回扣5概率与统计

回扣5概率与统计

。回归教材知识方法再回顾

1.分类加法计数原理

完成一件事，可以有〃类办法，在第一类办法中有如种方法，在第二类办法中有利2种方法，…，在第〃

类办法中有〃加种方法，那么完成这件事共有乂=如+帆+…+，〃〃种方法(也称加法原理).

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要经过〃个步骤，缺一不可，做第一步有初种方法，做第二步有〃”种方法，…，做第〃步

右小”种方法，那么完成这件事共々N=mx/〃2X…x〃?“种方法(也称乘法原理).

3.排列

(1)排列的定义：从〃个不同元素中取出皿〃个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从“个不同元素

中取出m个元素的一个排列.

(2用£列数的定义：从〃个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从〃个不同元素中取

出m个元素的排列数，用AM表示.

(3荆列数公式：Ar=〃(〃一1)(〃一2)…1).

(4)全排列：〃个不同元素全部取出的一个排列，叫做〃个元素的一个全排列，Ag=//•(/?—1)•(/?—2)•…・21=

加.排列数公式写成阶乘的形式为A；?=一^一,这里规定0!=1.

?〃一/〃？！

4.组合

(1)组合的定义：从〃个不同元素中取出〃?(〃?忘〃)个元素合成一组，叫做从〃个不同元素中取出m个元素的

一个组合.

(2)组合数的定义：从〃个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个不同元素中

取出小个元素的组合数，用Cr表示.

(3)组合数的计算公式：Cy=母=——-----="?1??〃—2?由于()！=],所以can

A2；ml?〃一〃?？！m\

(4)组合数的性质：①C；P=C}F；②CL=C?+C尸.

5.二项式定理

(a+/>)〃=C9++C/LI〃+…+◎/['+•••+a+(〃eN*).

这个公式叫做二项式定埋，右边的多项式叫做他十与”的二项展开式，其中的系数am=()」,2,…，〃)叫做

nkk

二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用5十1表示，即展开式的第女+1项：Tk,\=C^a~b.

6.二项展开式形式上的特点

(1濒数为〃+1.

(2)各项的次数都等于二项式的基指数n,即。与力的指数的和为止

(3)字母q按降第排列，从第一项开始，次数由〃逐项减1直到零；字母人按升第排列，从第一项起，次数

由零逐项增1直到此

(4)二项式的系数从C9,Ci，一直到C尸,C3.

7.二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C7=CP«.

(2)增减性与最大值：二项式系数C£,当上审时，二项式系数是递增的：当心审■时，二项式系数是递

减的.

当〃是偶数时，那么其展开式中间一项7；的二项式系数最大.

-+1

2

当n是奇数时，那么其展开式中间两项忆*和71M的二项式系数相等且最大.

(3)各二项式系数的和

m+b)〃的展开式的各个二项式系数的和等于2〃，

即c2+a+a+…+c£+…+c夕=2”.

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即a+G+G+-=a+a+c力

+•••=2”一].

8.概率的计算公式

(1)古典概型的概率计算公式

D,八事件4包含的基本事件数叨

P(A)=

基本事件总数〃

(2)互斥事件的概率计算公式

P(/4U8)=P(4)+尸(4)：

(3)对立事件的概率计算公式

P(A)=1-P(J)；

(4)几何概型的概率计算公式

0,八构成事件力的区域长度?面积或体积？

试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?.

(5)条件概率公式

P?AB?

P(B\A)=

P?履

9.抽样方法

简单随机抽样、分层抽样、系统抽样.

(1)从容量为N的总体中抽取容量为〃的样本，则每个个体被抽到的概率都为上

(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量.

10.统计中四个数据特征

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.

(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两

个数据的平均数作为中位数.

(3片均数：样本数据的算术平均数，

(4)方差与标准差

方差：$2=1[8一X)2+(也_Xy+…+(心-X)2].

n

标准差：

S=1?XLX?2+?X2_X??+…+?KLX?2].

n

11.离散型随机变量

(1)离散型随机变量的分布列的两个性质

①〃,20(i=l,2.•••♦n)：②2H------\~p>,=1.

(2)期望公式

E{K}=X\p\-\-X2pi~\------\-Xnpn.

(3)期望的性质

①E(“x+b)=aE(X)+h；

②若X〜例〃，p),则E(X)="：

③若X服从两点分布，则反X)=p

(4)方差公式

。(曾=[XLE(切2冷+区一理切2m+・.・+[%一反孙2.p”，标准差为z)?A?.

(5)方差的性质

①D(aX+b)=屋。CY)：

②若X〜4(”，p),则。(出=卬(1—p)；

③若¥服从两点分布，则。(㈤=〃(Lp).

(6)独立事件同时发生的概率计算公式

P(HB)=P(A)P(B).

(7)独立重复试验的概率计算公式

P”(A)=G"(l—p)〃r.

