四川大学《概率论与数理统计（智能制造算法优化版）》2024-2025 学年第一学期期末试卷

班级班级学号姓名本科．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．密．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．封．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．试卷说明：1、试卷满分100分，120分钟完成试卷；2、钢笔或圆珠笔直接答在试题中（除题目有特殊规定外）；3、答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号一二三四五总分合分人复核人满分100得分一、精心选一选（本大题总共15小题，每题2分，共30分）1.设A、B为两个随机事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列等式中成立的是（）A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(A|B)=P(B|A)C.P(A∩B)=P(A)P(B|A)D.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)2.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(X≤μ)的值为（）A.0B.0.5C.1D.无法确定3.设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则下列说法错误的是（）A.∫f(x)dx=1B.P(a≤X≤b)=∫f(x)dx（积分区间为a到b）C.f(x)≥0D.f(x)是连续函数4.若随机变量X与Y相互独立，且E(X)=2，E(Y)=3，则E(XY)的值为（）A.2B.3C.5D.65.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体的样本，则样本均值X̅服从的分布为（）A.N(μ,σ²/n)B.N(μ,σ²)C.N(nμ,nσ²)D.N(0,1)6.设事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(B)=0.3，则P(A∪B)的值为（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.57.已知随机变量X的分布律为P(X=k)=Cλᵏ/k!(k=0,1,2,…)，则X服从（）分布A.正态B.二项C.泊松D.均匀8.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)，则关于X的边缘概率密度函数fₓ(x)为（）A.∫f(x,y)dy（积分区间为负无穷到正无穷）B.∫f(x,y)dx（积分区间为负无穷到正无穷）C.f(x,y)D.无法确定9.若随机变量X服从参数为n,p的二项分布，则E(X)的值为（）A.npB.n(1-p)C.pD.n10.设总体X的均值为μ，方差为σ²，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体的样本，则样本方差S²的计算公式为（）A.∑(Xᵢ-X̅)²/(n-1)B.∑(Xᵢ-X̅)²/nC.∑(Xᵢ-μ)²/(n-1)D.∑(Xᵢ-μ)²/n11.设A、B为两个随机事件，且B⊂A，则下列关系正确的是（）A.P(A∪B)=P(A)B.P(A-B)=P(A)-P(B)C.P(AB)=P(A)D.P(B|A)=P(B)12.已知随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X=a)的值为（）A.F(a)B.F(a⁺)-F(a)C.F(a⁻)-F(a)D.013.设随机变量X与Y的协方差Cov(X,Y)=0，则下列说法正确的是（）A.X与Y相互独立B.X与Y不相关C.E(XY)=E(X)E(Y)D.以上都不对14.设总体X服从均匀分布U(a,b)，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体的样本，则样本均值X̅的数学期望E(X̅)为（）A.(a+b)/2B.aC.bD.(a+b)/n15.设事件A发生的概率为P(A)，则事件A不发生的概率为（）A.1-P(A)B.P(A)C.0D.无法确定二、准确填一填（本大题总共5题，每题4分，共20分）1.已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(A|B)=0.2，则P(A∪B)=______。2.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ=______。3.若随机变量X的概率密度函数为f(x)={2x,0<x<1;0,其他}，则P(0.2<X<0.5)=______。4.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X=i,Y=j)=pᵢⱼ(i,j=1,2)，则P(X=1)=______。5.已知总体X服从正态分布N(1,4)，X₁,X₂,X₃为来自总体的样本，则样本均值X̅服从______分布。三、细心算一算（本大题总共6题，每题4分，共24分）1.已知随机变量X的分布律为P(X=-1)=0.2，P(X=0)=0.3，P(X=1)=0.5，求E(X)和E(X²)。2.设随机变量X服从正态分布N(0,1)，求P(-1<X<2)。3.已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)={6xy²,0<x<1,0<y<1;0,其他}，求关于X的边缘概率密度函数fₓ(x)和关于Y的边缘概率密度函数fᵧ(y)。4.设总体X服从参数为λ的指数分布，概率密度函数为f(x)={λe⁻ˣˡ,x>0;0,x≤0}，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体的样本，求样本均值X̅的概率密度函数。5.已知事件A、B满足P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(A∩B)=0.2，求P(A|B)和P(B|A)。6.设随机变量X与Y的联合分布律为P(X=-1,Y=-1)=0.1，P(X=-1,Y=1)=0.2，P(X=1,Y=-1)=0.3，P(X=1,Y=1)=0.4，求Cov(X,Y)。四、认真答一答（本大题总共2题，每题6分，共12分）1.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体的样本，样本均值X̅=(1/n)∑Xᵢ，样本方差S²=(1/(n-1))∑(Xᵢ-X̅)²。证明：(n-1)S²/σ²服从自由度为n-1的χ²分布。2.已知随机变量X的分布函数为F(x)={0,x<0;x²,0≤x<1;1,x≥1}，求X的概率密度函数f(x)，并计算P(0.3<X<0.7)。五、综合应用题（14分）设某工厂生产的零件长度X服从正态分布N