江苏省常州市2024-2025学年高一上学期期末质量调研数学试题（解析版）

PAGE1常州市2024-2025学年第一学期高一期末质量调研数学2025年1月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义直接求解即可.【详解】因为，，所以.故选：B2.若为角终边上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件结合三角函数的定义列方程求,再结合三角函数定义求.【详解】因为为角终边上一点，所以，由已知，所以，故点的坐标为，所以点到原点距离为，所以.故选：A.3.“是“”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：由，得，即解得或，所以是“”的充分且不必要条件，故选：A4.下列函数中，是奇函数且在上单调递减的为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根奇偶函数的性质和幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，的定义域为，且，所以在定义域内为偶函数，故A错误；对于B，的定义域为R，且，所以在定义域内为偶函数，故B错误；对于C，，的定义域为，且是奇函数,因为，所以在单调递减，故C正确；对于D，的定义域为R，且是奇函数，因为，所以在单调递增，故D错误；故选:C.5.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，所以，结合指数函数单调性即可求出答案.【详解】令，所以，因为在上单调递增，所以，所以函数的值域为.故选：D.6.已知，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据求出，作差比较出.【详解】因为，所以，故，，，故，，故，所以.故选：B7.形如的数称为费马数，记为，是一个位数，则的值为（参考数据：）（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】B【解析】【分析】,设,两边取常用对数估算的位数即可.【详解】，设，则两边取常用对数得.，故的位数是20，故选：B．8.若直线与函数的图象从左至右交于点，，直线与的图象从左至右交于点，，记线段和在轴上的投影长度分别为，，则当变化时，的最小值为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设A，B，C，D的横坐标分别为，根据题意得到，，再由求解.【详解】设A，B，C，D的横坐标分别为，则，，，所以，，所以，又，当且仅当，即时，等号成立，所以，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递减C.点是图象的一个对称中心D.将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称【答案】BC【解析】【分析】由周期公式判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；由代值法判断C；根据图象平移写出解析式判断奇偶性可判断D.【详解】对于A，的最小正周期为，故A不正确；对于B，当时，，由余弦函数的单调性可得函数在单调递减，故B正确；对于C，因为，故是图象的一个对称中心，故C正确；对于D，因为，显然不关于轴对称，故D不正确故选：BC.10.已知函数若，则实数的取值可能为（）A.-2 B. C.1 D.27【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得或，分类讨论和，代入解方程即可得出答案.【详解】令，所以，当时，，解得：，所以，当时，，解得：，当时，，解得：，当，，解得：，所以，当时，，解得：，当时，无解，综上：实数的取值可能为：.故选：ABD.11.若函数在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.下列函数中，具有性质的有（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】假设各选项中的函数具有性质，求对应的，若存在则判断该选项所给函数具有性质，反之则说明该函数不具有性质，由此确定正确选项.【详解】A，设函数具有性质，则存在，满足条件，所以，化简可得，即，该方程无解，即满足条件的不存在，矛盾，所以函数不具有性质，A错误；B，设函数具有性质，则存在，满足条件，所以，化简可得，即，解得，所以函数具有性质，B正确；C，设函数具有性质，则存在，满足条件，所以，化简可得，解得或，所以函数具有性质，C正确；D，设函数具有性质，则存在，满足条件，所以，化简可得，因为函数在单调递增，所以函数在单调递增，而，，当时，，所以方程在内有解，所以函数具有性质，D正确；故选：BCD.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为_____.【答案】1【解析】【分析】设扇形的半径为，然后根据题意列方程求出，再由扇形的面积公式可求得结果.【详解】设扇形的半径为，因为扇形的周长为，圆心角为，所以，得，所以扇形的面积为.故答案为：113.若函数在−1,1上恰有一个零点，则实数的值为_____.【答案】2【解析】【分析】易知当时不符合题意；当时，利用转化的思想可知函数与图象在上恰有一个交点，结合余弦函数与二次函数的图象与性质分析即可求解.【详解】当时，，令，解得，当时，，不符合题意；因函数在上恰有一个零点，则方程在上恰有一个实根，即函数与图象在上恰有一个交点.当时，的图象为开口向下、顶点位于轴的抛物线，此时，与图象无交点，不符合题意；当时，，要使函数与图象在上恰有一个交点.只需，解得.综上，.故答案为：214.已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】首先可得的单调性，再由，即可得到对任意的，恒成立，从而得到对任意的，恒成立，再分、、三种情况讨论，分别解出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围.【详解】因为当时，，所以在上单调递增且，又函数是定义域为的偶函数，则当时，，所以在上单调递减且，所以，，因为对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，显然，即；所以对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，当时，不等式，解得，显然不成立；当时，不等式，解得，则，解得；当时，不等式，解得，则，解得；综上可得：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是根据函数的单调性与奇偶性将函数不等式转化为对任意的，恒成立.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）求值：：（2）已知，求的值.【答案】（1）13（2）2【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可；（2）利用诱导公式化简计算即可.【详解】（1）原式；（2）因为，所以原式.16.设为实数，集合，.（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式求出集合，再根据二次函数和正弦函数的性质求出集合，然后利用交集的定义可求出；（2）先求出集合的补集，再由，得，再利用二次函数和正弦函数的性质求出集合，然后利用两集的包含关系列不等式组可求得结果.【小问1详解】由，得，解得或，所以，当时，，因为，所以，所以；【小问2详解】因为，所以，因为，所以，即.，因为，所以，所以，解得.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）观察图象确定函数的最值，由此可求，观察函数的周期，结合周期公式求，由求，由此可得函数解析式；（2）由，结合特殊角三角函数值及正弦函数的图象与性质求，结合的范围确定其值，再求.【小问1详解】观察图象得函数的最大值为，最小值为，故，观察图象可得，又，所以，由，得，，又，得，所以；【小问2详解】因为，所以，或，所以，或，，又因为，所以，所以.18.已知函数，，令，.（1）判断函数的单调性，并用定义证明：（2）若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）是上的增函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先根据题意求得，然后任取，且，再化简变形进行判断符号，从而可判断其单调性；（2）先判断为奇函数，然后将不等式转化为，再根据是上的增函数，得，令，换元后将问题转化为，再构造函数可求得结果.【小问1详解】是上的增函数.证明：由题意得，，，任取，且，则，因为，所以，，所以，又，，所以，即，所以是上的增函数；【小问2详解】因为，所以是上奇函数，由，得，所以，又因为是上的增函数，所以，即，化简得，，令，则，因为与在上单调递增，因为在上单调递增，所以，所以存在，使.因为和在上单调递减，所以当时，单调递减，所以，即.【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性和函数奇偶性的综合问题，考查利用函数奇偶性和单调性解决不等式能成立问题，第（2）问解题的关键是根据奇函数的性质及单调性将问题转化为，再通过换元进一步将问题转化为存在，使，再构造函数，利用函数的单调性可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.19.苏教版必修一教材中有这样一段话：对于等式，如果将视为自变量，视为常数，为关于（即）的函数，记为，那么，是幂函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是指数函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.如果为常数（为自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记为，将表示成的函数.（1）直接写出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性：（不用证明）（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的值：（3）当函数在区间上连续，对任意，，若恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性.试判断函数在上的凹凸性，并证明你的结论.【答案】（1），，在（0，1）上单调递减，在上单调递减，既不是奇函数也不是偶函数（2）（3）下凸函数，证明见解析