汉中市高一年级上册期末质量检测数学试题

汉中市上学期普通高中期末质量检测高一数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证、姓名.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证、姓名”与考生本人准考证、

姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂

黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案

写在答题卡对应序号方框内.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题

已知集合人={〃〃B

L0,1,2,3,5,6},8={dx=2,eN)则4=()

A.{2,6}B.{0,1,2)

C(0,2,6}D.{023,6}

【答案】C

【解析】

【分析】利用交集的定义求解即可.

【详解】解：由题得集合8是偶数集合，

所以{0,2,6}.

故选：C

2.已知直线/经过A(l,3)1(-2,4)两点，则直线/斜率是()

11C

A.-B.—C.3D.—j

33

【答案】B

【解析】

【分析】直接由斜率公式计算可得.

4-31

【详解】由题意可得直线/的斜率A=-.

-2-13

故选：B.

3.若直线x+2y=。与直线〃氏一丁+5=。垂直，则〃2=()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为-1.

【详解】由题意可知"ZX即机=2.

故选：B.

4.己知8=噫6,0=2如，则（）

2

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<CD.

b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可

【详解】解：♦・P=l°g[3vlogJ=°,

22

/?=logs6>log55=l,

0<c=2°<2°=1，

:.a<c<b

故选：A

5.已知直线/及三个互不重合的平面a,夕，下列结论错误的是（）

A.若。///,pHy,则a//yB.若aJL/?,01y,则

C.若夕，则尸D.若0Ly,aC\0=l,

则Uy

【答案】B

【解析】

【分析】对A,可根据面面平行的性质判断；对B,平面。与/不一定垂直，可能相交或

平行；对C,可根据面面平行的性质判断；对D,可通过在平面。，夕中作直线，推理判

断.

【详解】解：对于选项A：根据面面平行的性质可知，若。//尸，/?///,则成

立，故选项A正确，

对于选项B：垂直于同一平面的两个平面，不一定垂直，可能相交或平行，故选项B错

误，

对于选项C：根据面面平行的性质可知，若乙a"P，则仅成立，故选项C正

确，

对于选项D：若aJ_y,"_Ly,a\fi=l,

设ac/=a,0Cy=b,

在平面。中作一条直线m_L。，则〃7_L7,

在平面夕中作一条直线〃_Lb,则〃

又•.aB=l,:.ml/I,：」工丫,

故选项D正确，

故选：B.

【答案】C

【解析】

【分析】判断函数/（X）的奇偶性及其在R＞（）时的函数值符号，结合排除法可得出合适的

选项.

【详解】对任意的xsR,N+121〉。，故函数/（司=后的定义域为R，

—X3X3

因为/（T）_臼万一一印1一一/（工）’则〃力是苛函数，排除BD.

当x＞0时,/（x）＞0,排除A.

故选：C.

7.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，网格纸上小正

方形的边长为1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的侧面积为（）

4A垂直于底面，AA=3,底面扇环所对的圆心角为弧AD长度是弧4c长度的3

倍，CD=2,则该曲池的体积为()

B.54D.6万

【答案】D

【解析】

【分析】利用柱体体积公式求体积.

【详解】不妨设弧A。所在圆的半径为R,弧8c所在圆的半径为八

由弧长度为弧BC长度的3倍可知R=3〃，CD=R-r=2r=2,

所以r=1，R=3.

故该曲池的体积V=—x(/?2-r2)x3=6>r.

故选：D.

10.某服装厂2020年生产了15万件服装，若该服装厂的产量每年以20%的增长率递增,

则该服装厂的产量首次超过40万件的年份是(参考数据：取lg2=0.3,lg3=0.48)

()

A.2023年B.2024年

C.2025年D.2026年

【答案】D

【解析】

【分析】设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为〃，进而得iso+o?)”2020〉”,

再结合对数运算解不等式即可得答案.

【详解】解：设该服装厂的产展首次超过40万件的年份为〃，

则15(1+O.2)”2020>40,得〃>1冕6,+2020,

.8

因log6-+2020=一+2020=怛8—怛3+2020=——31g2怛3——+2020

?3怆9Ig6-lg5Ig2+lg3-(l-lg2)

.+2020=2025.25,所以〃22026.

21g2+lg3-l

故选：D

11.已知正方体1外接球的表面积为，，正方体2外接球的表面积为S2,若这两个正方体

的所有棱长之和为72,则E+2s2的最小值为()

A.647rB.727rC.80乃D.84万

【答案】B

【解析】

【分析】设正方体1的棱长为。(0＜。＜6),正方体2的棱长为匕，然后表示出两个正方体

外接球的表面积.求出£+2邑化简变形可得答案

【详解】解：设正方体1的棱长为。，正方体2的棱长为〃.

因为12。+13=72,所以。+〃=6,则人=6—。

因为a＞(),/?＞。，所以0＜。＜6,

因为y=4万x(*a)2=3/4,邑=44x(等匕)2=3(6—。尸］，

所以Si+2s2=3$冗+6(6—a)］乃=［9(a—4)2+7214，

故当。=4时，H+2s2取得最小值，且最小值为72〃.

