第三章 指数与指数函数（解析 版）

第三章指数与指数函数指数运算指数函数的图像指数比较大小指数函数的性质指数函数的综合应用一．指数运算（共7小题）1.下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.2.化简求值:(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）；（2）=3．已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)7(2)【详解】（1）由题意，所以.（2）由题意，所以.4．计算．(1)；(2)．【答案】(1)3(2)2【详解】（1）=；（2）.5．计算：.【答案】【详解】原式.6．回答下面两题：(1)计算：(2)计算：已知，则=【答案】(1)(2)【详解】（1）原式；（2），所以.7．（1）计算:．（2）若，求下列式子的值：①②【答案】（1）-1；（2）①，②.【详解】（1）原式=；（2）①：，所以；②：，由题意知，所以.二．指数函数的图像（共8小题）8.函数（，且）的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】因为函数（，且），当时，是增函数，并且恒过定点，又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；当时，是减函数，并且恒过定点，又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.故选：C.9．函数与的图象（

）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】B【详解】易知，显然函数上的点关于y轴的对称点都在函数图象上，可知函数与的图象关于y轴对称.故选：B10．已知函数（其中a，b为常数，且），若的图象如图所示，则函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由图可得，则有，且该函数为单调递减函数.故选：A.11．若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，由指数函数的单调性可得函数为递减函数，因为图象不经过第一象限，所以当时，，解得，故选：A.12．函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由函数（且）令，即，可得，所以函数的图象恒过定点．故选：A．13．已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，,则设，则，解得，则，故选：A.14．（多选）若函数的图象过第一，三，四象限，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示，若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以．当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得．故选：BC．15．如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线．（填曲线序号）【答案】②【详解】由指数函数的单调性可知，函数和的图象分别是曲线③④中的一条，当时，，所以曲线③是函数的图象，函数的图象与函数的图象关于轴对称，所以的图象是曲线②.故答案为：②.三．指数比较大小（共3小题）16.已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由于，，故，又，故，故选：B17．若，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】若，且，由函数在上为减函数，，则，又函数在上为减函数，则，又函数在0,+∞上为增函数，则，因此可得.故选：C.18.已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意，结合对应幂、指数函数单调性，知，所以.故选：A四．指数函数的性质（共8小题）19．“”是“函数为奇函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若为奇函数，其定义域为，关于原点对称，有，即，即，即，故有，解得，故“”是“函数为奇函数”的充要条件.故选：C.20．函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由是奇函数，得①，由是偶函数，得②联立①②得，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值是，故选：B．21．已知函数且，则下列选项正确的是（

）A．函数的值域为B．若，则C．函数的图象恒过定点D．若，则【答案】C【详解】函数且为指数函数，指数函数的定义域为R，值域为，故A错误；若，则在R上单调递增，所以，则，故B错误；指数函数的图象恒过定点0,1，故C正确；若，则在R上单调递减，则由，得，故D错误；故选：C.22．已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，，，因为为奇函数，所以f−x=−f故，所以.故选：B23.已知函数的表达式为，则满足的实数m的最大值为．【答案】【详解】当时，有，又定义域为，故为偶函数，又当时，单调递增，故对有，即，即有，解得，故m的最大值为.故答案为：.24.已知函数为奇函数，则实数a的值为.【答案】0【详解】因为函数为奇函数，则，，，则，解得.故答案为：025．已知指数函数（，且）的图像过点．(1)求函数的解析式；(2)若，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由指数函数的图像过点，可得，解得.所以.（2）由，即，因为在上单调递减，所以有，解得.26．已知，且，函数是指数函数，且．(1)求和的值；(2)求的解集．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）因为函数是指数函数，所以，又，故解得，则，又，则（负值舍去）．（2），它是定义在R上的减函数，不等式化为，所以，解得．所以不等式的解集为．五．指数函数的综合应用（共8小题）27．（多选）己知函数，若，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】，定义域为，，所以为奇函数.又因为和在上为增函数，所以在上为增函数.对选项A，B，因为，所以，所以，即，故A正确，B错误.对选项C，D，，且为奇函数，所以，故C正确，D错误.故选：AC28．（多选）对于函数，则（

