湖南省天壹名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省天壹名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合x∈Q∣A．0,1 B．−12,02．已知复数z=1+aia>A．1 B．2 C．3 D．43．若P1,2,QA．−2 B．−1 C．1 4．一个箱子中放有4张尺寸相同且印有精美图案的小卡片，其中2张是广州全运会吉祥物“喜洋洋”､“乐融融”图案的小卡片.现从中随机抽取2张小卡片，则能抽到“喜洋洋”或“乐融融”图案卡片的概率为（

）A．13 B．12 C．235．如果Px,y是函数fx=sin2xxA．−π4,π4 B．π46．已知y=fx−1A．−2 B．−1 C．1 7．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为aA．32 B．2 C．528．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0A．5 B．6 C．22 D．二、多选题9．若抛物线C的焦点恰好为圆(x−2)2A．x2=4C．x2=410．记各项均不为0的数列an的前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+A．anB．若b=1C．若b=−D．若b≠±11．已知fx是定义在R上不恒为0的函数，且满足：①f2=8；②∀x,yA．f1=2C．f−x=1三、填空题12．已知向量a与b的夹角为120∘,a=−1,3,b=13．某企业为了调查工人的年龄结构，统计了200名工人的年龄，数据如下表：年龄区间20304050工人人数64764020则估计该企业工人年龄的第80百分位数为.14．如图，在直三棱柱ABC−DEF中，AB=AC=AD=1,∠四、解答题15．已知圆C经过A−1,−1(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l过点0,−2，且与圆C交于P,Q两点，O为坐标原点，设直线O16．如图，在平行六面体ABCD−A(1)求AA(2)证明：AC1⊥(3)求点B1到平面A17．如图，在长方体ABCD(1)证明：点A在平面C1(2)设A1H=λA1B1，若(3)在侧面ADD1A1内，设l为过点D1且平行于AF的直线，M是l18．已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求C的方程；(2)设不与坐标轴垂直的直线l与C交于A,B两点，线段AB（i）设直线l与OP的斜率分别为k1,（ii）若直线OP的方向向量为n=−19．已知数列an满足(1)求a2(2)设k∈N*，证明：a(3)设anbn=(n+答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖南省天壹名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题》参考答案题号12345678910答案BABDDDBABCDACD题号11答案BC1．B【分析】根据题意求方程的有理数根的集合即可.【详解】解方程xx−12x+1x+因为x∈Q，所以故选：B2．A【分析】利用复数的模与共轭复数的乘积关系，先表示出复数的模的平方，结合已知条件列方程求解a的值.【详解】已知z=1+由z⋅z‾=|故1+a2=2，a故选：A3．B【分析】由斜率相等建立关系求a即可.【详解】由P1,2,R又因为P,Q,R三点共线，则直线所以2−01故选：B4．D【分析】利用组合数，分别计算总情况数以及符合题意的情况数，利用古典概型，可得答案.【详解】4张卡片随机抽取2张，总情况数为C4抽取2张卡片中，仅有1张是吉祥物的情况数为C21C所以符合题意的概率为P=故选：D.5．D【分析】根据点P在f(x)上，代入可得y=sin2x，根据点Q【详解】因为Px,y是函数f点Qx+π4,所以g(求g(x)令2kπ−令k=1，得一个减区间为π2,π，无论k取任何整数，都无法得到A故选：D6．D【分析】根据奇函数的性质，可得f(−x【详解】因为y=所以f(−x又lg2所以flg故选：D7．B【分析】根据余弦定理得1+ab=a2+【详解】由C=60∘,c=因为ab≤a所以a2+b2=所以a2+b2≤2，当且仅当a=故a2+b故选：B8．