2025-2026学年上海市嘉定二中高三（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市嘉定二中高三（上）期中数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、填空题（共12题，满分54分）.1．已知集合，，则．2．不等式的解集为．3．函数的最小正周期为．4．已知，是两两垂直的单位向量，则．5．已知复数（其中为虚数单位），则．6．已知函数，曲线经过点的切线方程为．7．（5分）已知一个圆锥的高是2，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是．8．（5分）已知在处取得极值，则的最小值为．9．（5分）若，则称与互为“邻位复数”．已知复数与互为“邻位复数”，则的最大值．10．（5分）若函数存在极值点，则的取值范围是．11．（5分）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上，且，则的最小值为．12．（5分）对任意数集，，满足表达式且值域为的函数个数为．记所有可能的的值组成集合，则集合中的元素之和为．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．“”是“”的条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要14．直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（）A． B．3 C． D．15．（5分）已知函数的定义域为，，值域为，，则的值不可能是A． B． C． D．16．（5分）若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，为自然对数的底数），有下列两个命题：命题和之间存在唯一的“隔离直线”；命题和之间存在“隔离直线”，且的最小值为．则下列说法正确的是A．命题、命题都是真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题为假命题，命题为真命题 D．命题、命题都是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。17．（14分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．18．（14分）已知函数．（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；（2）当时，求的单调递增区间和值域．19．（14分）已知函数是定义域为的偶函数．（1）求实数的值；（2）已知关于的方程在，上有解，求实数的取值范围．20．（18分）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，直线交椭圆于、两点，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）若，求△面积的取值范围．21．（18分）对于定义域为的函数，若同时满足以下条件：①在内是单调递增或递减函数；②若存在，，使得函数在，的值域也是，．那么我们把函数叫做“闭函数”．（1）判断函数是不是闭函数，并说明理由；（2）若函数为“闭函数”，则实数在变化时，求的最大值；（3）若函数为闭函数，求实数的取值范围．

参考答案一、填空题（共有12题，满分54分）.1．已知集合，，则，．解：，，由集合交集运算可得，，．故答案为：，．2．不等式的解集为．解：可化为，解得，故不等式的解集为，．故答案为：．3．函数的最小正周期为．解：因为，所以，即的最小正周期为．故答案为：．4．已知，是两两垂直的单位向量，则．解：因为，是两两垂直的单位向量，所以，则．故答案为：．5．已知复数（其中为虚数单位），则5．解：，所以，可得．故答案为：5．6．已知函数，曲线经过点的切线方程为或．解：因为，所以，设过点的切线与切于，则切线方程为，又其过，所以，所以，即，解得或．①当时，所求切线方程为，整理为；②当时，所求切线方程为，整理为，故曲线经过点的切线方程为或．故答案为：或．7．（5分）已知一个圆锥的高是2，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是．解：设圆锥的底面半径为，母线长为，由圆锥的高是2，侧面展开图是半圆，可得圆锥的侧面积，解得，又由，可得，，所以圆锥的侧面积是．故答案为：．8．（5分）已知在处取得极值，则的最小值为8．解：由，得，函数在处取得极值，（1），则（1），可得，，，，当且仅当，结合，即时取等号．故答案为：8．9．（5分）若，则称与互为“邻位复数”．已知复数与互为“邻位复数”，则的最大值9．解：复数与，，则，即，故点在圆，表示点到原点的距离，故的最大值为．故答案为：9．10．（5分）若函数存在极值点，则的取值范围是，，．解：，，则，有极值点，则有解，则△，解得或，当时，，函数单调递增，不满足；当时，，函数单调递增，不满足；综上所述：，，．故答案为：，，．11．（5分）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上，且，则的最小值为．解：以点为坐标原点，建立如下图所示直角坐标系，，，四边形是矩形，，，，设，，则，则，，，当且仅当时取等号，的最小值为．故答案为：．12．（5分）对任意数集，，满足表达式且值域为的函数个数为．记所有可能的的值组成集合，则集合中的元素之和为90．