专题04 幂函数、指数函数与对数函数（期末复习知识清单）（解析版）

5/5专题04幂函数、指数函数与对数函数【答案】一、1.一般地，(为有理数)的函数，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底数为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自变量，幂为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因变量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指数为常数的函数称为幂函数.二、1.①，，；②，，；③，，；④，，．2.函数且叫做对数函数三、1.①；；其中且；②(其中且，)；③对数换底公式：；④；⑤；2.函数且叫做对数函数．【清单01】指数及指数运算(1)、正整数指数幂；(2)、零指数幂；(3)、负整数指数幂，；(4)、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．(5)、，，；(6)、(6)、，，；(7)、，，；(8)、，，．(9)、【清单02】指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数【清单03】对数与对数运算(1)、常用对数：以为底，记为；自然对数：以为底，记为；(2)、；；其中且；(3)、(其中且，)；(4)、对数换底公式：；变形；(5)、；(6)、；(7)、，；(8)、和；【清单04】对数函数(1)、对数函数的定义：函数且叫做对数函数．图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，对数函数常用技巧：在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)【清单05】幂函数常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点幂函数常用技巧：幂函数在第一象限内图象的画法如下：①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出；③当时，其图象可类似画出．【题型一】指数、对数、幂化简及求值【例1】．（25-26高一上·北京顺义·期中）化简下列各式，并求值．(1)(2)【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值、对数的运算【分析】（1）利用指数和对数的运算即可得到答案；（2）利用对数的运算即可得到答案.【详解】（1）.（2）【变式1-1】．（25-26高一上·宁夏银川·期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)6(2)【难度】0.85【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值、对数的运算【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算得解.（2）利用对数运算性质求解.【详解】（1）原式.（2）原式【变式1-2】．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）计算下列各式：(1)；(2)已知，求的值.【答案】(1)(2)【难度】0.85【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、根式的化简求值【分析】（1）利用根式的运算性质、指数的运算性质化简可得所求代数式的值；（2）利用平方关系可求出的值.【详解】（1）原式.（2）因为，故，所以，因为，故.【题型二】函数的图像与性质【例2】．（25-26高一上·重庆·期中）如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（）A． B．C． D．【答案】D【难度】0.94【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围【分析】令，结合图象即可得到.【详解】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值.故选：D.【变式2-1】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数（其中e为自然对数的底数）的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】求指数函数在区间内的值域、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状【分析】先分段得出函数解析式，再应用指数函数图象计算判断各个选项.【详解】依题意可得，又，当，；当，，只有选项B符合.故选：B.【变式2-2】．（2025高一上·重庆永川·专题练习）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【难度】0.65【知识点】判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别【分析】由函数定义域、单调性和奇偶性即可判断.【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或故排除AC，当,，可知其单调递增，排除B，又，偶函数，只有D符合.故选：D【题型三】指数型复合函数【例3】．（25-26高一上·天津滨海新·期中）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】根据分段函数的单调性求参数【分析】由对任意，都有成立，即在定义域内单调递减，转化为分段函数单调性问题分段求解即可.【详解】由对任意，都有成立成立，即在定义域内单调递减，故有：，解得，故选：C.【变式3-1】．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（

）A． B． C．0 D．8【答案】C【难度】0.65【知识点】求指数函数在区间内的值域、利用函数单调性求最值或值域、具体函数的定义域、求二次函数的值域或最值【分析】根据题意，求得，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由函数有意义，则满足，即，解得，即函数的定义域为，即，又由函数，令，可得且，因为函数的图像开口向上，且对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，又由，所以函数的最大值为，即函数的最大值为.故选：C.【变式3-2】．（25-26高一上·湖南·期中）已知命题，，命题，．(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】（1）由为真命题求出实数的取值范围，则其补集就是为假命题实数的取值范围；（2）分真假、假真两种情况求解.【详解】（1）若为真命题，则当，不等式变为解集为，满足；若，则，解得，所以实数的取值范围为，所以当为假命题时，实数的取值范围为.（2）若命题为真，即，，令，则，不等式变为，即，设，的图象开口向下，对称轴为，在单调递减，所以，所以，即命题为真时，实数的取值范围为.若真假，则，解得；若假真，则或，解得综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为.【题型四】对数型复合函数【例4】．（25-26高三上·宁夏中卫·月考）设函数，且对于任意的，有，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】根据分段函数的单调性求参数、定义法判断或证明函数的单调性【分析】由题可知单调递增，再根据分段函数单调性求解即可．【详解】因为对于任意的，有，所以在上单调递增，，解得．故选：B．【变式4-1】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】由对数（型）的单调性求参数【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性列式求解.【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减，则函数在上单调递增，且当时，，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：B.【变式4-2】．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知函数，且.(1)求函数的定义域；(2)当时，求函数在[0,2]上的最大值.【答案】(1)(2).【难度】0.65【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求对数型复合函数的定义域【分析】（1）根据对数函数定义域解不等式组即可求出函数的定义域；（2）根据对数函数的单调性与二次函数的性质即可求出时函数在[0，2]上的最大值.【详解】（1）依题意有解得，故函数的定义域为.（2）当时，，其中，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，又是减函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，故函数在[0,2]上的最大值为.【题型五】幂函数型复合函数【例5】．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【难度】0.65【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值【分析】由幂函数的定义与性质求解即可.【详解】由于函数是幂函数，且在上单调递减，则，且，解得或（舍），故选：B.【变式5-1】．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（）A．的定义域为 B．的值域为C．为奇函数 D．为减函数【答案】C【难度】0.65【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可．【详解】因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，值域为，故A错误，B错误；的定义域为，关于原点对称，因为，即为奇函数，故C正确；由可知在定义域上不是减函数，故D错误．故选：C．【题型六】指对幂比较大小【例6】．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】比较指数幂的大小【分析】由，利用指数函数的单调性即可比较与的大小，又，利用不等式的性质即可求解.【详解】由，又在上单调递增，又，所以，即，又，所以，故选：D.【变式6-1】．（25-26高三上·江西赣州·期中）若，，，则，，之间的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小【分析】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小.【详解】因为，即；，即；，即，所以.故选：D【变式6-2】．（25-26高一上·山东枣庄·期中）若，记，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】比较指数幂的大小【分析】分别代入求值表示，对于，结合根式以及二次函数求出取值范围，最后借助指数函数单调性比较大小.【详解】因为，所以，，因为，所以，因为，所以，当时，在上单调递减，，所以，故选：A.【题型七】利用函数的基本性质求参数及参数范围【例7】．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式.【详解】是定义在上的偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得，的定义域为.又对有，在上单调递增，为偶函数，在上单调递减.由，不等式可化为，根据偶函数的性质，不等式可化为，由以上推出的条件可得，解得.故选：A.【变式7-1】．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数是定义域上的奇函数，则（

