《直角三角形的性质和判定》课件

第十一章

三角形11.2

与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角第2课时

直角三角形的性质和判定

1.了解直角三角形两个锐角的关系.2.掌握直角三角形的判定.3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.学习重点：了解直角三角形两个锐角的关系.学习难点：1.掌握直角三角形的判定.

2.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？内角三兄弟之争在这个家里，我是永远的老大.

老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°直角三角形的两个锐角互余知识点1问题1：学生活动一

【一起探究】如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？

在直角三角形ABC中，因为

∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，

即

∠A+∠B=90°.由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？问题2：ABC直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）应用格式：

在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．归纳总结例1（1）如图

，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？图利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数素养考点1方法一（利用平行的判定和性质）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，

∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性质）：

∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠D.图解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠C.（2）如图

，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.图与图有哪些共同点与不同点？

在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(

)A．120°B．90°

C．60°

D．30°

D如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝(

)度A．70B．65C．60D．55A例2如图，∠C=∠D=90°，

AD，

BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，

∠CAE=90°–∠AEC.

在Rt△BDE中，

∠DBE=90°–∠BED.

∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．解：∵CD是AB上的高，∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°.∵BE是AC上的高，∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°.∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°.【思考】通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？基本图形∠A=∠C∠A=∠D归纳总结有两个角互余的三角形是直角三角形吗？

如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？有两个角互余的三角形是直角三角形知识点2ABC学生活动二

【一起探究】

在△ABC中，

因为∠A+∠B+∠C=180°，

又∠A+∠B=90°，

所以∠C=90°.

即△ABC是直角三角形.ABCABC应用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形.

(直角三角形的判定定理）归纳总结例1如图，∠C=90°，

∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ACBDE((12解：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2，

∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.利用直角三角形的判定定理识别直角三角形素养考点2已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(

)A．锐角三角形

B．钝角三角形C．直角三角形

D．以上都有可能

C具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(

)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝2∠B＝3∠CD例2如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．解：在△DBC中，∠DBC＝180°–∠BDC–∠C

＝180°–80°–70°＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.

在△ABD中，∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，∴△ABD是直角三角形．1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（

）A．∠A+∠B=∠C

B．∠A-∠B=∠C

C．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠CBD3.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，

CD⊥AB，与∠1互余的角有（）A．∠BB．∠AC．∠BCD和∠AD．∠BCDC4.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°B5.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴△ACD是直角三角形.直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余判定有两个角互余的三角形是直角三角形学前温故新课早知1.平角的度数是

.

2.两条平行线被第三条直线所截,则

相等;内错角

;同旁内角

.

180°同位角

相等

互补

学前温故新课早知1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于

.如图,在△ABC中,∠A+∠B+∠C=

.

2.在△ABC中,∠A=55°,∠B=25°,则∠C的度数是

.

3.直角三角形的两个锐角

.

180°180°100°互余

4.有两个角

的三角形是直角三角形.

互余

三角形内角和定理的运用【例题】

如图,在△ABC中,AE是边BC上的高,AD是角平分线,∠B=42°,∠C=68°,分别求∠BAC,∠DAE的度数.分析:从已知条件入手,首先对△ABC应用三角形内角和定理求出∠BAC的度数,然后根据角平分线性质求出∠DAC的度数;在Rt△AEC中,由∠EAC与∠C互余,求出∠EAC的度数,最后根据∠DAE=∠DAC-∠EAC求出∠DAE的度数.解:∵∠B=42°,∠C=68°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°.∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAC=∠BAC=35°.∵AE是高,∠C=68°,∴∠EAC=90°-∠C=22°,∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-22°=13°.12345671.在△ABC中,若∠A=2∠B=70°,则∠C的大小是(

).A.40° B.75° C.35° D.105°答案解析解析关闭∵∠A=70°,∠B=35°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-35°=75°.答案解析关闭B12345672.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,DE∥BC,则∠AED的度数是(

)

A.50° B.60°C.70° D.80°答案解析解析关闭∵∠A=60°,∠B=40°,∴∠C=180°-∠A-∠B=80°.又DE∥BC,∴∠AED=∠C=80°.答案解析关闭D1234567A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定答案解析解析关闭答案解析关闭12345674.一块三角形木板的残余部分如图所示,量得(阴影部分)∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板的另外一个角的大小是

.

答案答案关闭40°12345675.在△ABC中,若∠A=