2025-2026学年 第28章锐角三角函数小结练习人教版（2012）数学九年级下学期（含答案）

/第二十八章锐角三角函数小结知识结构关系核心要点回顾核心要点一锐角三角函数的定义1.如图28-X-1,在△ABC中，∠B=9A.52 B.122.如图28-X-2所示,在Rt△ABC中，∠C=90∘,A.2 BC.3 3.如图28-X-3，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是核心要点二特殊角的三角函数值4.计算:cos5.在△ABC中,∠C=906.如图28-X-4,A,B,C是⊙O上的三点,若△OBC是等边三角形,则cosA=.核心要点三解直角三角形7.如图28-X-5,在△ABC中,AB=33,∠C=A.2 B.4 C.23 D8.如图28-X-6,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tanA=43核心要点四解直角三角形的应用9.(2025天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度(如图28-X-7①).某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上,CD⊥AC,EF⊥AC,且CD=EF=1.7m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE=32m.根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度(结果取整数，参考数据：1tan10.(2024青海)如图28-X-8,某种摄像头识别到最远点A的俯角α是17°，识别到最近点B的俯角β是45°，该摄像头安装在距地面5m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB(结果取整数，参考数据：sin1711.(2024海南)木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标.某天，一艘渔船自西向东(沿AC方向)以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图28-X-9所示.航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处.记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处.记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向.请你根据以上信息解决下列问题：(1)填空:∠PAB=°,∠APC=°,AB=海里;(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区?请计算说明.(参考数据：2综合素养提升12.(2025威海)问题提出已知∠α，∠β都是锐角，tanα问题解决(1)如图28-X-10，小亮同学在由边长为1的小正方形组成的网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数;(点A,B,C,D都在格点上)策略迁移(2)已知∠α,∠β都是锐角,tanα=23,(3)已知∠α,∠β,∠θ都是锐角,tanα=1(提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案)综合与实践1.(2024湖北)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：活动项目测量校园中树AB的高度活动方案“测角仪”方案“平面镜”方案方案示意图实施过程1.选取与树底B位于同一水平地面的D处；2.测量D，B两点间的距离；3.站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF;4.测量C到地面的高度CD.1.选取与树底B位于同一水平地面的E处；2.测量E，B两点间的距离；3.在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；4.测量E，D两点间的距离；5.测量C到地面的高度CD.测量数据1.DB=10m;2.∠ACF=32.5°;3.CD=1.6m.1.EB=10m;2.ED=2m;3.CD=1.6m.备注1.图28-ZH-1上所有点均在同一平面内；2.AB,CD均与地面垂直;3.参考数据:tan32.5°≈0.64.1.图28-ZH-2上所有点均在同一平面内；2.AB,CD均与地面垂直;3.把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED=∠AEB.请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度.2.(2025山西)项目学习项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底.从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形.综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.项目主题景物的测量与计算驱动问题———————— ————如何测量内栏墙围成泉池的直径.活动内容利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算.活动过程方案说明图28-ZH-3①为该景点俯视图的示意图，A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上.图②为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直,且AE=DF.BE,CF均表示步道的宽,BE=数据测量在点A处测得点B和点C的俯角分别为.∠DAB计算…交流展示…请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长(结果精确到1米.参考数据：：sin8.5∘≈知识结构关系③12④52⑤3⑥2⑦⑧1⑨52⑩12⑪3⑬∠A+∠B=90°∠A⑮已知两直角边⑯已知斜边和一锐角⑰已知一直角边和一锐角1.D2.A3.5.12 6.7.B8.69.解:如图,延长DF与AB相交于点G.由题意，得四边形GAEF和四边形FECD都是矩形,∠GDB=22°,∠GFB=31°,∠DGB=90°,∴AG=EF=CD=1.7m,DF=CE=32m.在Rt△FGB中,tan∠在Rt△DGB中tan∠GDB∵GF+DF=GD,∴∴GB=∴AB=AG+GB=1.7+38.4≈40(m).答：世纪钟建筑AB的高度约为40m.10.解:如图,根据题意,得CE∥AD,∴∠A=a=17°,∠CBD=β=45°.在Rt△ACD中,∵∴在Rt△BCD中,∵∴∴AB=AD-BD=16.1-5=11.1≈11(m).答：最远点与最近点之间的距离AB约是11m.11.解:(1)如图,过点P作PD⊥AC于点D,则△APD,△BPD,△CPD都是直角三角形.由题意可知:∠APD=60°,∠BPD=45°,∠CPD=15°,∴∠PAB=30°,∠APC=∠APD+∠CPD=60°+15°=75°.由题意可知渔船每小时航行10海里，渔船从A处航行至B处所用时间为30分钟,∴AB故答案为30,75,5.(2)在Rt△BPD中,∵∠BPD=45°,∴∠PBD=45°=∠BPD,∴BD=PD.在Rt△APD中,∵∠APD=60°,∴tan∠∴AD=3PD,AP=2PD.∵AB=AD-BD,∴5=3PD-PD,∴PD∴AP=2PD=5(3+1)≈13.65(海里).在△APC中,∵∠A=30°,∠APC=75°,∴∠C=180°-∠A-∠APC=75°,∴∠C=∠APC,∴AC=AP=13.65海里.如图，设上午9时渔船航行至E处，则AE=10海里,∴CE=AC-AE=3.65海里<5海里，∴该渔船会进入“海况异常”区.12.解:(1)如图①,连接BC.由勾股定理，得AB=BC=5,AC=10∴∴∠ABC=90°,∴∠BAC=45°,∴∠a+∠β=45°.(2)90(3)如图②,∠a=∠EDH,∠β=∠HDF,在Rt△DGF中,tanθ=tan∠GDF=FG1.解：“测角仪”方案：由题意,得CD⊥BD,AB⊥BD,∠CFB=90°,∴∠CDB=∠ABD=∠CFB=90°,∴四边形BDCF为矩形,∴BF=CD=1.6m,CF=DB=10m.在Rt△ACF中.∵∴AF=CF·tan∠ACF≈10×0.64=6.4(m),∴AB=AF+BF=6.4+1.6=8(m).答：树AB的高度约为8m.“平面镜”方案：由题意,得ED=2m,EB=10m,CD=1.6m,∠CDE=∠ABE=90°,∠CED=∠AEB,∴△CDE∽△ABE,∴CDAB=2.解:由题意,得EF=AD=26米,AD∥EF,∴∠ABE