）A． B． C．3 D．【答案】A【难度】0.65【知识点】求函数值、由奇偶性求参数【分析】应用函数是奇函数，通过赋值法计算求解.【详解】因为函数是定义域上的奇函数，定义域为所以，所以，所以函数，满足，满足题意，则.故选：A.【变式7-2】．（23-24高三上·山东日照·开学考试）若是奇函数，则.【答案】【难度】0.65【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断【分析】利用奇函数的性质求即可得解.【详解】因为是奇函数,定义域关于原点对称,由,可得,所以且,所以,解得,所以的定义域为,关于原点对称，且，又,即,解得,此时,则，所以，符合题意.所以.故答案为：.【题型八】函数的实际应用【例8】．（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（

）附：A．10% B．20% C．50% D．100%【答案】B【难度】0.65【知识点】对数的运算性质的应用【分析】根据题意，计算出的值即可；【详解】当时，，当时，，因为所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，故选：B.【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.【变式8-1】．（2019·北京·高考真题）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【答案】A【难度】0.65【知识点】对数的运算【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.【变式8-2】．（24-25高一上·安徽合肥·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据间的关系为已知五分记录法的评判范围为，设，五分记录法中，最大值对应的小数记录法数据为，最小值对应的小数记录法数据为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】对数的运算性质的应用【分析】由已知结合对数运算性质即可求解．【详解】由题意，五分记录法的评判范围为，令，则，得，令，则，得，五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为:，设，则，则．故选：D．【题型九】综合性质【例9】．（22-23高一上·四川成都·期末）已知函数，．(1)求函数在区间上的最大值；(2)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围．【答案】(1)当时，；当时，.(2)【难度】0.65【知识点】函数与方程的综合应用、求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域【分析】（1）先化简解析式，得到关于的复合函数，通过换元转化为一元二次函数求最值，由于对称轴不确定需进行分类讨论；（2）化简，利用换元法，转化为二次函数根的分布问题求解.【详解】（1）令，，则于是变为，对称轴为，当，即时，在处取得最大值，即；当，即时，在处取得最大值，即.（2）；令，则，，令，整理可得①.，作出简图，如下，当时，，显然不合题意；当时，有两个根；当时，有一个根；因为函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，所以①式有两个根，且一根在区间内，另一根在区间内；设，则有，解得，或，无解.所以实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是根的分布问题，二次方程根的分布，通常是先作出简图，结合图象，从开口方向，对称轴位置，区间端点值的符号，判别式的符号来列出限制条件，求出参数范围.【变式9-1】．（20-21高一上·全国·单元测试）设函数，且，．（1）当时，求的最大值．（2）为何值时，函数的图象与的图象恒有两个交点．【答案】（1）lg12；（2）.【难度】0.85【知识点】求对数型复合函数的值域、简单的指数方程【分析】（1）根据条件先求出，再求最大值即可；（2）先换元，再转化为二次方程问题就可以得出结果.【详解】（1），且，，，，解得：，；所以得：函数，当时，，故当，即时，函数取最大值lg12.（2）若函数的图象与的图象恒有两个交点．则有两个解，令，则，则有两个正解；则，解得，所以当时，函数的图象与的图象恒有两个交点．【变式9-2】．已知函数的定义域为D．若对于任意，且，都有，则称函数为“凸函数”．（1）判断函数①，②与③是“凸函数”的序号是（只需写出结论）；（2）若函数（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围；（3）写出一个定义在上的“凸函数”，满足．（只需写出结论）．【答案】（1）③；（2）；（3）.【难度】0.65【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异【解析】（1）根据题意可依次算出①②③三个函数所对应的的关系式，然后判断是否为负，即满足“凸函数”的定义.（2）根据函数定义域为R，对于任意的且，可知，解不等式，可求出的范围.（3）根据定义域，结合幂函数的性质，可确定一个复合函数满足“凸函数”的定义，如.【详解】（1）③（2）函数定义域为R，对于任意的且，根据题意，因为，所以.（3）（注：答案不唯一）【点睛】对于新定义的题型，重点在理解定义，确定知识点.本题的思路为：要计算出的关系式，然后根据“凸函数”的定义，可知.

【题型一】容易记混指对幂的运算公式【例1】．（25