第4章 幂函数、指数函数与对数函数（3知识+9题型）（期末复习知识清单）解析版

5/5第4章幂函数、指数函数与对数函数（3知识&9题型）【清单01】幂函数1.幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2.幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图所示：3.幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数【清单02】指数函数1.指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2.指数函数的图象和性质a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称【清单03】对数函数1.对数函数的概念函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．值域为．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．2.对数函数的图象及性质函数名称对数函数图象1111定义域值域过定点图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小．【题型一】求幂函数的解析式【例1】（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（

）A．64 B．2 C．16 D．8【答案】B【分析】利用待定系数法求解析式，然后求函数值.【详解】设幂函数的解析式为，则，解得，所以，.故选：B.【变式1-1】（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数图象经过点，则=.【答案】【分析】代入求解幂函数的解析式，即可代入求解.【详解】将代入中可得，故，故因此，故答案为：【变式1-2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数的图像经过点，则.【答案】【分析】根据给定条件，求出幂函数解析式，再求出函数值即得.【详解】依题意，设，由，得，解得，即，所以.故答案为：【变式1-3】（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为.【答案】【分析】根据幂函数的表达式即可求解.【详解】点在幂函数的图像上，，解得，的表达式为.故答案为：.【题型二】幂函数的性质及其应用【例2-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断.【详解】由已知图象可知当时，，当时，，而函数在底数时为的单调增函数，在底数满足时为的单调减函数，.故选：A【例2-2】（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是．【答案】【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，即可判断函数的单调递减区间.【详解】设幂函数为，由题意可知，，则，即，由幂函数性质可知，函数在单调递减，因为函数为偶函数，所以在单调递增，所以函数的单调递减区间是.故答案为：【例2-3】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则.【答案】【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，解得.故答案为：【例2-4】（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为.【答案】【分析】利用幂函数的单调性即可得解.【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.【例2-5】（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数．【答案】【分析】利用幂函数的性质来解答即可.【详解】，若幂函数的图像关于轴对称，则，又幂函数在区间上是严格增函数，则.故答案为：.【例2-6】（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解.【详解】函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，所以，等价于，所以，即即且，故实数a的取值范围是，故答案为：.【变式2-1】（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格增函数，则实数【答案】【分析】根据幂函数的定义和性质分析求解.【详解】由题意可得：，解得或，若，则在上是严格减函数，不合题意；若，则在上是严格增函数，符合题意；综上所述：.故答案为：.【变式2-2】（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，则实数．【答案】【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】由题意可得，解得，故答案为：【变式2-3】（22-23高一上·上海长宁·期末）已知幂函数在区间是严格减函数，且图像关于轴对称，写出一个满足条件的．【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意且为偶数即可.【详解】解：幂函数在区间上是严格减函数，，又图像关于y轴对称，可以为偶数，故满足条件a的值可以为．故答案为：-2【变式2-4】（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为.【答案】【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式.【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增，又，则为偶函数，所以在上单调递减，则由不等式可得，平方后整理得，即，解得，则不等式的解集为.故答案为：.【题型三】指数型函数图象【例3-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为．【答案】【分析】借助函数图像即可求解；【详解】画出的图像，同时向下平移一个单位得到结合图象可知：，故答案为：【例3-2】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数（常数且）的图像总是经过点.【答案】【分析】根据指数型函数的性质判断.【详解】当时，，所以函数图象总经过.故答案为：.【变式3-1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由的图象过点，根据平移知识可知由此，可得的范围．【详解】函数的图象过点，至少向下平移个单位才能使图象不过第二象限，则，即，所以实数的取值范围为．故答案为：．【变式3-2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）函数且的图象恒过定点的坐标是．【答案】【分析】根据得到时，，故图象恒过定点.【详解】令，解得，此时，故图象恒过定点.故答案为：【变式3-3】（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点.【答案】【分析】由指数函数的性质可得.【详解】当时，，故图像过定点，故答案为：.【变式3-4】（22-23高一上·上海静安·期末）若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围．