基础课27 平面向量的概念及其线性运算 (二)

第五单元平面向量及其应用、复数

基础课27平面向量的概念及其线性运算

考点考课标要求真题印证考频热度核心素养

向

平面向掌握2023年全国甲卷（理）T4数学运算

量的线2023年天津卷T14直观想象

性运算2022年新高考I卷T3

2020年新高考I［卷T3

共线向理解2021年全国乙卷（文）T13数学运算

量定理直观想象

及其应

用

命题分从近几年高考的情况来看，平面向量的概念及其线性运算一般以选择题或

析预测填空题的形式出现，常与其他知识交汇考查，试题较为简单.预计2025年

高考不会单独命题

.基础知识.诊断

1夯实基础:iA

一、向量的有关概念

名称定义备注

向量既有①大小又有②方向的量叫作向自由向量

量

长度（或称模）向量的大小记作以|或|荏|

零向量长度为③2_的向量记作0

单位向量

长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为

④端

平行向量（共线方向⑤相同或相反的非零向量向量a,b平行，记作⑥以

向量）

lb

相等向量长度⑦相等且方向相同的向量两个向量不能比较大小

相反向量长度⑧相等且方向相反的向量0的相反向量为0

二、向量的线性运算

向量运定义法则（或几何意义）运算律

算

加法求两个向量和的运算（1）交换

律：a+

b=©b+

三角形法则

a.

（2）结合

律：（a+

平行四边形法则

b）+c=

⑩a+（b+

c）

减法求两个向量差的运算a-b

=a

三角形法则

+（-6）

数乘规定实数2与向量a的（1）Mal=।川以卜=

加加

积是一个向量，这种运

算叫作向量的数乘，记（2）当入＞o时，N。的方向与a的方向（4+〃）。=

作/laAa+jua；

@aR；当；IvO时，4a的方向与a的

A（a+b）

方向颔目反;当4=0时，Aa=O..

=Aa+Ab

三、共线向量定理

向量a（a工0）与b共线的充要条件：存在唯一一个实数4,使⑬b=Aa.

•知识》拓展•

1.零向量与任何向量共线.

2.若存在非零实数;I，使得荏=2元或通=入阮或前=2左，则4,B,C三

点共线.

3.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，0为平面内任意一点，则标=

*而+砺）.

4.0A=WB+fiOC（入,〃为实数），若点4B,C共线，则4+〃=1.

诊断自测一V^

题组1走出误区

1.判一判.（对的打“J”，错的打“X”）

（1）若向量而与而是共线向量，则4B,C,。四点在同一条直线上.（X）

（2）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.（J）

（3）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.（X）

（4）|山与是否相等与a,b的方向无关.（V）

2.（易错题）下列四人说法正确的是（D）.

A.若。〃b,则a=bB.若|a|=|b|,则a=b

C.若|a|=\b\f则a//bD.若a=b,则|a|=\b\

【易错点】忽视理解向量的概念而致误.

［解析］A中，a=0,6工0,则。〃b,但a工b,故A不正确；B,C中，由于向

量a,b的大小相等，但其方向不确定，故B,C系不正确；D显然正确.故选D.

题组2走进教材

3.（人教A版必修②P14•例6改编）在平行四力形A8CD中，的中点为

M,且而=a,而=b,用a,b表示丽=a+*b.

2

［解析］前=荏+丽=荏+：近=荏+：而=a+：b.

4.（人教A版必修②P16•例8改编）已知a,力是两个不共线向量，向量8-

ta与2一沙共线，见实数

［解析］由题意知，存在实数2,使得b—ta=入a—；b）,则｛—1=：4,

一|2=1,解得£=

题组3走向高考

5.［2022•新高考I卷］在△ABC中，点。在边力8上，BO=204记刀=m,

CD=n,则而=（B）.

A.3m-2nB.-2m+371c.3m+2nD.2m+3n

［解析］因为点。在边43上，DD=2DAf所以而=2万彳，即而一方=

2（CA-CD）,所以而=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.故选B.

