七年级数学(上)思维特训(15)：以数轴为载体的方程问题(含答案)

思维特训(十五)以数轴为载体的方程问题方法点津·1．如图15－S－1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a－b|，或用右边的数减去左边的数为AB＝b－a.图15－S－12．通常利用数轴上距离(路程)之间的数量关系，列出一元一次方程，解决相遇与追及问题．相遇问题的基本相等关系是“两点初始距离等于两点所走的路程和”；追及问题的基本相等关系是“两点的路程差等于两点的初始距离”．典题精练·类型一相遇问题1．如图15－S－2，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数－26，－10，10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动的时间为t秒．(1)用含t的式子表示点P对应的数：________；用含t的式子表示点P和点C的距离：PC＝________．(2)当点P运动到点B时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回点A，探究点P，Q同时运动的过程中能否相遇，若相遇，请求出相遇时t的值．图15－S－22．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示－12，－5，5，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发，甲的速度是每秒2个单位，乙的速度是每秒3个单位．(1)若甲、乙相向而行，则甲、乙在数轴上的哪个点相遇？(2)若甲、乙相向而行，则多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位？(3)在(2)的条件下，当甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位时，甲调头返回，则甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．3．甲、乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶，为了确定汽车的位置，我们用数轴表示这条公路，并规定向右为正方向，原点O为0km路标，并作如下约定：位置为正，表示汽车位于0km右侧；位置为负，表示汽车位于0km左侧，位置为0，表示汽车位于0km处．(1)根据题意，填写下列表格：时间(h)035x甲车位置(km)150－30乙车位置(km)70150(2)甲、乙两车能否相遇？如能相遇，求出相遇时间及相遇时的位置；如不能相遇，请说明理由．(3)甲、乙两车能否相距120km？若能，求出两车相距120km时的时间；若不能，请说明理由．4．数学问题：如图15－S－3，在数轴上点A表示的数为－20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动．图15－S－3(1)三个动点运动t(0＜t＜5)秒时，P，Q，N三点在数轴上所表示的数分别为________，________，________．(2)当QN＝10个单位时，求此时点P在数轴上所表示的数．(3)尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题：码头C位于A，B两码头之间，且知AC＝20海里，AB＝60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由．类型二追及问题5．动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位．已知动点A，B的速度比是1∶4.(速度单位：单位/秒)(1)求出两个动点运动的速度，并在如图15－S－4所示的数轴上标出A，B两点从原点出发运动3秒时的位置；(2)若A，B两点从(1)中的位置同时向数轴负方向运动，则几秒后原点恰好处在两个动点正中间？(3)在(2)中A，B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A点运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，点C立即停止运动．若点C一直以20单位/秒的速度匀速运动，则点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位？图15－S－4

