第一章集合、简单逻辑用语、不等式专题训练（解析版）

第一章：预备知识集合、简单逻辑用语、不等式集合间的基本关系集合的基本运算充分、必要条件全称量词和存在量词不等式的性质基本不等式一元二次不等式一．集合间的基本关系（共3小题）1.集合的子集个数为．【答案】【详解】由题意得，则的子集个数为．故答案为：2．集合，，的关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】任取，则，，所以，所以，任取，则，，所以，所以，所以，任取，则，，所以，所以，又，，所以，所以，故选：C.3.已知集合，.(1)若，求的值；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)的值为或(2)【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程，得，解得或，当时，，满足条件；当时，，满足条件，综上，的值为或.（2）对于集合，.当，即时，，此时；当，即时，，此时；当，即时，要想使，则，此时，该方程组无解，综上的取值范围是.二．集合的基本运算（共7小题）4．已知集合，，则中最小的3个元素为（

）A．2，4，6 B．0，4，8 C．0，2，4 D．4，8，12【答案】B【详解】，，故中最小的3个元素为0，4，8.故选：B5．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由图知，影部分所表示的集合为，又，，所以图中阴影部分所表示的集合为，故选：A.6．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（

）A． B．或C． D．【答案】A【详解】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成，所以集合表示为.故选：A.7．已知集合，集合.(1)求，，；(2)设集合，且，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2)【详解】（1）因为，，所以，，，则；（2）因为,所以，所以，解得，即实数的取值范围为.8．已知全集，集合，集合．(1)求，；(2)若集合，且，求实数a的取值范围．【答案】(1)或，(2)【详解】（1）由解得或，所以或，所以或；，所以；（2）由得，当时，，解得，当时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为.9．设全集为，，(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)，或x>5(2)【详解】（1）当时，，则，且，所以或；（2）当时，，则，所以，当时，因为其区间端点，此时不可能，综上所述，.10．设，，且.(1)求的值及集合，；(2)设全集，求；(3)写出的所有子集.【答案】(1)；，(2)(3)，，，,．【详解】（1）根据题意得：，，将代入中的方程得：，即，则，；（2）全集，，；（3）的所有子集为，，，．三．充分、必要条件（共4小题）11.若，则“”是“”的（

）A．充分条件 B．必要条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】B【详解】由，得，所以充分性不成立，由，得，所以必要性成立，所以“”是“”的必要条件.故选：B.12.不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由已知不等式在上恒成立，即方程无实数解，即，解得，所以不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是，故选：D.13.在①，②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解．已知集合，(1)当时，求；(2)若_________，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)选①和选②，答案为；选③，答案为或【详解】（1）时，，故；（2）若选①，，故，显然，要想满足，则，解得，故实数的取值范围是；若选②，“”是“”的充分条件，则，显然，要想满足，则，解得，故实数的取值范围是；若选③，，需满足或，解得或，故实数的取值范围是或.14．已知集合，.(1)当时，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，所以.（2）由于“”是“”的充分不必要条件，所以是真子集的,若，即，，满足是真子集的.若，即，，要使是的真子集，则需（且等号不同时成立），解得.综上所述，的取值范围是.四．全称量词和存在量词（共7小题）15.命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“”的否定是.故选：C.16.（多选）下列说法中错误的有（

）A．命题：，，则命题的否定是，B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“，”是真命题D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件【答案】ABC【详解】对于A选项，对于命题，其否定应该是.所以A选项错误.

对于B选项，当时，，，满足，但是.反之，当时，例如，此时，，.所以是“”的既不充分也不必要条件，B选项错误.

对于C选项，当时，，但是，不满足.所以命题是假命题，C选项错误.

对于D选项，对于方程，若方程有一正一负根，则根据,即.且满足韦达定理，两根之积，即.取交集得到.反之，当时，方程的判别式，方程有两个不同的根，且两根之积，所以方程有一正一负根.所以是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确.