一考点聚焦,突破

考点一平面向量的概念［自主练透］

1.（多选题）下列说法中错误的是（BC）.

A.平行向量就是共线向量

B,相反向量就是方向相反的向量

C.若a与b同向,且则a>b

D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

［解析］由平行向量和共线向量的定义可知，A正确；

因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向:S,所以B错误：

因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以

C错误；

因为两个向量平行不掂推出两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向

量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确.

故选BC.

2.［2024•度U升学考试］卜列说法不正确的是(A).

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

C.若a,b都为非零向量，则使言+卷=0成立的条件是a与b反向共线

D.若a=b,b=c,则a=c

［解析］对于A,零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；

对于B,由零向量的定义知，零向量的长度为0,故B正确；

对于C,因为白与堤都是单位向量，所以只有当言与言是相反向量，即。与b反

|a|\b\\a\\b\

向共线时，含+需=。才成立，故c正确；

对于D,由向量相等的定义知D正确.故选A.

3.［2024・河南联考］已知四边形4BCD,下列说法正确的是(A).

A.若丽=觉，则四边形为平行四边形

B.若|玄|=|而则四边形ABCD为矩形

C.若而〃玩，且|照|=|而则四边形4BCD为矩形

D.若|荏|二|而且而〃前，则四边形4BC0为梯形

［解析］对于A,若而=反，则|而|=|方？|且通〃沆，则四边形A8C0为平行

四边再，故A正确：

对于B,若四边形4BC0为等腰梯形，则|彳？|二|前但是四边形48co不是矩

形，故B错误:

对于C,若而〃丽，x|Zc|=\BD\,则四边形ABC0可以是等腰梯形，也可以

是矩形,故C错误；

对于D,若|而|二|而且而〃丽，则四边形A8C0可以是平行四边形，也可

以是等腰梯形，故D错误.故选A.

0方法总结口口口

平面向量相关概念的四个关注点

1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性；

2.共线向量即平行向量，它们均与起点无关；

3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数

图象移动混为一谈；

4.非零向量G与9的关系：言是。方向上的单位向量.

\a\\a\

考点二平面向量的线性运算［多维探究］

角度1向量的加、减运算的几何意义

典例I设M为平行四边形ABCO对角线的交点，0为平行四边形4BC0所在平面

内的任意一点，则瓦？+赤+0?+丽=(D).

A.0MB.20MC.30MD.4丽

［解析］如图，在△04C中，M为AC的中点，所以65+方=2而，在ZkOBO中，

0B+0D=20M,所以35+而+沆+而=4丽.故选D.

()

角度2＞：向量的线性运算

典例2［2024•成都模拟］在△ABC中，~BD=3DC,BE=2EA,则说=（D）.

A.--AB+—ACB.-AB--ACC.--AB+-ACD.-AB--AC

412412124124

［解析］在△ABC中，由丽=3觉，得丽=?近，由丽=2而，得血=2瓦?,

43

所以屁=而一丽=2而一？品=一2荏一三（近一而）=工前一？近.故

343八7124

选D.

角度3＞利用向量的线性运算求参数

典例3如图,在平行四边形4BCD中,E是CD的中点尸为线段上的一个三等分

点，且。尸>FB^AF=xAE+yDC(x>0,y>0),WJx4-y=-.

6

［解析］由题意知而=2而，

3

所以而=而+而=而+|而=而+|（历+荏）=3而+|而=

-(AE+ED)+-DC=-AE--DC4--DC=-AE+-DC=xAE+yDC

3336332f

因为旋，反不共线，所以％=-,y=-,故％+y=-.

326

。方法总结口口口

平面向量线性运算的常见类型及解题策略

1.向量求和用平行四边形法则或三角形法则，求差用向量减法的几何意义;

2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平

行四边形或三角形中求解；

3.求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出无，进行比较，求参数的值.

