2025-2026学年海市闵行区莘光中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2025-2026学年海市闵行区莘光中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．下列函数中是二次函数的是A． B． C． D．2．在△中，，如果，，那么的长是（）A．3 B． C． D．3．在△中，点、分别在、上，如果，那么下列条件中能够判断的是（）A． B． C． D．4．下列说法中，错误的是A．长度为1的向量叫做单位向量 B．如果，且，那么的方向与的方向相同 C．如果是一个单位向量，是非零向量， D．如果，其中是非零向量，那么5．如图，电线杆的高度为，两根拉线与互相垂直、、在同一条直线上），设，那么拉线的长度为A． B． C． D．6．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线重合，现有直线与抛物线相交，当时，利用图象写出此时的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知、、满足，则．8．二次函数的图象与轴的交点坐标是．9．如果抛物线的顶点是它的最低点，那么的取值范围是．10．如果抛物线与抛物线关于轴对称，那么的值是．11．如果向量满足关系式，那么（用向量、表示）．12．如果一传送带和地面所成斜坡的坡比为，要把物体从地面送到离地面10米高的地方，物体所经过的路程为米．13．在二次函数中，如果，，，那么它的图象一定不经过第象限．14．如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们对应的角平分线的比是．15．如图，在△中，，点、分别在边、上，且，如果，，那么．16．已知点、，在二次函数的图象上，如果，那么0（用“”或“”连接）．17．如图，点为矩形边上一点，点在边的延长线上，与交于点，若，，，则．18．如图，平面上七个点、、、、、、，图中所有的连线长均相等，则．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）已知抛物线．（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．21．（10分）甲、乙两人分别站在相距6米的、两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的处发出一球，乙在离地面1.5米的处成功击球，球飞行过程中的最高点与甲的水平距离为4米，现以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．22．（10分）根据以下素材，完成探索任务．探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米．素材2如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.5米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为6.5米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米．问题解决任务一如图①，求斜坡的坡比．任务二如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离．23．（12分）已知：如图，四边形，，对角线，点是边的中点，与相交于点，（1）求证：平分；（2）求证：．24．（12分）已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点与点重合时，求平移的距离；（3）联结，如果与互补，求点的坐标．25．（14分）已知在中，，是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．（1）如图1，联结，求证：；（2）如图2，如果，求的值；（3）如果以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的斜边中线与边的交点，且，求边的长．

参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列函数中是二次函数的是A． B． C． D．解：、，是一次函数，、，是一次函数，、当时，不是二次函数，、是二次函数．故选：．2．在△中，，如果，，那么的长是（）A．3 B． C． D．解：，，故选：．3．在△中，点、分别在、上，如果，那么下列条件中能够判断的是（）A． B． C． D．解：，，当时，，，故选项能够判断；而，，选项不能判断；故选：．4．下列说法中，错误的是A．长度为1的向量叫做单位向量 B．如果，且，那么的方向与的方向相同 C．如果是一个单位向量，是非零向量， D．如果，其中是非零向量，那么解：、长度为1的向量叫做单位向量，故本选项不符合题意；、当且时，那么的方向与的方向相同，故本选项不符合题意；、如果是一个单位向量，是非零向量，或，故本选项符合题意；、如果，，其中是非零向量，那么向量与向量共线，即，故本选项不符合题意；故选：．5．如图，电线杆的高度为，两根拉线与互相垂直、、在同一条直线上），设，那么拉线的长度为A． B． C． D．解：，，，，，在中，，，故选：．6．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线重合，现有直线与抛物线相交，当时，利用图象写出此时的取值范围是（）A． B． C． D．解：将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，所得抛物线为，．令，解得，，直线与抛物线的交点坐标为，．画出直线与抛物线如图所示，由图可知，当时，的取值范围是．故选：．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知、、满足，则．