故选：ABC.17.（多选）下面命题正确的是（

）A．若且，则x，y至少有一个大于1B．“任意，则”的否定是“存在，则”C．设，则“且”是的必要而不充分条件D．设，则“”是“”的必要不充分条件【答案】ABD【详解】对于A，假设都不大于1，即，，则与已知矛盾，假设是错的，原命题为真命题，A正确；对于B，“任意，则”的否定为“存在，则”，B正确；对于C，则，则，，则成立，满足充分性，C错误；对于D，当时，可能为零，当时，一定不等于零，则“”是“”的必要不充分条件，D正确.故选：ABD.18.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是．【答案】【详解】命题“，”为假命题，命题：“，”为真命题．，，解得．实数的取值范围是．故答案为：．19.已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为.【答案】【详解】因为为真命题，所以，其中，所以，故答案为：20.已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为．(1)求集合；(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）命题为真命题，，解得，又；（2）是的必要不充分条件，是的真子集，解得，故实数的取值范围为21.已知集合，且.(1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以命题是真命题，可知，因为，，，,故的取值范围是.（2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，，，解得，故的取值范围是.五．不等式的性质（共2小题）22.已知、、都是实数．若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，对于A，根据不等式的性质知，故A正确；对于B，当时，；当时，；当时，，故B错误；对于C，当时，，所以；当时，，所以，故C错误；对于D，若，，则，故D错误.故选：A.23.对于任意实数，，，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】A【详解】A：由，则，故，对；B：，若，则，错；C：，若，则，错；D：若，则，错.故选：A六．基本不等式（共6小题）24.已知正数满足，则的最小值为（

）A． B． C．5 D．9【答案】B【详解】由，得，则，当且仅当时，等号成立.故选：B25．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】由题设，则，当且仅当，即时等号成立，要使不等式有解，则，所以或.故选：C26．下列函数的最值中错误的是（

）A．的最小值为2 B．已知，的最大值是C．已知，的最小值为3 D．的最大值5【答案】A【详解】当时，，故命题错误，A符合题意；当时，，当且仅当，即时取等号，命题正确，B不符合题意；当时，，则，当且仅当，即时取等号，故命题正确，C不符合题意；由题意，，则，当且仅当，即时取等号，故命题正确，D不符合题意.故选：A27.（多选）已知均为正实数，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则的最大值为D．若，则最大值为【答案】BC【详解】对于A，由，因为，没有确定是否为正数，所以没有办法判定差的符号，故A错误；对于B，由，因为，所以可以判定差为正数，故B正确；对于C，由于均为正实数，根据基本不等式得：，由于，所以，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，由于均为正实数，根据基本不等式得：，由于，所以，但是，所以等号不成立，故D错误；故选：BC.28.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？【答案】(1)500名(2)【详解】（1）由题意，得，即，又因为x>0，所以，即最多调整500名员工从事第三产业.（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，所以，所以则在时恒成立.则，当且仅当，即时，等号成立，所以.又因为a>0，所以，所以的取值范围为.29.运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时18元.(1)求这次行车总费用关于的表达式;(2)当为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用是几元?【答案】(1)(2)，最低费用为元【详解】（1）运货卡车行驶的时间为，则有，，即.（2）由（1）得，由双勾函数的性质可得函数在上为增函数，即当时，这次行车总费用最低为元.一元二次不等式（9个题）30.关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】不等式，当时，原不等式的解集为，由解集中恰有4个整数，得，解得；当时，原不等式的解集为，由解集中恰有4个整数，得，解得，所以实数m的取值范围是或.故选：D31.若不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．【答案】D【详解】不等式的解集为R，当，即时，不等式为恒成立，故符合题意；当，即时，不等式的解集为R，则，解得.综上可得，实数的取值范围是.故选：D.32.已知，关于的不等式的解集是，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【详解】由题设是方程的两个不等根，所以，又，则，当且仅当，即时取得最小值.故选：B33.（多选）关于的不等式（）的解集可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】不等式中，当时，，解得，A可能；当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，若，则；B可能；若，则或；若，则或，C不可能，D可能.故选：ABD34．（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为或x>12【答案】BD【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为或，∴，A选项错误；BC选项，已知和3是关于x的方程的两根，由根与系数的关系得，则，不等式，即，又，解得，B正确；且，C错误；D选项，不等式，即，即，解得或，D正确．故选：BD35.已知关于x的不等式，(1)若的解集为，求实数a，b的值；(2)求关于x的不等式的解集．【答案】(1)，(2)答案见详解【详解】（1）若的解集为，则是方程的一个根，即，解得，所以不等式为，解得：，所以.即，.（2）因为，即，①当时，即，解得：，不等式的解集为：；②当时，令，解得，若时，不等式解集为：；若时，不等式解集为：；若时，不等式解集为：；若时，不等式解集为：；综上所述：当时，不等式解集为：；当时，不等式的解集为：；当时，不等式解集为：；当时，不等式解集为：；当时，不等式解集为：.36．已知函数.(1)求关于的不等式的解集；(2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【详解】（1）,即，即，当时,原不等式解得;当时，原不等式无解;当时,原不等式解得;综上所述：当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（2）,即，即，，，由题意可知只需即可,令，则当且仅当即时，等号成立.，37.已知函数．(1)若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)当时，解关于x的不等式．【答案】(1)；(2)答案见解析【详解】（1）即为，所以不等式对于