【答案】【分析】关于x的方程有负根可转化为指数函数与在第二象限有交点，结合图象即可求得实数a的取值范围．【详解】关于x的方程有负根等价于指数函数与在第二象限有交点，则当时，与在第二象限有交点，所以实数a的取值范围．故答案为：．【题型四】指数函数的值域与最值【例4-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得.【详解】设，当时，，故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立，设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减，故，得，故选：D【例4-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知，则函数的值域为【答案】【分析】由指数函数性质得结论．【详解】，值域是．故答案为：．【例4-3】（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是．【答案】/【分析】由指数函数单调性、复合函数单调性即可求解.【详解】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减，所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最小值是.故答案为：.【变式4-1】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知是集合A到集合B的函数，若对于实数，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的值域，再根据函数的定义，即可得答案；【详解】，根据函数的定义可得.故选：A.【变式4-2】（23-24高一上·上海闵行·期末）若函数，则此函数的最小值为.【答案】【分析】根据函数的单调性求得正确答案.【详解】函数在区间上单调递增，所以最小值为.故答案为：【变式4-3】（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由题意可得，对，，，总有恒成立，转化为，根据单调性求函数最值即可.【详解】由题意可得：对，，，总有恒成立，只需，，①当时，，满足题意；②当时，在上单调递减，，故需，即；③当时，在上单调递增，，故只需，即，综上所述，的取值范围是．故答案为：【变式4-4】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数的值域为，(1)求实数的值；(2)求函数，的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据指数函数的值域为可计算出的值；（2）根据二次函数的对称轴以及开口方向，分类讨论时函数的最小值，由此可求结果.【详解】（1）因为的值域为，所以的值域为，由条件可知，.（2）图象的对称轴为且开口向上，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，所以，所以.【题型五】指数函数的性质及其应用【例5-1】（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a，b的范围.【详解】因为函数(且)单调递增，所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，，故选：B.【例5-2】（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的与不等式是同解不等式，则，．【答案】【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合二元一次不等式解法进而得到答案.【详解】因为在上单调递增，则，即，即，解得，因为也是的解，所以，解得，此时，即，解得，满足题意.故答案为：；【变式5-1】（22-23高一上·上海浦东新·期末）设，则关于x的不等式的解集是.【答案】【分析】由于，根据指数函数的单调性可得，解不等式即可.【详解】因为，且，则根据指数函数的单调性可知，，解得，所以不等式的解集为.故答案为：【变式5-2】（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间上的函数，若．(1)已知，，试写出、的表达式；(2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围；(3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由．【答案】(1)、(2)(3)是，【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式；（2）若与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解；（3）根据函数在上的值域，写出、的解析式，再由求出的范围得到答案．【详解】（1）解：因为函数在上单调递减，则，因为函数在上单调递增，则.（2）解：若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增，当时，令，则，由，则，对称轴，根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立．当时，令，由，则，只需，化简得，解得，综上所述的取值范围为（3）解：因为函数在上单调递减，在上单调递增，则，，所以，，当时，，，；当时，，，因为函数在上单调递减，所以，；当时，，，因为函数在上单调递增，所以，.综上所述：故是上的“阶收缩函数”，且小正整数.【题型六】求对数函数的定义域【例6】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为.【答案】【分析】根据对数的真数大于0有意义求解.【详解】因为，所以，即函数的定义域为.故答案为：.【变式6-1】（22-23高一上·上海金山·期末）函数的定义域为．【答案】【分析】根据对数函数的性质求该对数型函数的定义域即可.【详解】要使该函数有意义，则需，解得：函数的定义域为故答案为：【变式6-2】（22-23高一上·上海徐汇·期末）函数的定义域是.【答案】【分析】根据对数函数的真数大于零即可求解.【详解】由解得，故答案为:.【变式6-3】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为.【答案】【分析】利用给定的函数的意义，列出不等式组求解即得.【详解】依题意，，解得，所以原函数的定义域为.故答案为：【题型七】对数型函数图象过定点问题【例7】（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数且的图像必过的定点坐标为.【答案】【分析】根据对数函数的定点坐标运算求解.【详解】令，可得，则，所以定点坐标为.故答案为：.【变式7-1】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，对任意且，函数的图像必过定点【答案】【分析】根据对数函数的性质求解．【详解】令，则，，图象过定点，故答案为：．【变式7-2】（23-24高一上·上海·期末）若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是．【答案】【分析】结合对数运算，令即可得定点的坐标.【详解】令得，此时，即函数（且）恒过定点.故答案为：【变式7-3】（22-23高一上·上海金山·期末）已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点为．