多维训练一

1.如图所示，已知点0到平行四边形的三个顶点&B,C的向量分别为。力1，则

0D=(A).

［解析历方=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+C.故选A.

2.已知在△ABC中，丽二河,则而=(A).

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444334

［解析］在△48C中，因为而=」觉，所以而=二说，

34

则而=湘+前=AS+^BC=AB+^(AC-AB)=^AB+^AC.故选A.

3［2024•梅州模拟］(多选题)如图所示,四边形48CD为等腰梯形,

CD//AB,CD=^AB,E,F分别为OC,4E的中点.若而=2荏+

演则(BC).

［解析］因为CD〃4B,CD=^ABfE为DC的中点，所以而=族+而=而一

工福

4

因为尸为4E的中点，所以版=2AF=2（话+而）=2荏+2而，

所以而=2万+2加一（区=彳而+2前，所以4=3〃=2.故选8（：.

考点三共线向量定理及其应用［师生共研］

典例4（1）［2024•海口模拟］如图，在ZkABC中，E是AB的中点，~BD=

2尻，斤二二标,EF与4D交于点M,则而7=（A）.

3

A.V而+D.而+；而

［解析］在△4BC中，设祠=入彳由丽=2反，可得标=荏+而=

AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC.故宿=AAD=-AB+-AC.

33'，3333

又E是AB的中点，FC=-AF所以布=2荏，亚=f而，

3f3

所以前=2而=旦荏+%而.

39

由E,M,尸三点共线，可得=+生=1,解得4=2,

3914

故府=—AB+-AC,故选A.

147

(2)［2024•秦皇岛校考］己知荏=Q+5b,BC=-2a+8b,CD=

3（a-b）,a,b为两个不共线的向量，则（A）.

A.AfB,。三点共线B.AfB,C三点共线

C.B,C,Z）三点共线D.A,C,。三点共线

［解析］对于A,阮=锭+而=(-2a+8b)+3(a-b)=a+56,

因为荏=a+5b,所以荏=丽，则荏与丽共线,

又而与前有公共点B,所以4,B,。三点共线，A正确；

对于B,设荏=4配,即｛请iV'解得｛1一5〃则%不存在,

所以南与玩不共线，即4B,C三点不共线，B错误；

m=

对于C,设前=标瓦即,之.二解得3

8则m不存在,

m="?

所以说与而不共线，即B,C,0三点不共线，C错误;

对于D,元=荏+正=(a+5b)+(-2a+8b)=-a+13b,

令就=72方，即｛解得｛I二拳则几不存在，

所以前与而不共线，即/,C,0三点不共线，D错误.故选A.

0方法总结口口口

利用共线向量定理解题的策略

证明向对于向量m4若存在实数九使a=ab（bHO）,则a与b共线

量共线

证明三若存在实数九使得荏=2而，则4&C三点共线

点共线

求参数利用。〃b<=>a=Xb（b。0）,a=（xpyj,fe=（%2，、2）=工。2-必力=0

的值

构造含有参数的方程（组），解方程（组）得到参数的值.若a与b不共线，

且入a=pib,贝ij/l=〃=0

冬」针对训练-VA

设。1，e2是两个不共线的向量，已知而=24-8©,CB=ex+3e2,CD=

2et-e2.

（1）求证：A,B,。三点共线.

［解析］由已知得丽=~CD-CB=(2%-e2)一(3+3e2)=ex-4e2,因为

AB=2e1—8e2,所以Ag=2BD.

又丽与而有公共点B,所以4,B,。三点共线.

(2)若丽=3e1一左匕，且8，D,广三点共线，求k的值.

［解析］由(1)可知84=々-462，因为B户=3G-攵0，且&D,F三点共

线，所以可设前=4而(AER),^3et-ke2=Xex-4Ae2,所以

匕片"解微…

拓展教材深度学习।

等和线定理

我们知道，若4P,B三点共线，则赤=4瓦5+〃而，其中;1+〃=1.在此结

论基础上，再进一步推广：平面内一个基底57，砺