详解详析1．解：(1)－26＋t36－t(2)①点Q返回前相遇：3(t－16)＝t，解得t＝24；②点Q返回后相遇：3(t－16)＋t＝36×2.解得t＝30.综上所述，点P，Q同时运动的过程中能相遇，相遇时t的值是24或30.2．解：(1)设甲、乙行驶x秒时相遇．根据题意，得2x＋3x＝17，解得x＝3.4，2×3.4＝6.8，－12＋6.8＝－5.2.答：甲、乙在数轴上表示－5.2的点处相遇．(2)设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位，点B距A，C两点的距离之和为7＋10＝17＜20，点A距B，C两点的距离之和为7＋17＝24＞20，点C距A，B两点的距离之和为17＋10＝27＞20，故甲应位于A，B或B，C之间．①当甲位于A，B之间时，得2y＋(7－2y)＋(7－2y＋10)＝20，解得y＝2；②当甲位于B，C之间时，得2y＋(2y－7)＋(17－2y)＝20，解得y＝5.答：若甲、乙相向而行，2秒或5秒后甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位．(3)能．①甲从点A向右运动2秒时返回，设a秒后与乙相遇．此时甲、乙在数轴上对应同一点，所表示的数相同．甲表示的数为－12＋2×2－2a；乙表示的数为5－3×2－3a，依据题意，得－12＋2×2－2a＝5－3×2－3a，解得a＝7，相遇点表示的数为－12＋2×2－2a＝－22；②甲从点A向右运动5秒时返回，设b秒后与乙相遇．此时甲表示的数为－12＋2×5－2b；乙表示的数为5－3×5－3b，依据题意，得－12＋2×5－2b＝5－3×5－3b，解得b＝－8(不合题意，舍去)．即甲从点A向右运动2秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为－22.3．解：(1)填表如下：时间(h)035x甲车位置(km)150－30－150150－60x乙车位置(km)－5070150－50＋40x(2)能相遇．由题意，得150－60x＝－50＋40x，解得x＝2，150－60×2＝30.答：相遇时间为2h，且位于0km路标右侧30km处．(3)能．①150－60x＋120＝－50＋40x，解得x＝3.2；②150－60x－120＝－50＋40x，解得x＝0.8.答：两车相距120km时的时间为0.8h或3.2h.4．解：(1)－20＋5t4t40－8t(2)点Q，N相遇的时间为eq\f(10,3)秒，点Q到点B的时间为10秒，点N到点O的时间为5秒，点N从出发到返回到点B的时间为10秒．点N到点O前，点P所表示的数为－20＋5t；点Q所表示的数为4t；点N所表示的数为40－8t.①点Q，N相遇前，如图(a)：40－8t－4t＝10，解得t＝2.5，此时点P所表示的数为－20＋5×2.5＝－7.5；②点Q，N相遇后，点N到达点O前，如图(b)，4t－(40－8t)＝10，解得t＝eq\f(25,6)，此时点P所表示的数为－20＋5×eq\f(25,6)＝eq\f(5,6)；③点Q，N相遇后，点N到达点O后，如图(c)，点P所表示的数为－20＋5t；点Q所表示的数为4t；点N所表示的数为8(t－5)，4t－8(t－5)＝10，解得t＝7.5，此时点P所表示的数为－20＋5×7.5＝17.5.(3)存在．由数学问题的解题经验可建立如图(d)所示的数轴，点A所表示的数为－20，点C所表示的数为0，点B所表示的数为40.甲从点A出发以每秒7个单位的速度向点B运动，乙从点C出发以每秒6个单位的速度向点B运动，丙从点B出发以每秒6个单位的速度向点C运动，到达点C后立即以每秒10个单位速度返回，甲、乙、丙同时出发，当甲、乙、丙都运动到点B时，运动停止．甲到C的时间为eq\f(20,7)秒，甲到B的时间为eq\f(60,7)秒，乙到B的时间为eq\f(20,3)秒，丙到C的时间为eq\f(20,3)秒，丙从出发到返回到B的时间为eq\f(32,3)秒，甲遇丙的时间为eq\f(60,13)秒，乙遇丙的时间为eq\f(10,3)秒，甲追上乙的时间为20秒(舍)，丙追上甲的时间为eq\f(140,9)秒(舍)．丙到达C前，甲所表示的数为－20＋7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为40－6t.①乙、丙相遇前：6t－(－20＋7t)＝40－6t－6t，解得t＝eq\f(20,11)，所以甲船离B码头的距离为40－(－20＋7×eq\f(20,11))＝eq\f(520,11)(海里)；②甲、丙相遇前：40－6t－(－20＋7t)＝6t－(40－6t)，解得t＝4，所以甲船离B码头的距离为40－(－20＋7×4)＝32(海里)；③甲、丙相遇后，丙到达C前：6t－(－20＋7t)＝－20＋7t－(40－6t)，解得t＝eq\f(40,7)，所以甲船离B码头的距离为40－(－20＋7×eq\f(40,7))＝20(海里)；④甲、丙相遇后，丙到达C后：甲所表示的数为－20＋7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为10(t－eq\f(20,3)).6t－(－20＋7t)＝－20＋7t－10(t－eq\f(20,3))，解得t＝eq\f(40,3)＞eq\f(32,3)(舍)．综上所述，在整个运动过程中，分别在eq\f(20,11)小时、4小时、eq\f(40,7)小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为eq\f(520,11)海里、32海里、20海里．5．解：(1)设点A的运动速度为x单位/秒，则点B的运动速度为4x单位/秒．由题意得3x＋3×4x＝15，解得x