2025-2026学年 1.4　用一元二次方程解决问题 同步练 苏教科（2024）九年级数学上学期（含答案）

/1．4用一元二次方程解决问题第1课时数字与面积问题许多实际问题可通过建立一元二次方程数学模型求解，然后回到实际问题中进行解释和检验，列一元二次方程解决实际问题的步骤可归结为六个字：(1)设：用字母x（或其他字母）表示未知数；(2)找：找出题目所涉及的各个量之间的相等关系；(3)列：列出方程；(4)解：解所列方程；(5)验：检验解出的数值是不是方程的解，检验方程的解是否符合实际情况；(6)答：书写答案．建议用时：20分钟1(2024无锡宜兴月考)如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．若设小路的宽为xm，则根据题意，下列所列方程中正确的是()A.(20－x)(32－x)＝540B.(20－x)(32－x)＝32×20－540C.(20－2x)(32－2x)＝540D.(20－2x)(32－2x)＝32×20－54INCLUDEPICTURE"25NTJSSX11.TIF"INCLUDEPICTURE"25NTJSSX12.TIF"(第1题)(第3题)(第4题)2如果两个连续偶数的积为168，那么这两个数的和等于()A.26B.26或－26C.27或－26D.－263如图，王师傅在一块正方形钢板上截取了4cm宽的矩形钢条，剩下的阴影部分的面积是96cm2，则原来这块正方形钢板的边长是________cm.4(2024南京江宁月考)如图，若图形的面积为24，则图中x的值为________．5如图，在长50m，宽38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的部分铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，则道路的宽应为多少？6一个两位数的个位数字比十位数字大1，如果将个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原数的积比原数的平方大108，求这个两位数．7端午节是中国民间的传统节日，已有两千多年的历史．如图，在该月日历表上可以用一个方框圈出四个数，若将圈出的四个数按从小到大排列，中间两数的乘积为112，求这两个数．建议用时：25＋5分钟8(2024镇江期中)公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为x的正方形ABCD，再分别以BC，CD为边做另一边长5的长方形，最后得到四边形AIFH是面积为64的正方形，如图所示，则下列一元二次方程中满足花拉子米寻找的解的是()A.x2＋10x＝25B.x2＋10x＝64C.x2＋10x＝39D.x2＋10x＝89INCLUDEPICTURE"25NTJSSX16.TIF"INCLUDEPICTURE"25NTJSSX17.TIF"(第8题)(第9题)(第10题)9如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是________m.

10如图，把长为40cm，宽为30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分)，把剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，记剪掉的小的正方形边长为xcm(纸板的厚度忽略不计)，若折成的长方体盒子表面积为950cm2，则此时长方体盒子的体积为________cm3.11(2024常州期末)如图，某小区内有一块长20m、宽18m的矩形空地，物业打算在空地内铺设两条同样宽度的鹅卵石道路，余下部分铺上草坪．若草坪的面积为288m2，求道路的宽度．12小林准备进行如下操作：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于52cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于44cm2.”他的说法对吗？请说明理由．13某校计划利用如图所示的直角墙角(阴影部分，两边足够长)，用20m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，AD两边).(1)若花园的面积为75m2，求AB的长；(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为12m，若要将这棵树围在矩形花园内(含边界，不考虑树的粗细)，问该花园的面积能否为100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．

第2课时增长率与计数问题某商品经过连续两次降价(或涨价)，每件售价由原来的a元降到(或涨到）了b元，设平均每次降价（或涨价）的百分率为x，则可列方程为a(1－x)2＝b（或a(1＋x)2＝b）.建议用时：20分钟1(2024南通)红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则下列方程中正确的是()A.7200(1＋x)2＝8450B.7200(1＋2x)＝8450C.8450(1－x)2＝7200D.8450(1－2x)＝72002(2024南京栖霞月考)某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程中正确的是()A.x(x－1)＝42B.eq\f(1,2)x(x＋1)＝42C.x(x＋1)＝42D.eq\f(1,2)x(x－1)＝423张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是________．4某次商品交易会上，所有参加会议的任意两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有________个商家参加了交易会．5(2024建邺区期末)我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？6某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？7某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行数、列数相同，求增加了多少行或多少列？8(2024连云港东海期中)某品牌服装店以900元/件的价格销售一款服装，“双11”期间，服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小明给服装店提出如下建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问小明建议的方案对购买者是否更优惠？为什么？建议用时：25＋5分钟9某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分枝个数是()A.4B.5C.6D.710(2024常州期中)俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为(参考数据：eq\r(2)≈1.414)()A.20.3%B.25.2%C.29.3%D.50%