解：函数，所以，当或时，；当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值0，当时，该函数取得极小值，画出函数图象，如图：观察图象知，当与图象有一个公共点时，相应的有1种取法；当与图象有两个公共点时，相应的有种取法；当与图象有三个公共点时，相应的有种取法，直线，与函数图象的交点个数可能的取值如下：，，，，，，对应的函数个数为1，3，7，，，，即，所以集合中元素之和为90．故答案为：90．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．“”是“”的条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要解：，，”是“”的必要不充分条件，故选：．14．直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（）A． B．3 C． D．解：直线经过两点，，可得直线的斜率，逆时针旋转后，则直线的倾斜角为，可得，直线的斜率．故选：．15．（5分）已知函数的定义域为，，值域为，，则的值不可能是A． B． C． D．解：由于函数的定义域为，，值域为，，则的最大值为，最小值为，故选：．16．（5分）若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，为自然对数的底数），有下列两个命题：命题和之间存在唯一的“隔离直线”；命题和之间存在“隔离直线”，且的最小值为．则下列说法正确的是A．命题、命题都是真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题为假命题，命题为真命题 D．命题、命题都是假命题解：（1）对命题设，的隔离直线为，则对任意恒成立，故对任意恒成立，由对任意恒成立，得，若，则符合题意，若，则对任意都成立，又因为的对称轴为，从而，即，所以，又的对称轴为，，即，，故，同理可得，即，故命题为假命题；（2）对命题函数和的图象在处有公共点，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率，则隔离直线方程，即，由恒成立，．若，则不恒成立，不符合题意；．若，由恒成立，令，对称轴，则在上单调递增，又，故不恒成立，不符合题意；．若，可得在时恒成立，的对称轴为，则，故只有，此时直线，下面证明，令，则，易得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值0，也是最小值，所以，故，所以和存在唯一的隔离直线，故命题为真命题．故选：．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。17．（14分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．【解答】（1）证明：取中点，连接，，因为正三棱柱，所以，且，因为为线段的中点，所以且．所以且，因为为中点，所以．所以且．所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）解：分别取，中点，，连接，，因为是正三棱柱，所以，平面，．所以平面．所以，．以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．则．所以．设平面的法向量为，所以，即，令，解得，所以．设直线与平面所成角为，，则，所以，即直线与平面所成角为．18．（14分）已知函数．（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；（2）当时，求的单调递增区间和值域．解：（1）角的终边与单位圆交于点，，；（2）由；由，得，，又，所以的单调递增区间是；，，，故得的值域是，．19．（14分）已知函数是定义域为的偶函数．（1）求实数的值；（2）已知关于的方程在，上有解，求实数的取值范围．解：（1）是定义域为的偶函数，，，，，，，；（2）由（1）可知，根据题意可得关于的方程在，上有解，令，则，，关于的方程在，上有解，，，实数的取值范围为，．20．（18分）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，直线交椭圆于、两点，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）若，求△面积的取值范围．解：（1）因为椭圆的左右焦点分别为、，所以，又，所以，，所以椭圆的方程为．（2）证明：设直线，，，，，，联立，消去，得，所以△，由韦达定理有，所以，所以线段的中点的坐标为，即，所以直线的斜率与的斜率的乘积为，所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．（3）由（2）可知，，其中，又直线，上有点，，，，所以，若，则，即，所以，此时，则原点到的距离为，又，所以，不妨设，因为，所以，所以，由对勾函数单调性以及复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，所以，，所以△面积的取值范围．当直线的斜率为0或不存在，由，设，，，可得，解得，则△的面积为，综上，可得△面积的取值范围是，．21．（18分）对于定义域为的函数，若同时满足以下条件：①在内是单调递增或递减函数；②若存在，，使得函数在，的值域也是，．那么我们把函数叫做“闭函数”．（1）判断函数是不是闭函数，并说明理由；（2）若函数为“闭函数”，则实数在变化时，求的最大值；（3）若函数为闭函数，求实数的取值范围．解：（1）令，在上为增函数，满足条件①，若存在区间，，使在，上的值域是，，则，方程组无解，因此不满足条件②，因此函数不是闭函数；（2）令，易知在上为增函数，因为为闭函数，因此存在区间，，使在，上的