考研数学题真题试卷及答案

考研数学题真题试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：考研数学题真题试卷及答案考核对象：报考硕士研究生数学入学考试的考生题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有界。2.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，则级数∑(n=1to∞)|a_n|也收敛。3.若矩阵A可逆，则det(A)≠0。4.若向量组α_1,α_2,α_3线性无关，则向量组α_1+α_2,α_2+α_3,α_3+α_1也线性无关。5.若函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处必连续。6.若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必有界。7.若矩阵A的特征值全为正，则A必为正定矩阵。8.若向量组α_1,α_2,α_3线性相关，则存在不全为零的常数k_1,k_2,k_3，使得k_1α_1+k_2α_2+k_3α_3=0。9.若函数f(x)在x=0处取得极值，且f'(0)存在，则f'(0)=0。10.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f(x)在[a,b]上必可导。二、单选题（每题2分，共20分）1.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=1，f'(0)=2，则lim(x→0)(f(x)-1)/x=（）A.1B.2C.0D.-12.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，则下列说法正确的是（）A.∑(n=1to∞)|a_n|必收敛B.∑(n=1to∞)a_n^2必收敛C.∑(n=1to∞)a_n^3必收敛D.∑(n=1to∞)a_n^4必收敛3.设矩阵A为3阶矩阵，且det(A)=2，则det(3A)=（）A.3B.6C.8D.184.若向量组α_1,α_2,α_3线性无关，则向量组α_1,α_2,α_3的秩为（）A.1B.2C.3D.45.设函数f(x)在x=0处取得极值，且f''(0)存在，则f''(0)必（）A.>0B.<0C.=0D.可正可负6.若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必（）A.连续B.可导C.有界D.单调7.设矩阵A的特征值为λ_1,λ_2,λ_3，且λ_1=1,λ_2=2,λ_3=3，则det(A)=（）A.1B.2C.6D.98.若向量组α_1,α_2,α_3线性相关，则向量组α_1,α_2,α_3的秩必（）A.=1B.=2C.=3D.=49.设函数f(x)在x=0处取得极值，且f'(0)存在，则f'(0)必（）A.=0B.≠0C.>0D.<010.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f(x)在区间[a,b]上必（）A.可导B.连续C.可积D.有界三、多选题（每题2分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有界B.若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必有界C.若函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处必连续D.若函数f(x)在x=0处取得极值，且f'(0)存在，则f'(0)=02.下列说法正确的是（）A.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，则级数∑(n=1to∞)|a_n|必收敛B.若级数∑(n=1to∞)a_n发散，则级数∑(n=1to∞)|a_n|必发散C.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，则级数∑(n=1to∞)a_n^2必收敛D.若级数∑(n=1to∞)a_n发散，则级数∑(n=1to∞)a_n^2必发散3.下列说法正确的是（）A.若矩阵A可逆，则det(A)≠0B.若矩阵A不可逆，则det(A)=0C.若矩阵A的特征值全为正，则A必为正定矩阵D.若矩阵A的特征值全为负，则A必为负定矩阵4.下列说法正确的是（）A.若向量组α_1,α_2,α_3线性无关，则向量组α_1+α_2,α_2+α_3,α_3+α_1也线性无关B.若向量组α_1,α_2,α_3线性相关，则向量组α_1,α_2,α_3的秩必小于3C.若向量组α_1,α_2,α_3线性无关，则向量组α_1,α_2,α_3的秩必为3D.