第五章 函数的应用（解析版）

第五章函数的应用函数的零点零点存在定理二分法函数的应用一．函数的零点（共8小题）1．设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】画出函数的图象如下图所示：函数可由分段平移得到，易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；当时，恰有一个零点，满足题意，即；综上可得的取值范围是.故选：D2．已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】的图象如图所示，设，结合图像可得：，且，，而，故，故，设，而在为增函数，故，故选：D.3．已知数若且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且，由，得，则，根据对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以的取值范围是．故选：B．4．已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】的图象如图所示，因为方程有3个实数解，所以与的图象有3个不同的交点，由图可知.故选：A5．已知，，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】由，得到，令，得到所以为函数与交点的横坐标，由，得到，所以为函数与交点的横坐标，又与互为反函数，故它们的图象关于直线对称，又关于对称，由，得到，所以，得到，故选：C.6．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，因为和在上递增，所以在上递增，所以为唯一的零点，设函数与交点为，的零点为函数与交点的横坐标，因为和在上递减，所以在上递减，所以为唯一的零点，设函数与交点为，因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，所以关于直线对称，所以.故选：B7.（多选）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（

）A． B．C． D．的取值范围为【答案】BCD【详解】作出的图象如下：令，则，故，，A错误，BC正确，令，则或，结合图象可知，D正确.故选：BCD8．（多选）设函数（且）．则下列四个结论正确的是（

）A．当时，存在t，方程有唯一解B．当时，存在t，方程有三个解C．对任意实数a（且），的值域为D．存在实数a，使得在区间上单调递增【答案】ABD【详解】当时，可得函数图象如下：由；，，结合图象：当时，函数单调递减，且；当，函数单调递增，.所以当时，方程有唯一解.故A正确；当时，函数图象如下：由；由图象可知，当时，函数单调递减，；当时，函数单调递增，；当时，函数单调递增，.因为，因为，所以，即.所以，当时，方程有三个解.故B正确；如图：由，再由，，，此时在上单调递减，在上单调递增，且，即不在值域内，所以此时函数的值域不是.故C错误；由A可得，当时，函数在上单调递增.即：存在实数，使得在区间上单调递增.故D正确.故选：ABD二．零点存在定理（共4小题）9.方程的根所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】构造函数，因为和在上单调递减，所以函数在上单调递减，且函数的图象是一条连续不断的曲线，因为，，，由的单调性可知，，则，故函数的零点所在的区间为，即方程的根属于区间．故选：C10．根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（

）x-101230.3712.727.3920.0912345A． B． C． D．【答案】C【详解】设，由表格中的数据得，，，，，，所以，又的图象是连续不断的，所以在内有零点．故选：.11.函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】易知函数定义域为，且函数单调递增，又，所以上没有零点；，，由零点存在定理可知，所以零点所在区间是.故选：D12.函数的零点所在的区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】在上单调递增，在上单调递增，函数在上单调递增，∵，，，函数的零点所在的区间为.故选：C三．二分法（共2小题）13．（多选）下列说法正确的是（

）A．已知方程的解在内，则B．函数的零点是C．函数有两个不同的零点D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上【答案】AD【详解】对A，记，易知都在R单调递增，所以在R上单调递增，又，所以存在唯一零点，且，即方程的唯一解在内，所以，A正确；对B，令，解得或，所以函数的零点是或，B错误；对C，作出的图象如图：当时，函数和的图象显然有一个交点，又，所以函数和的图象在处相交，所以有三个不同的零点，C错误；对D，因为，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，D正确.故选：AD14.求下列函数的零点，可以采用二分法的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】不是单调函数，，不能用二分法求零点；是单调函数，，能用二分法求零点；不是单调函数，，不能用二分法求零点；不是单调函数，，不能用二分法求零点.故选：B四．函数的应用（共10小题）15.火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（

）（参考数据，）A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7【答案】C【详解】由题意可得，，，代入题目公式，可得：，，，，代入值可得：，，需装载的推进剂的吨数约为，，，，，结合选项，选择C．故选：C16．“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】由题意可知第一次剩余的棍棒长度为12则第n次剩余的棍棒长为尺，由，解得，所以当剩余的棍棒长度小于1厘米时,需要截取的最少次数为7.故选:C.17.（多选）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（

）（参考数据：）A．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年；B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失；C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的；D．若年后，样本中氚元素的含量为，则.【答案】AC【详解】当时，，所以此时样本中氚的质量衰变了一半，故正确；当时，，故错误；当时，，即经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；由题意，化简得，将代入其中，可得，故错误.故选：.18.某地因地制宜发展生态农业，打造特色水果示范区，该地区某水果树的单株年产量φx（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的函数关系为，且单株投入的年平均成本为元，若这种水果的销售价格为元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）.(1)求函数的解析式；(2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)单株施肥量为千克时，单株年利润最大，最大利润为元【详解】（1）当时，，当时，，所以.（2）当时，，对称轴且开口向上，又因为，所以由此二次函数性质可知时有最大值，所以；当时，，当且仅当，即时取等号，所以；显然，所以单株施肥量为千克时，单株年利润最大，最大利润为元.19.随着环保观念深入人心，自本世纪10年代开始新能源汽车开始加速发展，得益于钱学森等老一批科学家的战略眼光及中国汽车人的不懈努力，目前中国正在重新塑造全球汽车行业的格局，在电池、电机、智能化方面具有压倒性优势，成为世界新能源的领导者.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本8000万元，每生产x(百辆)，需另投入成本(万元)，且；已知每辆车售价20万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2024年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(2)2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1)(2)2024年生产量为百辆时，企业所获得利润最大，最大利润为万元.【详解】（1）当时，，当时，，所以；（2）当时，，所以当时，有最大值，为；当时，，当且仅当即时，有最大值为，所以当时，有最大值为.综上所述：2024年生产量为百辆时，企业所获得利润最大，最大利润为万元.20.物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为，空气温度为（），则分钟后物体的温度满足（为常数）．实验测算，当时满足．(1)求的值；(2)茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面．经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚沏出来时茶水温度为75℃，等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳．已知空气温度为25℃，则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果保留一位小数，参考数值：，，）【答案】(1)；(2)8.6分钟【详解】（1）由题意可知，，得，即，所以；（2）设刚沏出来的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感，由题意可知，，，，所以，即，所以，所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6分钟才能达到最佳饮用口感．21.为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据：123456（万个）1050250若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择.(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？参考数据：.【答案】(1)选择函数更合适，解析式为(2)【详解】（1）若选，将和代入可得，解得，故，将代入，得与相差太大，不符合题意；若选，将和代入可得，解得，故，将代入，得，符合题意，综上，选择函数更合适，解析式为.（2）依题意，设至少需要个单位时间，则，即，两边同时取对数，可得，则，，的最小值为14，故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个.22．近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足(为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示10152025305060706050已知第10天的日销售收入为元.(1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值.【答案】(1)，；(2)当时，取得最小值元.【详解】（1）由表格数据知，，，解得，所以，.（2）由（1）知，，由，解得，因此，，当时，，当且仅当，即时等号成立，当时，函数在上单调递减，，而，所以当时，取得最小值元.23.为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据：123456（万个）1050250若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择.(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？参考数据：.【答案】(1)选择函数更合适，解析式为(2)【详解】（1）若选，将和代入可得，解得，故，将代入，得与相差太大，不符合题意；若选，将和代入可得，解得，故，将代入，得，符合题意，综上，选择函数更合适，解析式为.（2）依题意，设至少需要个单位时间，则，即，两边同时取对数，可得，则，，的最小值为14，故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个.24．近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售