A【分析】根据给定条件，结合三角形面积求出点A坐标，再由点A在双曲线上建立方程求出离心率.【详解】设F1(−由△AF1F2的面积为2由直线F2A⊥l，得直线F2又x02a2−y0所以双曲线C的离心率为e=故选：A9．BCD【分析】求得圆与坐标轴的交点坐标，可得抛物线C的焦点，进而可求抛物线C的方程.【详解】设抛物线焦点到准线的距离为p，令x=0，可得y=3，可得抛物线C的焦点为所以p=23，所以抛物线C令y=0，可得x=3或x=1，可得抛物线所以p2=1或p2=3，所以p=2或故选：BCD.10．ACD【分析】由Sn+1=S【详解】因为Sn+1可得an+1所以an为等比数列，公比为b对于B，当b=1时，即所以由a32=对于C，当b=−1时，由a即am=a1−所以m=对于D，当b≠±1，由a所以am=a故选：ACD11．BC【分析】由题意令t=2y，可得fx−tft=fx【详解】因为fx−2令t=2y令x=2,t=0，则令x=2,t=且当x>0时，fx令x=0，则f−显然fx≠0因为当x>0时，fx>1，故x则fx=1可知∀xfx的值域为0故选：BC.12．−【分析】根据题意求出a在b上的投影向量，即可得答案.【详解】因为a=所以|a又因为a与b的夹角为120∘所以a在b上的投影向量为a⋅所以λ=故答案为：−13．45【分析】首先求出工人年龄位于各个区间的频率，并根据频率估计第80百分位数所在的区间，然后根据百分位数的计算公式计算即可得解.【详解】200名工人中年龄在20,30的频率为年龄在30,40的频率为年龄在40,50的频率为因为0.32+0.38=所以工人年龄的第80百分位数一定位于40,由40+可以估计该企业工人年龄的第80百分位数为45.故答案为：4514．3π【分析】把四棱锥D−【详解】因为直三棱柱ABC−所以四棱锥D−BC设四棱锥D−BC所以2R2=12所以四棱锥D−BC由题意可得G,H,P到点A的距离为12；B由AR=AN=AM由AE=AF=12所以能构成等腰三角形的个数为C3故答案为：①3π；②1315．(1)((2)证明见解析【分析】（1）利用“圆上的点到圆心的距离等于半径”与“圆心在已知直线上”建立方程组，求出a，b，r，再代入即可得到圆的标准方程；（2）先设直线l的方程，再联立直线与圆的方程，化简后结合韦达定理的结果，即可证明其为定值.【详解】（1）设圆C的标准方程为(x因为圆C经过A−1,−1，B所以(−1−所以圆C的标准方程为：(x（2）因为直线l过点0,−2，当直线l的斜率不存在时，直线l此时直线l与圆C只有一个交点，不符题意，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=联立y=将y=kx−2展开可得x2整理得1+设Px1,y1，Q根据直线斜率公式，k1=y1x因为y1=k所以y1将x1+xy1所以k1即k116．(1)1(2)证明见解析(3)6【分析】（1）设AB=a,A（2）用a,b,c表示向量A1B，A1（3）根据向量数量积的运算性质求出A1B1·AC1【详解】（1）设AB在平行六面体AB因为AB=A所以a·a·b·因为AC所以AC所以6=即c2+2c−所以AA（2）由（1）知c=1，所以因为A1B=所以A=aA=b所以AC所以AC又因为A1B∩A1所以AC1⊥（3）由（2）可知，AC1为平面所以点B1到平面A1B因为A=a又AC1=所以点B1到平面A1B17．(1)证明见解析；(2)2(3)点M为A1A靠近点【分析】（1）建系，由FC（2）求得直线方向向量，和平面法向量，由向量位置关系即可求解；（3）由线面夹角公式结合二次函数求最值即可求解.【详解】（1）连接AF,AE，以D为原点，以则D0,0因为FC所以FC1/故点A在平面C1（2）D1设平面C1EF则n⋅AE=2即n=因为D1H∥平面所以n⋅解得λ（3）设D1M=设直线ME与平面C1E则sinθ所以当μ=1时，sinθ此时D1M=FA，即A即点M为A1A靠近点18．(1)x(2)（i）证明见详解；（ii）点P的坐标为−1,【分析】（1）根据椭圆定义可得a=2，代入点M1（2）（i）设Ax1,y1,B【详解】（1）因为MF1+MF代入点M1,22可得所以椭圆方程为x2（2）（i）设Ax1,可得k1因为点A,B在椭圆上，则x1整理可得y12−（ii）若直线OP的方向向量为n=−2,设直线l:y=x+m，联立方程则Δ=16m2−可得x1+x则AB即433−m2若m=32，则直线l可得x1+x22=−若m=−32，则直线可得x1+x22=1综上所述：点P的坐标为−1,11