江西省抚州市临川实验学校重点班2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

江西省抚州市临川实验学校重点班2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设AB是椭圆（）的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99，F1为椭圆的左焦点，则的值是（）A. B.C. D.2．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为（）A.3 B.4C.5 D.63．已知角的终边经过点，则，的值分别为A.， B.，C.， D.，4．若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（）A. B.C. D.5．已知直线与直线垂直，则（）A. B.C. D.6．已知是空间的一个基底，若，，若，则（）A B.C.3 D.7．若直线与平行，则m的值为（）A.－2 B.－1或－2C.1或－2 D.18．设，若函数，有大于零的极值点，则A. B.C. D.9．公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足，.则下列结论正确的是（）A.的最大值为B.C.最大值为D.10．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，则实数m的取值范围为（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)11．在直三棱柱中，侧面是边长为的正方形，，，且，则异面直线与所成的角为（）A. B.C. D.12．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（）A. B.2C.3 D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与直线平行，则实数m的值为______14．已知直线（为常数）和圆，给出下列四个结论：①当变化时，直线恒过定点；②直线与圆可能无公共点；③若直线与圆有两个不同交点，，则线段的长的最小值为；④对任意实数，圆上都不存在关于直线对称的两个点.其中正确的结论是______.（写出所有正确结论的序号）15．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为______16．某班有位同学，将他们从至编号，现用系统抽样的方法从中选取人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是，那么第四位的编号是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，证明：函数图象恒在函数的图象的下方；（2）讨论方程的根的个数.18．（12分）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限.记的面积为S，当时，.（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图，PF1，PF2的延长线分别交椭圆于点M，N，记和的面积分别为S1和S2.（i）求证：存在常数λ，使得成立；（ii）求S2-S1的最大值.20．（12分）为了了解高二段1000名学生一周课外活动情况，随机抽取了若干学生的一周课外活动时间，时间全部介于10分钟与110分钟之间，将课外活动时间按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8（1）求第一组数据的频率并计算调查中随机抽取了多少名学生的一周课外活动时间；（2）求这组数据的平均数21．（12分）如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是△的中线，点E是棱的中点（1）证明：∥平面（2）若平面平面，且，求平面与平面夹角余弦值（3）在（2）条件下，求点D到平面的距离22．（10分）已知椭圆的焦距为4，点在G上.（1）求椭圆G方程；（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据椭圆的定义，写出，可求出的和，又根据关于纵轴成对称分布，得到结果详解】设椭圆右焦点为F2，由椭圆的定义知，2，，，由题意知，，，关于轴成对称分布，又，故所求的值为故选：D2、A【解析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆的两条切线的交点在圆上，所以，故选：A3、C【解析】利用任意角的三角函数的定义：，，，代入计算即可得到答案【详解】由于角的终边经过点，则,，（为坐标原点），所以由任意角的三角函数的定义：，.故答案选C【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，解决此类问题的关键是掌握牢记三角函数定义并能够熟练应用，属于基础题4、D【解析】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点M的轨迹方程即可计算得解.【详解】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点，则，化简并整理得：，于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其面积为，所以M点的轨迹围成区域的面积为.故选：D5、C【解析】根据两直线垂直可直接构造方程求得结果.【详解】由两直线垂直得：，解得：.故选：C.6、C【解析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果【详解】，，因为，所以存在实数，使，所以，所以，所以，得，，所以，故选：C7、C【解析】利用两直线平行的判定有，即可求参数值.【详解】由题设，，可得或.经验证不重合，满足题意，故选：C.8、B【解析】设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点即有正根，当有成立时，显然有，此时．由，得参数a的范围为．故选B考点：利用导数研究函数的极值9、A【解析】根据已知条件，判断出，即可判断选项D，再根据等比数列的性质，判断，，由此判断出选项A,B,C.