【答案】【分析】利用对数函数性质可知，只需令即可求出的图像恒过的定点的坐标.【详解】因为的图像必过，即，当，即时，，从而图像必过定点.故答案为：.【变式7-4】（24-25高一上·上海静安·期末）已知函数过定点，则的最小值为【答案】2【分析】先利用函数过定点得到，再根据，展开后利用基本不等式求解即可.【详解】因为函数过定点，所以，化简可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2，故答案为：2.【题型八】对数函数性质及其应用【例8-1】（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（）A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关【答案】D【分析】通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关.【详解】函数，当时，，单调递增.当时，单调递增.则且，，的单调性都为单调递增.所以函数的单调性与无关.故选：D【例8-2】（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是.【答案】,【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围．【详解】方程可变形为，由于方程在上有解，而当,时，，所以，解得，即实数的取值范围是,．故答案为：,．【例8-3】（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是．【答案】【分析】由且，得出，用均值不等式即可得出答案．【详解】，且，而函数在上单调递增，，即，且，，，当且仅当，即，时，等号成立，故答案为：【例8-4】（24-25高一上·上海杨浦·期末）若，则集合共有个元素.【答案】2【分析】根据题意结合对数函数单调性化简集合，即可得结果.【详解】因为，则，所以，共有2个元素.故答案为：2.【例8-5】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是.【答案】【分析】依题意可得，令，判断函数的单调性，结合，即可求出不等式的解集.【详解】不等式，即，令，，因为与均在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，则不等式的解集是.故答案为：【变式8-1】（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则．【答案】2【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，函数在区间上单调递增.又对数函数在区间上的最大值比最小值大1，所以，，解得.故答案为：2.【变式8-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围为．【答案】【分析】判断函数的单调性，根据其单调性解不等式，可得答案.【详解】当时，，函数单调递增，当时，，由复合型对数函数的单调性“同增异减”可知，函数单调递增，作出函数大致图象如图：所以函数是定义在R上的增函数，因此,不等式等价于，解得，故答案为：.【变式8-3】（22-23高一上·上海徐汇·期末）若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据对数函数定义，对的取值范围进行分类讨论即可得出结果.【详解】由对数函数定义可知，且；当时，函数在上为单调递减，若，则，不合题意；当时，函数在为单调递增，若，则，满足题意，此时，解得或；即实数的取值范围是【变式8-4】（24-25高一上·上海·期末）甲、乙、丙三位同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路:甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”;乙说:“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”;丙说:“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”;参考上述解题思路，借助你认为合适的思路进行分析，求的取值范围【答案】【分析】通过对不等式进行变形，将问题转化为求函数的最小值，再根据函数单调性求出最小值，进而确定参数的取值范围.【详解】首先，由，因为，两边同时除以（）得到.然后，设.对于，令，在上增大时减小，减小，单调递增，根据复合函数同增异减，在上单调递减；在上增大时增大，增大，单调递增，所以在上单调递增.对于，时，单调递减；时，单调递增.所以在上单调递减，在上单调递增.

接着，求的最小值，.最后，因为，即，变形为，根据指数函数单调性可得，解得.故答案为：.【变式8-5】（24-25高一上·上海·期末）已知，函数；(1)当时，解不等式；(2)若函数的值域为，求的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得到对数不等式，求解不等式即可；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数的不等式，求解即可.【详解】（1）由已知时，不等式等价于，所以，所以，所以，所以不等式的解集为．（2）因为函数的值域为，即的值域为，故能够取到一切大于0的实数，当时,,不符合题意；当时，，不符合题意；当时，根据二次函数的图象和性质可得，解得或，所以；综上所述：的取值范围是．【题型九】幂指对函数综合【例9-1】（22-23高一上·上海长宁·期末）下列函数在定义域内不是严格增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数、对钩函数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以函数是奇函数，当时，函数单调递增，且，所以函数是实数集上的严格增函数；指数函数的底数大于，所以函数是实数集上的严格增函数；对数函数的底数大于，所以函数是正实数集上的严格增函数；因为函数在上单调递减，在上单调递增，显然函数在定义域内不是严格增函数，故选：D【例9-2】（23-24高一上·上海徐汇·期末）用函数的观点解不等式，该不等式的解集为.【答案】【分析】由不等式可得，令函数再根据函数单调性即可求解.【详解】由不等式，得，令函数，定义域为，因为，均为定义域内的增函数，所以在定义域内单调递增，且，对应不等式即为，从而得，所以不等式的解集为.故答案为：.【例9-3】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数.(1)求方程的解；(2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）解方程即可求解.（2）将问题转化为在上有实数解,求函数在上的值域即可.【详解】（1）由题得即故方程的解为.（2）由,得易知在上是严格增函数,且当时,当时,故【变式9-1】（24-25高一上·上海·期末）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案.【详解】对于A：因为在区间上是严格减函数，故A错误；对于B：在区间上是严格增函数，但在区间上不存在零点，故B错误；对于C：，在区间上是严格增函数，由可得，在区间上且存在零点，故C正确；对于D：在单调递减，在单调递增，故D错误.故选：C.【变式9-2】（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（

）A．