11(2024无锡锡山月考)电脑病毒传播速度快，如果一台电脑被感染，那么经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x＝________．12(2024苏州工业园区月考)“秋风起，蟹脚痒”，随着大闸蟹的大量上市，某大闸蟹销售公司前三个月的月销售利润逐月增长，第1个月的销售利润为20万元，第3个月的销售利润为28.8万元．假设从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率相同．(1)求从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率；(2)进入第4个月，大闸蟹产量逐渐下降，第4个月的销售利润比第3个月的销售利润下降了20%，求从第1个月到第4个月的销售利润之和．13我们知道，计算n边形的对角线条数公式为eq\f(1,2)n(n－3).如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程eq\f(1,2)n(n－3)＝20.解得n＝8或n＝－5(舍去)，所以这个n边形是八边形．根据以上内容，问：(1)若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；(2)小明说：“我求得一个n边形共有10条对角线”，你认为小明同学的说法正确吗？为什么？

14“民以食为天，食以粮为先”，粮食安全事关国计民生．为了确保粮食安全，优选品种，某农业科技公司对原有小麦进行改良种植研究，在保持种植面积不变的情况下，今年小麦平均亩产量在去年的基础上增加了a%，每千克售价也在去年的基础上上涨了2a%，全部售出后总收入将增加15.5%.(1)求a的值；(2)如果明年的种植面积仍然不变，预计明年小麦平均亩产量将在今年的基础上增加a%，每千克售价将在今年的基础上上涨eq\f(8,5)a%，求全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分数．

第3课时市场营销问题在市场销售中，单件商品的利润、进价与售价之间存在的相等关系式为：利润＝售价－进价；总利润、单件商品的利润与销售量之间的相等关系式为：总利润＝单件商品的利润×销售的商品件数．建议用时：20分钟1某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株的盈利为4元．若每盆增加1株，则平均每株的盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是()A.(x＋1)(4－0.5x)＝15B.(x＋3)(4＋0.5x)＝15C.(x＋4)(3－0.5x)＝15D.(3＋x)(4－0.5x)＝152(2024常州新北月考)某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价________元．3(2024泰州期末)某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品的售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套．为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%，设这种纪念品每套上涨x元．(1)平均每天的销售量为________套(用含x的代数式表示)；(2)商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？4某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200kg，后来经过市场调查发现，每降低10元/kg，则平均每周的销售量可增加40kg，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：(1)每千克茶叶应降价多少元？(2)在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该品牌茶叶应按原售价的几折出售？5某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元．第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？6某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产56件，每件的利润为10元．调查表明：每生产高一个档次的蛋糕产品，该产品每件的利润增加2元.(1)若生产的某批次蛋糕每件的利润为16元，此批次蛋糕提高了几个档次？属于第几档次的产品？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天的产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为720元，为尽量提高档次，该烘焙店生产的是第几档次的产品？7某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元/个，乙的成本为7元/个．甲现在的售价为10元/个，每天卖出30个，售价每提高1元，每天少卖出2个；乙现在的售价为14元/个，每天卖出6个，售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变(和为36个)，且售价均为整数．(1)当甲的售价提高x元时，乙的售价为________元(用含x的代数式表示)；(2)当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？

第4课时质点运动问题1.涉及几何图形的问题，根据图形的相关性质，灵活地找出相等关系，从而建立适当的方程解决问题．特别要注意的是，对于求得的方程的解要能够根据实际意义进行检验，选择符合实际意义的正确答案．2.根据实际问题建立的一元二次方程，若该方程有解，则需要检验后说明实际问题是否有符合条件的答案；若该方程没有解，则说明实际问题没有符合条件的答案．建议用时：20分钟1如图，甲自西向东以4m/s的速度行进，乙由南向北以3m/s的速度行进，当乙到达点O时，甲已到达点O以东16m处，如果两人继续前进，求两人相距39m时各自的位置．2(2024宿迁泗洪期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C匀速移动，设运动的时间为ts.(1)PB＝________cm，QC＝________cm；(2)当t为何值时，△DPQ的面积等于28cm2?