12.线性回归

线性回归方程；=几+。一定过样本点的中心(X,yy.

13.独立性检验

利用随机变量烂=,〃%”一比??来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.如

?a+b??c+d?k+c??b+d?

果K的观测值上越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大.

14.正态分布

如果随机变量x服从正态分布，则记为x〜M〃，/).满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(〃-

+a)=0.6826；②尸(〃一2(?<XW〃+2b)=0.9544；&尸(〃一3代》★〃+3。)=0.9974.

!------------------------------易错提醒--------------------------------1

1.关于两个计数原理应用的注意事项

(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数

原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数

原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

(2)混合问题一般是先分类再分步.

(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.

(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.

2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：

(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.

(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.

3.排列、组合问题的求解方法与技巧

(1)特殊元素优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题先选后排.(4)相邻问题捆绑处理.(5)

不相邻问题插空处理.(6)定序问题排除法处理.(7)分排问题直排处理.(8)“小集团”排列问题先整体后

局部.(9)构造模型.(10)正难则反，等价条件.

4.对于二项式定理应用时要注意

(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.

项的系数与“，人有关，可正可负，二项式系数只与〃有关，恒为正.

(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出鼠再求所需的某项；有时需先求〃，计算

时要注意〃和上的取值范围及它们之间的大小关系.

(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0,±1.

(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a,h.

5.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生

的概率，再求和.

6.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一

定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.

7.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数

据的频率求错.

8.要注意概率尸(05)与尸(45)的区别

(1)在尸(川8)中，事件48发生有时间上的差异，8先4后；在尸(48)中，事件48同时发生.

(2)样本空间不同，在P(4|5)中，事件8成为样本空间；在尸(川?)中，样本空间仍为。，因而有尸(川8)2外48).

9.易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误.

9回扣训练保温热身拿高分

1.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽

取方法数为()

A.224B.112C.56D.28

答案B

解析根据分层抽样，从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生1名男生的方

法数为m=112.

2.采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，则所选5名学生的学号可能是

()

A.123,4,5B.5,26,27,38,49

C.2,4,6,8,10D.5,13,25,33,45

答案D

解析采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的

个数除以样本容量，据此即可得到答案.采用系统抽样间隔为：=10,只有D答案中的编号间隔为1().故

选D.

3.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班

主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有()

A.210种B.420种

C.630种D.840种

答案B

解析因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女.若选出的3

位教师是1男2女，则共有C!C3闻=180(种)不同的选派方法；若选出的3位教师是2男1女，则共有ClC\M

=240(种)不同的选派方法，所以共有180+240=420(种)不同的方案，故选B.

4.有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数

字之积为偶数的概率为()

A.cqB.cqC.cqD.cq

答案C

解析方法一从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),

(4,5),共1()种，2张卡片上的数字之积为偶数的有7种，故所求概率。=：.

方法二从5张卡片中抽取2张的结果有Cg=10(种)，2张卡片上的数字之积为奇数的有C3=3(种)，故所

求概率为P=10-3=7.

1()10

5.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为

()

A.62,62.5B.65,62

C.65,63.5D.65,65

答案D

解析选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应

的横坐标即为中位数.最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为(0.01+

n7

0.02)X10=0.3,由于0.5—0.3=02X|()=5,所以中位数为60+5=65.故选D.

0.4

6.道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄

灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯

5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为()

A.0.95B.0.05C.0.47D.0.48

答案D

解析由题意得小张路过该路口不等待的概率为,48,=0.48.

48+47+5

7.在如图所示的电路图中，开关a,b,。闭合与断开的概率都是J,且是相互独立的，则灯亮的概率是

H'-0

A.cqB.cqC.cqD.cq

答案B

解析设开关a,b,c闭合的事件分别为力，B,C,则灯亮事件。0UJ夕。，且力，8,C

相互独立，川比*,44C"BC互斥，所以P(D)=P(4BCU4BcUABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

+P(A)P(B)P(C)=1X1X，+1X1xl1-2j+，xl1_2jx,=3,故选B.

22222228

8.在二项式12一J”的展开式中，所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为()

A.32B.-32C.0D.1

答案C

解析依题意得所有二项式系数的和为2”=32,解得〃=5.

因此，令x=l,则该二项展开式中的各项系数的和等于1P―1=0,故选C.

9.某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节.在排课时，要求生

物果不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为（）

A.408B.480C.552D.816

答案A

解析数学在第（1,2）节，从除英语外的4门课中选1门安排在第3节，剩下的任意排，故有CJA：|=96（种）

排法；数学在第（2,3）节，从除英语、生物外的3门课中选I门安排在第1节，从除英语外剩下的3门课中

再选1门安排在第4节，剩下的任意排，故有C!C4A3=54（种）排法；数学在（3,4）,（4,5）,（5,6）情况一样，

当英语在第1节时，其他任意排，故有A才=24（种）排法，当英语不在第1节时，从除英语，生物外的3门

课中选一门安排在第1节，再从除英语外剩下的3门中选2门法在数学课前1节和后1节，剩下的任意排，

有C3A3A5=36（种）排法,故共有3X（24+36）=180（种）排法；数学在第（6,7）节时，当英语在第一节时，其

他任意排，故有A3=24（种）排法，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，

再从除英语外的剩下的3门中选1门放在第5节，剩下的任意排，有口€3用=54（种）排法，故有24+54

=78（种）排法，根据分类加法计数原理，共有96+54+180+78=408（种）排法.故选A.

