山东省威海市2026届高二上数学期末质量检测模拟试题含解析

山东省威海市2026届高二上数学期末质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一辆汽车做直线运动，位移与时间的关系为，若汽车在时的瞬时速度为12，则（）A. B.C.2 D.32．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：该圆经过点.乙：该圆半径为.丙：该圆的圆心为.丁：该圆经过点，如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁3．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有A.1条 B.2条C.3条 D.4条4．若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A.或 B.C.或 D.5．函数，则的值为（）A. B.C. D.6．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B.C. D.7．命题，，则是（）A.， B.，C.， D.，8．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，如.如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.169．是直线与直线互相平行的（）条件A.必要而不充分 B.充分而不必要C.充要 D.既不充分也不必要10．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，设定点为，，，点O为坐标原点，动点满足(且为常数)，化简得曲线E：.当，时，关于曲线E有下列四个命题：①曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形；②的最大值为；③的最小值为；④面积的最大值为.其中，正确命题的个数为（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个11．已知数列为等比数列，若，，则的值为（）A.8 B.C.16 D.±1612．设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在棱长为2的正方体中，点P是直线上的一个动点，点Q在平面上，则的最小值为________.14．一条直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则弦中点到直线的距离等于__________15．设函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______16．双曲线的焦距为____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列中，数列的前n项和为满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）在和中插入k个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列的前50项和.18．（12分）已知椭圆C：的左右焦为，，点是该椭圆上任意一点，当轴时，，（1）求椭圆C的标准方程；（2）记，求实数m的最大值19．（12分）在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）求直线到平面的距离.20．（12分）已知动点M到定点和的距离之和为4（1）求动点轨迹的方程；（2）若直线交椭圆于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求的面积21．（12分）已知命题p：“，”为假命题，命题q：“实数满足”．若是真命题，是假命题，求的取值范围22．（10分）已知，直线过且与交于两点，过点作直线的平行线交于点（1）求证：为定值，并求点的轨迹的方程；（2）设动直线与相切于点，且与直线交于点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】首先求出函数的导函数，依题意可得，即可解得；【详解】解：因为，所以又汽车在时的瞬时速度为12，即即，解得故选：D【点睛】本题考查导数在物理中的应用，属于基础题.2、D【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是错误的，看能否推出矛盾，进而推导出答案.【详解】假设甲的结论错误，根据丙和丁的结论，该圆的半径为6，与乙的结论矛盾；假设乙的结论错误，圆心到点的距离与圆心到点的距离不相等，不成立；假设丙的结论错误﹐点到点的距离大于，不成立；假设丁的结论错误，圆心到点的距离等于，成立.故选：D3、B【解析】利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论.【详解】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x，则点P(2，1)在渐近线y＝x上，又双曲线的右顶点为A(2，0)，如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－(x－2)【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的公共点有一个的条件，结合双曲线的性质，结合图形，得出结果，属于中档题目.4、A【解析】由和的分母异号可得【详解】由题意，解得或故选：A5、B【解析】求出函数的导数，代入求值即可.【详解】函数,故，所以，故选：B6、A【解析】函数在区间上单调递增，转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，进而求出结果.【详解】由题意得：在区间上恒成立，而，所以.故选：A7、D【解析】根据特称命题的否定为全称命题，即可得到答案.【详解】因为命题，，所以，.故选：D8、C【解析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.【详解】由题意，第一步：，余数不为1；第二步：，余数不为1；第三步：，余数为1，执行第二个判断框，余数不为2；第四步：，执行第一个判断框，余数为1，执行第二个判断框，余数为2.输出的i值为13.故选：C.9、B【解析】求出直线与平行的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由解得或，当时，与平行，当时，与平行，则直线与直线平行等价于或，所以是直线与直线互相平行的充分而不必要条件.故选：B10、D【解析】①：根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；②：结合两点间距离公式、曲线方程特征进行判断即可；③：根据卡西尼卵形线的定义，结合基本不等式进行判断即可；④：根据方程特征，结合三角形面积公式进行判断即可.【详解】当，时，.①：因为以代方程不变，以代方程不变，同时代，以代方程不变，所以曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此本命题正确；②：由，所以有，所以，当时成立，因此本命题正确；③：因为，所以，当且仅当时，取等号，因此本命题正确；④：，因为，所以，的面积为，因此本命题正确，故选：D【点睛】关键点睛：利用方程特征进行求解判断是解题的关键.11、A【解析】利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】因为为等比数列，设的公比为，则，，两式相除可得，所以，所以，故选：A.12、B【解析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.【详解】抛物线的焦点的坐标为，所以直线的方程为：，令，解得，因此点的坐标为：，因为面积为4，所以有，即，，因此抛物线的方程为.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】数形结合分析出的最小值为点到平面的距离，然后利用等体积法求出距离即可.【详解】因为，且平面，平面，所以平面，所以的最小值为点到平面的距离，设到平面的距离为，则，所以，即，解得，故答案为：.14、【解析】求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离【详解】解：如图，抛物线的焦点为，，弦的中点到准线的距离为，则弦的中点到直线的距离等于故答案为：15、【解析】首先求得函数在区间上的最大值，然后分离参数，利用导函数求最值即可确定实数的取值范围.【详解】∵在上恒成立，∴当时，取最大值1，∵对任意的，都有成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，则，，∵在上恒成立，∴在上为减函数，∵当时，，故当时，取最大值1，故，故答案为【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，难度中档16、【解析】根据双曲线的方程求出，再求焦距的值.【详解】因为双曲线方程为，所以，.双曲线的焦距为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）2735.【解析】(1)利用给定的递推公式结合“当时，”计算推理作答.(2)插入所有项构成数列，，再确定数列的前50项中含有数列和的项数计算作答.【小问1详解】依题意，，当时，，两式相减得：，则有，而，即，所以数列是以2为首项，2为公式的等比数列.【小问2详解】由(1)知，，即，插入的所有项构成数列，，数列中前插入数列的项数为：，而前插入数列的项数为45，因此，数列的前50项中包含数列前9项，数列前41项，所以.18、（1）（2）【解析】（1）利用椭圆的定义及勾股定理可求解；（2）问题转化为在轴截距的问题，临界条件为直线与椭圆相切，求解即可.【小问1详解】因为，，所以，∴，所以椭圆标准方程为：【小问2详解】要求的最值，即求直线在轴截距的最值，可知当直线与椭圆相切时，m取得最值.联立方程：，整理得，解得所以实数m的最大值为19、（1）；（2）.【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）证明出平面，利用空间向量法可求得直线到平面的距离.【小问1详解】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，易知平面的一个法向量为，，因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【小问2详解】解：，则，所以，，因为平面，所以，平面，，所以，直线到平面的距离为.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用椭圆的定义即求；（2）由直线方程与椭圆方程联立，可解得点，再利用三角形面积公式即求.【小问1详解】∵动点M到定点和的距离之和为4，∴动点M的轨迹是以和为焦点的椭圆，可设方程为，则，故动点轨迹的方程为；【小问2详解】由可得，∴或，∴，又O是坐标原点，∴的面积为.21、或【解析】先假设命题、为真，分别求得实数的取值范围，再由命题、具体的真假，取实数的取值范围或其补集，最终确定实数的取值范围.【详解】若命题p为真，则“，”为假命题则，恒成立∴恒成立，即∴，∴.若命题q为真，则，即∴∴∵是真命题，是假命题∴命题、必为一真一假.①当p真q假时，∴；②当p假q真时，∴.综上所述：a的取值范围是或.22、（1）证明见解