3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2cm/s的速度移动．(1)若P，Q两点同时出发，则几秒后可使△PQC的面积为8cm2?(2)若P，Q两点同时出发，则几秒后PQ的长度为eq\f(12\r(5),5)cm?(3)△PCQ的面积能否等于△ABC面积的一半？若能，求出运动的时间；若不能，请说明理由．建议用时：25＋5分钟4如图，长方形草坪ABCD的长AD为40m，宽AB为30m，草坪内有3条直的道路EC，EF和FC，ED＝AF.小丽在点E处沿E→D→C方向步行，与此同时小明在点F处沿FC方向以相同的速度步行，经过26s后两人刚好在点C处相遇，求小明步行的速度．5某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l(单位：cm)与时间t(单位：s)满足关系式l＝t2＋3t(t≥0)，乙以8cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为42cm.(1)甲运动4s后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少秒？(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少秒？6如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm，动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度运动到点D.若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．(1)出发1s后，△MON的面积为________cm2；(2)出发几秒后，△MON的面积为1cm2?1．4用一元二次方程解决问题第1课时数字与面积问题1.A2.B3.124.45.解：设道路的宽为xm.根据题意，得(50－2x)(38－2x)＝1260，解得x1＝4，x2＝40(不符合题意，舍去).答：道路的宽应为4m.6.解：设这个数的个位数字为x，则十位数字为x－1.根据题意，得(10x＋x－1)[10(x－1)＋x]－108＝[10(x－1)＋x]2，解得x＝2.答：这个两位数是12.7.解：设方框圈出四个数中最小的为x，则中间两个数分别是x＋1，x＋7.根据题意，得(x＋1)(x＋7)＝112，解得x1＝7，x2＝－15(不符合题意，舍去)，所以x＋1＝7＋1＝8，x＋7＝7＋7＝14.答：这两个数为8和14.8.C9.510.150011.解：设道路的宽度为xm，则草坪的长为(20－x)m，宽为(18－x)m，根据题意，得(20－x)(18－x)＝288，整理，得x2－38x＋72＝0，解得x1＝2，x2＝36(不符合题意，舍去)，答：道路的宽度为2m.12.解：(1)设剪成的较短的铁丝为xcm，则较长的铁丝为(40－x)cm.根据题意，得(eq\f(x,4))2＋(eq\f(40－x,4))2＝52，解得x1＝16，x2＝24.当x＝16时，较长的铁丝为40－16＝24；当x＝24时，较长的铁丝为40－24＝16＜24(舍去)，所以较短的铁丝为16cm，较长的铁丝为24cm.(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的铁丝为mcm，则较长的铁丝为(40－m)cm.根据题意，得(eq\f(m,4))2＋(eq\f(40－m,4))2＝44，化简，得m2－40m＋448＝0.因为b2－4ac＝－192＜0，所以原方程无解，所以小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于44cm2.13.解：(1)设AB＝xm，则x(20－x)＝75，解得x1＝5，x2＝15，故AB的长为5m或15m.(2)假设将这棵树围在矩形花园内，面积能为100m2.设AD的长为ym，则y(20－y)＝100，解得y＝10.因为10＜12，故将这棵树围在矩形花园内，花园的面积不能为100m2.

第2课时增长率与计数问题1.A2.A3.20%4.105.解：设平均每次降价的百分率是x，由题意，得200(1－x)2＝72，解得x1＝0.4＝40%，x2＝1.6(不合题意，舍去)，答：平均每次降价的百分率是40%.6.解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝121，解得x＝10或x＝－12(不合题意，舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．7.解：设增加了x行，则增加的列数为x.根据题意，得(6＋x)(8＋x)－6×8＝51，整理，得x2＋14x－51＝0，解得x1＝3，x2＝－17(不符合题意，舍去).答：增加了3行3列．8.解：(1)设平均每次下调的百分率为x，则根据题意，得900(1－x)2＝729，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不符合题意，舍去)，答：平均每次下调10%.(2)小明建议的方案对购买者更优惠．理由如下：根据题意，得900×(1－5%)(1－15%)＝726.75.因为726.75＜729，所以小明建议的方案对购买者更优惠．9.C10.C11.1012解：(1)设从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为x.因为第1个月的销售利润为20万元，第3个月的销售利润为28.8万元．所以20(1＋x)2＝28.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)，答：从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为20%.(2)20＋20×(1＋20%)＋28.8＋28.8×(1－20%)＝20＋24＋28.8＋23.04＝95.84(万元).答：从第1个月到第4个月的销售利润之和为95.84万元．13.解：(1)根据题意，得eq\f(1,2)n(n－3)＝9，解得n＝6或n＝－3(舍去)，答：这个多边形的边数是6.(2)小明同学的说法不正确，理由如下：根据题意，得eq\f(1,2)n(n－3)＝10，解得n＝eq\f(3±\r(89),2)，因为n的值不是正整数，所以小明同学的说法不正确．14.解：(1)根据题意，得(1＋a%)(1＋2a%)＝1＋15.5%，整理，得a2＋150a－775＝0，解得a1＝5，a2＝－155(不符合题意，舍去).答：a的值为5.(2)(1＋5%)×(1＋eq\f(8,5)×5%)－1＝0.134＝13.4%.答：全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分数为13.4%.