若向量组α_1,α_2,α_3线性相关，则向量组α_1,α_2,α_3的秩必为15.下列说法正确的是（）A.若函数f(x)在x=0处取得极值，且f'(0)存在，则f'(0)=0B.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f(x)在区间[a,b]上必可导C.若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则f(x)在区间[a,b]上必有界D.若函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处必连续6.下列说法正确的是（）A.若矩阵A的特征值为λ_1,λ_2,λ_3，且λ_1=1,λ_2=2,λ_3=3，则det(A)=6B.若矩阵A的特征值为λ_1,λ_2,λ_3，且λ_1=1,λ_2=2,λ_3=3，则tr(A)=6C.若矩阵A的特征值全为正，则A必为正定矩阵D.若矩阵A的特征值全为负，则A必为负定矩阵7.下列说法正确的是（）A.若向量组α_1,α_2,α_3线性无关，则向量组α_1,α_2,α_3的秩必为3B.若向量组α_1,α_2,α_3线性相关，则向量组α_1,α_2,α_3的秩必小于3C.若向量组α_1,α_2,α_3线性无关，则向量组α_1+α_2,α_2+α_3,α_3+α_1也线性无关D.若向量组α_1,α_2,α_3线性相关，则向量组α_1,α_2,α_3的秩必为18.下列说法正确的是（）A.若函数f(x)在x=0处取得极值，且f'(0)存在，则f'(0)=0B.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f(x)在区间[a,b]上必可导C.若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则f(x)在区间[a,b]上必有界D.若函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处必连续9.下列说法正确的是（）A.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，则级数∑(n=1to∞)|a_n|必收敛B.若级数∑(n=1to∞)a_n发散，则级数∑(n=1to∞)|a_n|必发散C.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，则级数∑(n=1to∞)a_n^2必收敛D.若级数∑(n=1to∞)a_n发散，则级数∑(n=1to∞)a_n^2必发散10.下列说法正确的是（）A.若矩阵A可逆，则det(A)≠0B.若矩阵A不可逆，则det(A)=0C.若矩阵A的特征值全为正，则A必为正定矩阵D.若矩阵A的特征值全为负，则A必为负定矩阵四、案例分析（每题6分，共18分）1.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=1,f(1)=2。证明：存在x_0∈(0,1)，使得f(x_0)=x_0。2.设矩阵A为3阶矩阵，且满足A^2-A=0。证明：A的特征值必为1或0。3.设向量组α_1,α_2,α_3为线性空间R^3中的三个向量，且线性无关。证明：向量组α_1+α_2,α_2+α_3,α_3+α_1也线性无关。五、论述题（每题11分，共22分）1.试论述函数f(x)在区间[a,b]上可积的必要条件和充分条件。2.试论述矩阵A的特征值与特征向量的定义及其性质。---标准答案及解析一、判断题1.错误。反例：f(x)=1/x在[1,2]上连续，但无界。2.错误。反例：a_n=(-1)^n/n收敛，但∑|a_n|=∑1/n发散。3.正确。矩阵可逆的定义。4.正确。线性无关向量组的线性组合仍线性无关。5.正确。可导必连续。6.正确。可积函数必有界。7.错误。特征值为正不保证正定，需所有特征值正。8.正确。线性相关定义。9.正确。极值点处导数为零。10.错误。单调递增函数不一定是可导的，如分段函数。二、单选题1.B.利用导数定义。2.C.绝对收敛的子级数收敛。3.C.det(kA)=k^ndet(A)，n=3,k=3。4.C.线性无关向量组秩等于向量个数。5.C.极值点处二阶导数为零。6.C.可积函数必有界。7.C.det(A)=λ_1λ_2λ_3。8.B.线性相关向量组秩小于向量个数。9.A.极值点处导数为零。10.B.单调函数必连续。三、多选题1.A,B,C.2.C,D.3.A,B,C.4.A,B,C.5.A,C,D.6.A,B,C.7.A,B,C.8.A,C,D.9.C,D.10.A,B,C.四、案例分析1.证明：定义g(x)=f(x)-x，g(0)=1,g(1)=1。由介值定理，存在x_0∈(0,1)，使得g(x_0)=0，即f(x_0)=x_0。2.证明：A的特征值λ满足λ^2-λ=0，即λ(λ-1)=0，故λ=0或1。3.证明：假设k_1(α_