，，即，设，，由于，故，，故，则，故为奇函数，且在上单调递增，则，即，故，解得，D选项正确.故选：BCD.11.解决下列问题：(1)计算(2)(3)已知=5，求的值【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），，；（2）因为，所以，