10.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入M万元）8.28.610.011.311.9

支出“万元）6.27.58.()8.59.8

根据上表可得线性回归方程（=历+。，其中/>=0.76,a=y—bx.据此估计，该社区一户年收入为15万

元的家庭的年支出为（）

A.11.4万元B.11.8万元

C.12.0万元D.12.2万元

答案B

的七二4斯右左rX8.2+8.6+10.0+11.3+11.9

解析由题意知，”==10,

5

6.2+7.5+8.0+8.5+9.8。

yv==8,

5

：,u=8-0.76X10=0.4,

A

・•・线性回归方程y=0.76x+0.4,

A

；・当x=15时,y=0.76X15+0.4=11.8（万元）.

11.已知等比数列｛为｝的第5项是二项式k+j”展开式中的常数项，则43a7=.

答案36

解析l+x）的展开式的通项为〃+|=Ch4-汽

令4-2k=0,得左=2,・••常数项为Cl=6,即45=6.

V｛a..｝为等比数列，，廿。7=欣=62=36.

12.书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插入方法共有种.

答案336

解析由题意得3本不同的书，插入到原来的5本不同的书中，可分为三步，第一步：先插入第一本，插

入到原来5本不同的书排成的一排所形成的6个间隔中，有A2=6（种）方法；第二步：再插入第二本，插

入到原来6本不同的书排成的一排所形成的7个间隔中，有A!=7（种）方法；第三步：再插入第三本，插

入到原来7本不同的书排成的一排所形成的8个间隔中，有A&=8（种）方法，共有6X7X8=336（种）不同的

插入方法.

13.（/—x+1严的展开式中/的系数为.

答案一210

解析（*2—工+1严=[1+（/—刈1。的展开式的通项公式为7；+l=ao（x2-X»,对于（N—•通项公式为

2k2mm

Tm+i=CJ?x~(-x)=(一1y,C/f,

令2左一6=3且mWkWlO,，〃£N,k《N,

得〃=2,〃?=1或A=3,"?=3,(x2—x+1严的展开式中x3的系数为CioC/(—1)+。()6(—1)3=-210.

14.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满10()元者即可参加射击嬴玩具活动，具体规则如

下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击

中的概率为〃(p#0),射击次数为心若〃的期望Eg)》,，则〃的取值范围是.

免J。,14

答案I2)

解析由已知得P(〃=l)=p,P5=2)=(1—p)夕，

产(〃=3)=(1—〃)2,则E(〃)=〃+2(l—〃)“+3(1—〃)2=〃2_3〃+3>；,解得〃或〃v；

又〃£(()』)，所以〃J.

15.某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过/系统处理，处理后的污水(4级水)达到环保标准(简

称达标)的概率为p(O<pvl).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行8系统处理后

直接排放.

某厂现有4个标准水量的4级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将

若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标.若混合样

本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放.

现有以下四种方案：

方案：逐个化验；

方案二：平均分成两组化验；

方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；

方案四：混在一起化验.

化验次数的期望值越小，则方案越“优”.

(1)若P=；，求2个力级水样本混合化验结果不达标的概率；

Q)若P=:，现有4个/级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？

(3)若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围.

解(1)该混合样本达标的概率是［5)=；

所以根据对立事件原理，不达标的概率为1-4=1.

(2)方案一：逐个检测，检测次数为4.

方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为I,概率为:；若不达标则检测次数为3,概

率为:•故方案二的检测次数记为。，。的可能取值为2,46

其分布列如下，

246

414T

PclxX

-55

可求得方案二的期望为凤0=2X；：+4X*+6X1=：

方案四：混在一起检测，记检测次数为点,口可取1,5.

其分布列如下，

a15

’2、’2、

P、5小

5r

可求得方案四的期望为3)=lX；；+5xH

比较可得Eg)vE(⑶<4,故选择方案四最“优”.

(3)方案三：设化验次数为小，小可取2,5._______

〃325

P1-p3

外外)=2•夕3+5(1一/)=5—3p3；

方案四：设化验次数为〃,4〃4可取15

〃415

PP41—p4

E(//4)=1・p4+5(1—p4)=5—4p4；

由题意得E(?/3)<E(A/4)?5—3p3<5—4〃4?p<3.

4

故当0<p<：时，方案三比方案四更“优”.

16.(2017・全国H)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100

个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg),其频率分布直方图如下：

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记力表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