2025-2026学年 第4章 相似三角形 单元培优测试卷浙教版数学九年级上学期 （含答案）

/2025-2026学年浙教版数学九年级上册单元检测卷第4章《相似三角形》单元培优测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．用放大镜将一个△ABC的面积放大为原来的4倍，则放大后的()A．∠A，∠B、∠C是原来的4倍 B．周长是原来的2倍C．对应边长是原来的4倍 D．对应中线长是原来的4倍2．如图，以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA：AD的值是（）A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：33．如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，AB=3A．1：2 B．1：3 C．4．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架图，图②是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图②中的数据可得x的值为()A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.085．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC.上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是().A．25 B．35 C．5 D．66．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(12，9)，B(9，0)．以点A．(−3，−3) B．(−4，−3) C．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（）A．若OA·OC=OB·OD，则BC//AD B．若OA·BD=OB·AC，则BC//ADC．若OA·OB=OC·OD，则BC//AD D．若OA·OD=OB·OC，则BC//AD8．如图，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD。若∠A=∠CA．65 B．52 C．1039．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ABA．4 B．25 C．42 10．在正方形ABCD中，AB=2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF=DE，过点F作FG⊥DE，分别交CD、AB于N,G两点，连接CM，EG，EN，下列结论：①tanA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空题（每题3分，共18分）11．唢呐是山西八大套的乐器之一，如图，一个大唢呐AB的长约为56cm，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰，且APAB=512．当ab=2513．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上靠近B的三等分点，F是BC的中点，P是对角线BD上的动点，当PE+PF取得最小值时，DPBP14．如图，在△ABC中，DE∥BC，且BD=2AD，若△ABC的面积为15．如图，▱ABCD的顶点A在反比例函数y=kxx<0的图象上，点D在y轴上，点B，C在x轴上，AB与y轴交于点E，连接CE，若BC=316．在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm，点E在直线AD上，且DE三、解答题（共8题，共72分）17．如图所示，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3.（1）求CE的长.（2）求证：BC⊥AD.18．如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°,AB=5,AC=12（1）求证：△AED（2）过点F作FG⊥AC交AC于点G，若19．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=5，点E，（1）求证∶△ABE（2）若∠AFE=90°,DF20．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD（1）证明：△ABC（2）已知AB=5,BC=321．如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE=DF．（1）求证：AB//CD；（2）若AB=BD，求证：AB2=BF·OB．22．问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况．【从特例开始】（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中∠FAH＝°．（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE＝PF＝6，PG＝4，PH＝8，求此图形中∠FAH的度数；（3）【一般化探索】利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由．23．在等腰△ABC中，AB=AC（1）如图1，若∠C=60°，点D关于直线AB的对称点为点（2）若∠C=60°，将线段AD绕点①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，若ABBC=AD24．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点（1）【问题解决】如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=度，线段BP与线段AC的位置关系是（2）【问题探究】如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°,∠PEC（3）【拓展延伸】在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE=2FG,

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】28512．【答案】713．【答案】414．【答案】4015．【答案】-816．【答案】255或617．【答案】（1）解：∵△ABC∽△DEC，

∴ACDC=∴EC=3.1（2）证明：∵△ABC∽△DEC，

∴∠ACB=∠DCE，

∵∠ACB+∠DCE=180°，∴∠ACB=∠DCE=90°，

∴BC⊥AD18．【答案】（1）证明：∵∴∠∵∠∴∠又∵∠∴△（2）解：∵∴∠∵∠∴△∵∠∴△∴设FG=5x∴∴∴19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°

∵∠（2）在Rt△ADF中，AF=AD2+DF2=42+22=25

∵∠C=∠EFA=90°，

∴∠CEF+∠CFE=∠20．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠CAB，

∵AC2=AB（2）∵△ABC∽△ACD，

∴ABAC=BCCD，∠ADC=∠ACB=90°，

∴AC=AB221．【答案】（1）证明：连接OC，OD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵CE=DF，∴△OCE≌△ODF(SAS)，∴OE=OF，∴EF//AB，∴CD//AB；（2）证明：∵△OCE≌△ODF，∴∠COE=∠DOF，∵AB=BD，∴∠AOB=∠DOF，∴∠AOB=∠DOF=∠COE，连接AF，∵OA=OD，∴△AOF≌△DOF(SAS)，∴∠OAF=∠ODF=∠OCE，∵∠OCE=∠OAF，∠OEC=∠AEF，∴△OEC∽△FEA，∴∠COE=∠AFE，∴∠AOB=∠FAB=∠AFE，∴△BAF∽△BOA，∴∴A22．【答案】（1）45（2）解：延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°，∴△ABT≌△ADF（SAS），∴AT＝AF，∠TAB＝∠FAD，∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH，∵EF∥AD，GH∥AB，∴四边形AEPG是平行四边形，∵∠BAD＝90°，∴四边形AEPG是矩形，同理可得四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形，∴PE＝BH＝6，PG＝DF＝TB＝4，∠HPF＝90°，∴TH＝TB+BH＝4+6＝10，HF=∴HT＝HF，∴在△AHT和△AHF中，AH=∴△AHT≌△AHF（SSS），∴∠TAH＝∠HAF，∵∠TAH＝90°﹣∠HAF，∴90°﹣∠HAF＝∠HAF，∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°；（3）解：随点P的运动，∠FAH的度数不变，且为45°，理由如下：延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°，∴△ABT≌△ADF（SAS），∴BT＝DF，AT＝AF，∠TAB＝∠FAD，∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH，同（2）可得四边形AEPG是矩形，四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形，设正方形的边长为x，AG＝a，PG＝b，∴AG＝PE＝BH＝a，PG＝DF＝BT＝b，∴CH＝BC﹣BH＝x﹣a，CF＝CD﹣DF＝x﹣b，∴HT＝BH+BT＝a+b，∴∵S矩形PHCF＝2S矩形PGAE，∴（x﹣a）（x﹣b）＝2ab，整理得x2＝ab+ax+bx，∵在Rt△CHF中，CH2+CF2＝HF2，∴HF2＝（x﹣a）2+（x﹣b）2＝2x2﹣2ax+a2﹣2bx+b2＝2ab+2ax+2bx﹣2ax+a2﹣2bx+b2＝（a+b）2，∴HF＝a+b（舍负），∴HF＝HT，∴在△AHT和△AHF中，AH=∴△AHT≌△AHF（SSS），∴∠TAH＝∠HAF，∵∠TAH＝90°﹣∠HAF，∴90°﹣∠HAF＝∠HAF，∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°．23．【答案】（1）30°（2）解：①补全图形如下：②CD=∵∴△ABC∴AB∵线段AD绕点A顺时针旋转60∴AD∴∠BAC∴∠BAC−∠BAD在△EAB和△AB∴△∴（3）解：AC=∵∴∠∵∠∴∠∵∴△∴∠∴∠即∠∵∴在△EAB和△AB∴EABΔ≅ΔDAC(SAS)，∴CD=BE，∴BC=BD+CD=BD+BE而AB∴AC即AC=k(BD+BE)24．【答案】（1）30；BP（2）解：如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△∴BE=BQ，∠EBQ∴△BEQ∴∠BEQ=60°=∠BQE∵点E在线段BP上，且∠AEP∴∠AEB=150°，∴∠BEQ=∠CEQ∴∠EQC