解：设，，，，，故答案为：．8．二次函数的图象与轴的交点坐标是．解：把代入得，所以该二次函数的图象与轴的交点坐标为，故答案为．9．如果抛物线的顶点是它的最低点，那么的取值范围是．解：抛物线的顶点是它的最低点，，故答案为．10．如果抛物线与抛物线关于轴对称，那么的值是．解：抛物线与抛物线关于轴对称，两抛物线开口大小不变，方向相反，．故答案为：．11．如果向量满足关系式，那么（用向量、表示）．解：，，．故答案为：．12．如果一传送带和地面所成斜坡的坡比为，要把物体从地面送到离地面10米高的地方，物体所经过的路程为26米．解：物体的铅直高度是10米，斜坡的坡比为，物体的水平宽度是：米，由勾股定理得：物体所经过的路程为：（米，故答案为：26．13．在二次函数中，如果，，，那么它的图象一定不经过第三象限．解：、，该抛物线开口方向向上，且与轴交于正半轴；，，二次函数的函数图象的对称轴是直线，二次函数的函数图象的对称轴在轴右侧；综合上述，二次函数的图象一定不经过第三象限．故答案为：三．14．如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们对应的角平分线的比是．解：两个相似三角形的面积比是，这两个相似三角形的相似比是，其对应角平分线的比等于相似比，它们对应的角平分线比是．故答案为．15．如图，在△中，，点、分别在边、上，且，如果，，那么．解：，，△△，，即，，，，故答案为：，16．已知点、，在二次函数的图象上，如果，那么0（用“”或“”连接）．解：二次函数的解析式为，该抛物线对称轴为，，且，．故答案为：．17．如图，点为矩形边上一点，点在边的延长线上，与交于点，若，，，则．解：由，设，，则，，四边形是矩形，，，，，，，，△△，，，在△中，，在△中，，在△中，，，、、、四点共圆，，，△△，，设则，设，则，则有，解得，，，．解法二：设与交于，①△△，得到；②△△得到；③△△得到与的比值．故答案为：；18．如图，平面上七个点、、、、、、，图中所有的连线长均相等，则．解：连接、，过点作，垂直为．设的长为，则，、、和都是等边三角形，四边形、四边形是菱形，，，在中，因为，，，在中，，即整理，得．故答案为：三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．解：原式．20．（10分）已知抛物线．（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．解：（1），，，所以，对称轴是直线，顶点坐标为；（2）新顶点，，，，平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位．21．（10分）甲、乙两人分别站在相距6米的、两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的处发出一球，乙在离地面1.5米的处成功击球，球飞行过程中的最高点与甲的水平距离为4米，现以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．解：由题意得：，，抛物线的对称轴为直线，设抛物线的表达式为：，则据题意得：，解得：，羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：，，飞行的最高高度为：米．22．（10分）根据以下素材，完成探索任务．探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米．素材2如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.5米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为6.5米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米．问题解决任务一如图①，求斜坡的坡比．任务二如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离．解：任务一．由题意得：．．米，米，（米．斜坡的坡比．答：斜坡的坡比为；任务二．作于点，延长交于点，作于点．．由题意得：，．由任务一得：．由题意得：，．．．．．解得：．同理：．．解得：．，．由题意得：，．．．．．解得：．，．由题意得：，四边形是矩形，，，．．，．．．．．答：小张距大巴车尾的距离为．23．（12分）已知：如图，四边形，，对角线，点是边的中点，与相交于点，（1）求证：平分；（2）求证：．【解答】证明：（1），，，，即，△△，，即平分；（2），．24．（12分）已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点与点重合时，求平移的距离；（3）联结，如果与互补，求点的坐标．解：（1）抛物线经过点和点，，解得：，抛物线的表达式为；（2），抛物线的对称轴直线，顶点为，由题意，把抛物线向下平移得到抛物线，当点与点重合时，设平移的距离为，对称轴直线交轴于点，如图，抛物线的表达式为，抛物线的顶点为，，，，当时，，，，，，，，，即，解得：，当点与点重合时，平移的距离为3；（3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于，如图，，，，对称轴为直线，，，，，四边形是矩形，，，，，即，抛物线与轴交于点和点，当时，，解得：或，，，，，把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴交于点，，抛物线的对称轴与轴平行，即，四边形是平行四边形，，，，，，在中，，，轴，轴，，，，与互补，即，，，，，．25．（14分）已知在中，，是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．（1）如图1，联结，求证：；（2）如图2，如果，求的值；（3）如果以