故选：B

—x2+4xx＞1

12.设函数/(工)=1I，，则下列说法错误的是()

'72x+a,x＜\

A.当a=l时，/(x)的值域为(一。,4］

Rf(x)的单调递减区间为［2,")

C.当1工〃43时，函数&("=/("一3有2个零点

D.当。=3时，关于x的方程〃x)=g有3个实数解

【答案】C

【解析】

【分析】利用二次函数和指数函数的值域可判断A选项；利用二次函数和指数函数的单调

性可判断B选项；利用函数g（x）=/（五）-3的零点个数求出〃的取值范围，可判断C选

7

项；解方程/（力=5可判断D选项.

【详解】选项A：当。=1时，当x>l时，/（X）=-A-2+4X=-（X-2）2+4,

当x=2时，/（x）nm=4,

当xKl时，lv/（x）=2'+lV2i+l=3,

综上，函数/"）的值域为（—8,4],故A正确；

选项B：当x>l时，〃.丫）二—（工一2）2+4的单调递减区间为[2,+8）,

当xKl时，函数/（x）=2'+a为单调递增函数，无单调减区间，

所以函数/"）单调递减为[2,+8）,故B正确；

选项C：当x>l时，令/（工）=3=—/+4工-3=0,解得x=3或1（舍去），

当xKl时，要使/（“-3=2'+〃-3=0有1解，即〃=3-2、在上有1解，只需求

出），=3—2、的值域即可，

当xKl时，1«3-2'<3,且函数丁=3—2、在（—0』上单调递减，

所以此时。的范围为lWav3,故C错误；

选项D：当x>l时，/（x）=5,即一f+4x=],即2/—8X+7=0,解得

x=2+-^->I或x=2-^^>1，

22

771

当xWl,a=3时，f（x]=—,则2'+3=—,即2'二一,解得x=-1W1,

''222

7

所以当a=3时，关于x的方程/（工）=5有3个实数解，故D正确.

故选：c.

二、填空题

13.已知寻函数!〃?

在（0,+。）上单调递减，则/（2）=

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】依题意得;〃？=1且根<0,即可求出〃？，从而得到函数解析式，再代入求值即

可；

【详解】解：由题意得=1且“<0,则m二一2,/（"=/,故”2）=；.

故答案为：-

4

14.如图，矩形O'45'C'是平面图形。4BC斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为

8,则平面图形。4BC的面积为.

【答案】16及

【解析】

S

【分析】由题意可知，该几何体的直观图面积，可通过.图形=2后,带入即可求解出

3直观图形

该平面图形的面积.

【详解】解：由题意，直观图的面积为8,

因为直观图和原图面积之,司的关系为=2及，

3直观图形

所以原图形的面积是2®x8=16近.

故答案为：16JJ.

15.直线/'与直线x+3y+l=0关于点M（2,l）对称，则直线〃的方程为.

【答案】x+3y-\]=0

【解析】

【分析】由题意可知，直线/'应与直线工+3），+1=0平行，可设直线方程为

x+3），+〃?=0（机工1）,由于两条至直线关于M点对称，可通过计算点仞分别到两条直

线的距离，通过距离相等，即可求解出〃？，完成方程的求解.

【详解】解：由题意可设直线/'的方程为x+3）+〃?=0（加工1）,

|2+3+机|12+34-11

则I,,=/,,，解得〃2=-11或m=1（舍去），

Vl2+32V12+32

故直线/'的方程为x+3y—11=0.

故答案：x+3y-ll=0.

16.漏斗作为中国传统器具而存在于日常生活之中，某漏斗（有盖）的三视图如图所示，其

中俯视图为正方形,则该漏斗的容积为（不考虑漏斗的厚度），若该漏斗存在外接

八1a

【答案】①.-+-②.0.5

-23

【解析】

【分析】先将三视图还原几何体，然后利用长方体和锥体的体积公式求解容积即可；设该

漏斗外接球的半径为R,设球心为。，利用A=Q4=OP,列式求解。的值即可.

【详解】

由题中的三视图可得，原几何体如图所示,

其中A9=9C=1,A4'=0.5,正四棱锥的高为“，

九方怀=1x1x0.5=0.5,

%-A8C/）=4.S,sa）.a=4x1x1xa=4，

JJJ

所以该漏斗的容积为‘十且；

23

正视图为该几何体的轴截面，

设该漏斗外接球的半径为R，设球心为0,

则R=0A=0P,

又+a二"+a,

22

所以*（竺丫+（也］

整理可得2/+。一1=0,解得。=0.5,

所以该漏斗存在外接球，则。=0.5.

故答案为：①—F—；②0.5.

23

三、解答题

17.（1）求直线3x-4y+l=0与x+y-2=0的交点的坐标：

（2）求两条平行1直线3工一4），-6=。与3x-4y十14=0间的花巨离.

【答案】（1）（14）；（2）4.

【解析】

【分析】（I）联立直线方程求解即可得交点；

（2）由平行直线间的距离公式求解..

【详解】（1）联立《・''得

、x+y—2=0,3二1，

故所求交点的坐标为（14）.