【详解】根据题意，等比数列满足条件，，，若，则，则，，则，这与已知条件矛盾，所以不符合题意，故选项D错误；因为，，，所以，，，则，，数列前2021项都大于1，从第2022项开始都小于1，因此是数列中的最大值，故选项A正确由等比数列的性质，，故选项B不正确；而，由以上分析可知其无最大值，故C错误；故选：A10、B【解析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故选：B.11、C【解析】分析得出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角.【详解】由题意可知，，因为，，则，，因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点、、、，，，，因此，异面直线与所成的角为.故选：C.12、B【解析】直接利用平均变化率的公式求解.【详解】解：由题得.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由两直线平行的判定可得求解即可，注意验证是否出现直线重合的情况.【详解】由题设，，解得，经检验满足题设.故答案为：14、③④【解析】由可判断①；根据直线过的定点在圆内可判断②；当直线与过圆心的直径垂直时，求出线段的长度可判断③；把圆心代入直线的方程可判断④.【详解】对于①，，当变化时，直线恒过定点，故错误；对于②，因为，所以在圆的内部，所以直线与圆总有公共点，故错误；对于③，当直线与过圆心的直径垂直时，线段的长度的最小，此时，故正确；对于④，把圆心代入直线，得对任意实数，圆上都不存在关于直线对称的两个点，故正确.故答案为：③④.15、【解析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a，b即可计算作答.【详解】椭圆的焦点，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，因为等腰三角形，由椭圆的定义知：，则，，由双曲线定义知：，即，，，所以双曲线的渐近线为：.故答案为：【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.16、29【解析】根据给定信息利用系统抽样的特征直接计算作答.【详解】因系统抽样是等距离抽样，依题意，相邻两个编号相距，所以第四位的编号是.故答案为：29三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】（1）构造函数，利用导数判断单调性，并求出函数的最大值小于零，即，即可得证；（2）将方程根的个数转化为函数图象与交点的问题，大致画出函数的图象，即可求解.【小问1详解】设，其中，则，在区间上，单调递减，又∵，即时，，∴，∴在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方.【小问2详解】由得，即，令，则，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在处取得最小值，∴，又∵当时，，当时，，有零点存在性定理可知函数有唯一的零点，∴的大致图象如图所示，∴当时，方程的根的个数为0；当或时，方程的根的个数为1；当时，方程的根的个数为2.18、（1）（2）或【解析】(1)按照所给的条件带入椭圆方程以及e的定义即可；（2）联立直线与椭圆方程，表达出，解方程即可.【小问1详解】由题意知，，且，解得，，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由题意知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，设，.由得，则……①，……②，因为，所以，，由可得……③由①②③可得，解得，，所以直线的方程为或，故答案为：，或.19、（1）（2）(i)存在常数，使得成立；(ii)的最大值为.【解析】(1)求点P的坐标，再利用面积和离心率，可以求出，然后就可以得到椭圆的标准方程；(2)设点的坐标和直线方程，联立方程，解出的y坐标值与P的坐标之间的关系，求以焦距为底边的三角形面积；利用均值定理当且仅当时取等号，求最大值.【小问1详解】先求第一象限P点坐标：，所以P点的坐标为，所以，所以椭圆E的方程为【小问2详解】设，易知直线和直线的坐标均不为零，因为，所以设直线的方程为，直线的方程为，由所以，因为，，所以所以同理由所以，因为，，所以所以，因为，，(i)所以所以存在常数，使得成立.(ii)，当且仅当，时取等号，所以的最大值为.20、（1）0.06，50名（2）64（分钟）【解析】（1）利用频率和为1可求解频率，再利用频率，频数，总数之间的关系可求解学生人数；（2）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的中点乘以对应的长方形面积之和；【小问1详解】设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意，得所以．所以第一组数据的频率为，设调查中随机抽取了n名学生的课外活动时间，则，得，所以调查中随机抽取了50名学生的课外活动时间小问2详解】由题意，这组数据的平均数(分钟)21、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）连接、，平行四边形的性质、线面平行的判定可得平面、平面，再根据面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性质可证结论；（2）取的中点为，连接，证明出平面，，以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值.（3）利用等体积法，求D到平面的距离【小问1详解】连接、，由、分别是棱、的中点，则，平面，平面，则平面又，且，∴且，四边形是平行四边形，则，平面，平面，则平面又，可得平面平面．又平面∴平面【小问2详解】由知：，又平面平面，平面平面，平面，∴平面取的中点为，连接、，由且，故四边形为平行四边形，故，则△为等边三角形，故，以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系易知，，所以、、、、，，，，设平面的法向量为，则，令，得设平面的法向量为，则，令，得设平面与平面所成的锐二面角为．则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为【小问3详解】由（2）知：平面，则