）A．与具有相同的最小值B．与在上具有相同的单调性C．与都是轴对称图形D．与在上具有相反的单调性【答案】AC【详解】A选项，在同一坐标系中，作出函数，的图像如图所示，由图可知与的最小值都为1，A项正确；B选项，在0,+∞上单调递增，在0,+∞上不单调，B项错误；C选项，的图像关于直线对称，的图像关于直线对称，C项正确；D选项，与在上均单调递减，D项错误.故选：AC29．（多选）已知函数，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的取值范围为【答案】CD【详解】结合函数的图象可知，，

由，得不出，故A错误，令，此时，但是，故B错误.因为，所以，所以，则，又，所以，由二次函数性质得在上单调递增，故，所以C正确.因为，所以，故，令，由指数函数性质得在上单调递增，所以的取值范围为，故D正确.故选：CD30．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)恒成立，求的取值范围．【答案】(1)增区间为，减区间为；(2)【详解】（1）当时，，令，则，的增区间为，减区间为，又为减函数，根据“同增异减”法则：的增区间为，减区间为；（2）恒成立，，即恒成立，，解得：.31．已知函数.(1)判断奇偶性并证明；(2)利用定义证明在R上单调递增；(3)若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）函数为奇函数，理由如下：定义域为R，又，所以为奇函数；（2）证明：由（1）知，，任取，且，则因为，则所以，即，所以在R上单调递增.（3）为奇函数，由，得，因为函数在R上单调递增，所以，即，由题意，存在实数，使得成立，则只需，令，则，，当时，，即，所以k的取值范围为32．已知函数.(1)当时，求的值域.(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.(3)若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）当时，，令，则，，所以的值域为；（2）令，，则，，因为在上单调递增，所以要使在上单调递增，只需在上单调递增，①当时，在上单调递减，不符合题意；②当时，的图象开口向下，不符合题意；③当时，则需，解得，所以实数的取值范围是；（3）由是的图象的局部对称点，可得，，代入整理得，①令，则，，代入①式得，，当时，函数和均单调递增，所以在上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围为.33.已知函数是奇函数，并且函数的图象经过点．(1)求实数、的值及的值域；(2)解不等式；(3)若对任意恒有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，，值域为(2)或x>1(3)【详解】（1）因为函数是奇函数，则，即，化简可得所以，解得或．又，所以，所以，．所以，因为，则，所以，所以，即函数的值域为.（2）由（1）得，任取、，且，则，则，所以，即函数为上的减函数，由题意知：在上单调递减且为奇函数，所以，所以，解得或，所以原不等式的解集为或.（3）由上可知：在上单调递减且为奇函数，由，即，即，即，化简得：，又因为，当时，对恒成立，当时，，令，令，则，由对勾函数的性质知：在上单调递减，在上单调递增，，所以．34．已知函数（a>0且）是定义在R上的奇函数.(1)求a的值；(2)当时，恒成立，求实数t的取值范围.【答案】(1)a=2(2)【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，令x=0得,解得a=2.（2），不等式，即为，可化为，设，因为,所以，当时，恒成立，即为当时,恒成立，设，因为函数图象开口向上,若在上恒成立，则，即解得.35．已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数，的值；(2)判断的单调性并给出证明；(3)若存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)函数在上是减函数，证明见解析；(3)【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，又因为，所以，将代入，整理得，当时，有，即恒成立，又因为当时，有，所以，所以.经检验符合题意，所以.（2）由（1）知：函数，函数在上是减函数.设任意，且，则由，可得，又，则，则，则函数在上是减函数.（3）因为存在，使成立，又因为函数是定义在上的奇函数，所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，所以，所以，令，由题意可知：问题等价转化为，易知当，，所以.36．已知函数是奇函数.(1)求实数a的值；(2)判断并用定义证明在定义域上的单调性；(3)若，不等式成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析(3)【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，解得，时，，满足是上奇函数；故（2），则在上单调递减．证明如下：任取，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递减；（3）因为是上奇函数，所以等价于，因为为上单调递减；则，对成立，即成立，故，故37．已知函数是定义在上的奇函数．(1)求的解析式并用定义证明的单调性；(2)使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，证明见解析(2)【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，则，且，所以为定义在上的奇函数，故，即.是上的增函数，证明如下：任取，且，则，所以，所以，，，所以，，所以，即，所以是上的增函数.（2）当时，不等式即，故，则令，因为，所以，由题意可知，，因为函数，为上的增函数，故在上单调递增，故，所以，即实