（2）两条平行直线3x-4），-6=0与3x—4y+14=0间的距离

J=|-6-14|_=20=4

732+(-4)25

18.求值:

(1)8,-偿)+；x(O.25)，+J(3-兀了；

(2)(lg2)2+lg5(lg54-lg2)+lg2.1g500-2Ig2+en2.

【答案】(1)兀

(2)3

【解析】

【分析】(1)利用指数塞的运算性质和根式和指数事的互化公式计算即可.

(2)利用对数的运算性质计算即可求得结果.

【小问1详解】

31

原式=4---1---F71—3=71.

22

【小问2详解】

JM^=(lg2)2+(lg5)2+lg51g2+lg2(lg5+lglOO)-21g2+2

=(lg2+lg5)2+2=3.

19.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，点。为AB的中点，NABC=90。,

AB=BC=2,A4,=23

(1)证明：8C7/平面40G.

(2)求三棱锥。一ABC的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵拽

3

【解析】

【分析】（1）在平面AOG内作出辅助线OM,然后根据线面平行的判定定理证明即可；

（2）作出三棱锥0-A8C的高，将「A8C看作三棱锥的底面，利用三棱锥体积公式计算

即可.

【小问I详解】

证明：连接A。，交AR于例，连接QW,因为ABC-A罔G是直三棱柱，所以M为

4。中点，而点。为48的中点，

所以0M//8C，

因为8cz平面AOG，。％（=平面4。6，

所以3C//平面40G.

【小问2详解】

解：过。作。”JLAB于"，

因为A8C—44G是直三棱柱，点。为A8的中点,

所以OH||AA|,且O”_L底面ABC,

所以OZ/MLXM，

2

因为/A8C=9（）。，所以BC_LA3,

则S5C=；X48X3C，

x+4,x<0

20.已知函数=«

e'+3«,x>()

(1)若)(X)在R上单证递增，求4的取值范围;

(2)讨论函数g(x)=/(x)-3的零点个数.

【答案】⑴a>\

(2)当x<()H寸，g(x)有一个零点；当x")时，且当时，g(x)有两个零点，当

时，g(x)有一个零点.

【解析】

【分析】⑴由/(同=)+4、/(力="+3。都是单调递增函数可得/(力的单调性，

利用单调性可得答案；

⑵xvO时g(x)=0有一个零点；

当方之0时,利用g(x)单独单调性求得g(%)min，分gCOmin«。和抵”而>。讨论可得

答案.

【小问1详解】

当了<0时，〃力=冗+4单调递增，

当xNO时，/(x)=e'，3々单调递增，

若/(x)在A上单调递增，只需4Wc°十3”，

：.a>\.

【小问2详解】

当工<0时，g(x)=x+l,此时g(x)=0,即3=一1，有一个零点;

当xNO时，g(x)=e'+3a-3,此时g(x)在［(),+8)上单调递增，

g(x)min=g(O)=l+3〃—3=3a—2,

2

若3。一24(),即此时g(x)有一个零点；

若纭一2>0,即〃>一，此时g(x)无零点，

77

故当时，g(x)有两个零点，当。时，g(x)有一个零点.

21.如图，四棱锥尸一ABCD的底面ABC。为矩形，PA=PC,PB=PD.

(1)证明：平面AAC_L平面ABCD.

(2)若AB=2石，PD=2>/2»3C=2,求点3到平面PCO的距离.

【答案】(1)证明见解析；

⑵拽.

5

【解析】

【分析】(1)连接B。，交AC于点0,连接P。，证明PO_L平面A3CO,即可证明出

平面Q4C_L平面ABCD.

(2)用等体积法=%„),即：xSpa)x/2=：xSw)xP0,即可求出答案.

JJ

【小问1详解】

连接BD，交AC于点。，连接P。，如图所示，

••底面A8CD为矩形，.二。为AC,B。的中点,

又・PA=PC,PB=PD,

:.PO.LAC,POLBD,

又4X130=0,

.•.尸。_1平面45。。，

POu平面P4C，

・•・平面PACJL平面ABCD.

【小问2详解】

•：AB=2g,BC=2,

AC=BD=^AB1+BC2=4>'.OD=OC=2,

在Rf.POD中,NPOD=90。,

:.PO=yJPD2-OD2=2»

•.在心△尸。。中，PC=y)po2+oc2=2V2»

在./CD中，PD=PC=26,CD=273»

・•.SPCD=；xCD义［PC?—CD)?=1x2>/3x>/8^3=V15,

•;BC上CD,:.SRCD=-xBCxCD=-x2x2y/3=2y/3,

设点B到平面PCD的距离为h,

由等体积法可知VR-PCD=Vp.BCD，

又二产O_L平面A8C。，「.PO为点尸到平面8c。的距离，

.1XC

,,3-PCDxh=-xSBCDXPO,

._S88x尸。_2氐2_46

"=SPCD=岳丁

即点8到平面PC。的距离为芷.

5

22.已知二次函数/(x)=/nd+bx-1(加工0)的图象关于直线x=-l对称，且关于x的

方程/(x)+2=0有两个相等的实数根.

(1)g(x)=2/("的值域;

(2)若函数〃(x)=/(logK)—log/Ya