第3课时市场营销问题1.D2.3或43.解：(1)500－10x(2)每套纪念品应定价为(40＋x)元，平均每天的销售量为(500－10x)套，根据题意，得(40＋x－30)(500－10x)＝8000，40＋x≤30×200%，整理，得x2－40x＋300＝0，x≤20，解得x1＝10，x2＝30(不符合题意，舍去)，所以40＋x＝50.答：每套纪念品应定价50元．4.解：(1)设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出(200＋eq\f(40x,10))kg.根据题意，得(400－240－x)(200＋eq\f(40x,10))＝41600，整理，得x2－110x＋2400＝0，解得x1＝30，x2＝80.答：每千克茶叶应降价30元或80元．(2)因为尽可能让利于顾客，所以x＝80，所以eq\f(400－80,400)×10＝8.答：该品牌茶叶应按原售价的八折出售．5.解：由题意，得第二周每个旅游纪念品的销售价格为(10－x)元，第二周的销售量为(200＋50x)个，清仓处理了600－200－(200＋50x)＝(200－50x)个．根据题意，得10×200＋(10－x)(200＋50x)＋4(200－50x)－6×600＝1250，整理，得x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1，所以10－x＝9.答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元．6.解：(1)(16－10)÷2＝3(个)，3＋1＝4.答：提高了三个档次，属于第四档次的产品．(2)设提高了x个档次，则每天可生产(56－4x)件，每件的利润为(10＋2x)元．根据题意，得(10＋2x)(56－4x)＝720，整理，得x2－9x＋20＝0，解得x1＝4，x2＝5.因为尽量提高档次，所以x＝5.答：提高了五个档次，该烘焙店生产的是第六档次的产品．7.解：(1)14－eq\f(x,2)(2)设当甲商品的售价提高x元时，销售这两种商品当天的总利润是268元，根据题意，得(5＋x)(30－2x)＋(6＋2x)(14－eq\f(x,2)－7)＝268，整理，得3x2－31x＋76＝0，解得x1＝4，x2＝eq\f(19,3).因为售价均为整数，所以x＝4.答：当甲商品的售价提高4元时，销售这两种商品当天的总利润是268元．

第4课时质点运动问题1.解：设乙到达点O后经过ts两人相距39m.根据题意，得(3t)2＋(16＋4t)2＝392，整理，得25t2＋128t－1265＝0，解得t1＝5，t2＝－10.12(不符合题意，舍去)，当t＝5时，3t＝15，16＋4t＝16＋20＝36.答：当两人相距39m时，甲在点O以东36m处，乙在点O以北15m处．2.解：(1)6－t12－2t(2)因为AP＝tcm，QB＝2tcm，PB＝(6－t)cm，QC＝(12－2t)cm，根据题意，得S△DPQ＝S矩形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△DCQ＝28，所以AB·BC－eq\f(1,2)AP·AD－eq\f(1,2)PB·BQ－eq\f(1,2)QC·CD＝28，所以12×6－eq\f(1,2)×12t－eq\f(1,2)×2t×(6－t)－eq\f(1,2)×6×(12－2t)＝28，所以t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4.答：当t为2或4时，△DPQ的面积等于28cm2.3.解：因为点P的移动速度为1cm/s，点Q的移动速度为2cm/s，所以设CP＝6－x，则CQ＝2x.(1)△PQC的面积为8cm2，即eq\f(1,2)(6－x)·2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，故若P，Q两点同时出发，则2s或4s后△PQC的面积为8cm2.(2)PQ的长度为eq\f(12\r(5),5)cm，即(2x)2＋(6－x)2＝eq\f(144,5)，解得x