专题05全等三角形（五大类型）-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（苏科版）

备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编专题05全等三角形（五大类型）全等图形1．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）下列图形中，是一对全等图形的是（

）A．两个正方形 B．周长相等的两个等腰三角形C．两个圆 D．面积相等的两个等边三角形2．（2023上·江苏·八年级专题练习）下列四个图形中，属于全等图形的是（）

A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全部3．（2022上·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为.4．（2023·江苏·八年级假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：

5．（2023·江苏·八年级假期作业）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．

全等三角形的性质6．（2023上·江苏·八年级专题练习）已知与全等，，，则的度数是（）A． B． C．或 D．或7．（2019上·江苏南京·八年级统考期末）如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（）A．2 B．3 C．5 D．78．（2023上·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，已知图中的两个三角形全等，则的度数是()

A． B． C． D．9．（2022上·江苏徐州·八年级校考期末）如图，已知图中的两个三角形全等，则度数是（）

A． B． C． D．10．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，，若，，则的度数为（）

A． B． C． D．全等三角形的判定条件11．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）如图，交于点M，交于点D，交于点N，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，小明和小丽用下面的方法测量位于池塘两端的A、B两点的距离；先取一个可以直接到达点的点，量得的长度，再沿方向走到点处，使得；然后从点D处沿着由点B到点A的方向，到达点E处，使得点E、B、C在一条直线上，量得的的长度就是A、B两点的距离．在解决这个问题中，关键是利用了，其数学依据是（

）A． B． C． D．或13．（2023上·江苏·八年级统考期末）如图，与中，，，则添加下列条件后，能运用“”判断的是（

）A． B． C． D．14．（2023上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，中，为的角平分线，作垂直于D，的面积为8，则的面积为（

）A．3 B．4 C．5 D．615．（2022·江苏·八年级假期作业）如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与全等的格点三角形（不含）共有A．5个 B．6个 C．7个 D．8个全等三角形的性质与判定16．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，点C、F在线段上，且，，．求证：．17．（2021上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，点E、A、C在同一直线上，AB∥CD，∠B＝∠E，AC＝CD．求证：BC＝ED．18．（2020上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AC＝DF，∠A＝∠D，AB＝DE，求证：BC∥EF19．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在和中，，．求证：．

20．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）已知：如图，，AE＝BE，，点D在AC边上．求证：．

全等三角形综合问题21．（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）在①；②这两个条件中任选一个作为题目条件，补充在下面的横线上，并加以解答．如图，点A、B、C、D在同一直线上，，，______．求证：．注：若选择①②两个条件分别解答，则按第一个解答计分．22．（2023上·江苏·八年级期末）如图，在中．是边上的中线，交于点．(1)如下图，延长到点，使，连接．求证：．(2)如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由．(3)如下图，若是边上的中线，且交于点．请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．23．（2022上·江苏南通·八年级统考期末）中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点．(1)如图1，分别延长，相交于点，求证：；(2)如图2，若平分，，求的长；(3)如图3，是延长线上一点，平分，试探究，，之间的数量关系并说明理由．24．（2022上·江苏徐州·八年级统考期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示．(1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程；(2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：；(3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系．25．（2018上·江苏淮安·八年级校联考期末）如图，在中，，，BD是斜边上高动点P从点A出发沿AB边由A向终点B以的速度匀速移动，动点Q从点B出发沿射线BC以的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止连接AQ，交射线BD于点设点P运动时间为t秒．在运动过程中，的面积始终是的面积的2倍，为什么？当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，和相等．一、单选题1．（2023上·江苏徐州·八年级统考期末）根据下列条件，能确定（存在且唯一）的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2022上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC△，△AEB△，且BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC=x°，则∠BFC的大小（用含x的式子表示）是（

）A．x B．180°2x C．180°x D．2x3．（2022上·江苏南通·八年级统考期末）如图，已知，用直尺和圆规按以下步骤作出．（1）画射线，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点；（2）分别以，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接，．则能用于证明的依据是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS4．（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；④若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2018上·江苏镇江·八年级阶段练习）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（

）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL二、填空题6．（2022上·江苏南通·八年级统考期末）如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则的长为．7．（2023上·江苏南通·八年级统考期末）如图，已知线段，于点A，，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发秒后，在线段MA上有一点C，使与全等．8．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）在和中，，，要使这两个三角形全等，还需要添加一个条件，这个条件是（填写一种情况即可）9．（2022上·江苏·八年级统考期末）如图，在△ABC中，，直线l经过边AB的中点D，与BC交于点M，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，则AE＋CF的最大值为．10．（2023上·江苏南京·八年级校联考期末）如图，和中，，且点B，D，E在同一条直线上，若，则°．11．（2020上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形，根据图中标示的各点位置，请写出一个与全等的三角形：．12．（2019上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．13．（2022上·江苏南通·八年级统考期末）已知，如图，在△ABC中，，，cm，BD＝3cm，则ED的长为cm．三、解答题14．（2022上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，高速公路上有A、B两点相距10km．C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等．(1)在图中作出服务站E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求服务站E到B点的距离．15．（2022上·江苏南京·八年级校考期末）如图，在ABC和ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证∠ABD＝∠ACE．16．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，已知，是线段上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号）证明：17．（2023上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图1，在中，．是经过点A的直线，于D，于E．

(1)求证：．(2)若将绕点A旋转，使与相交于点G（如图2），其他条件不变，求证：．18．（2023上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到的理由是．A．

B．

C．

D．（2）求得的取值范围是．A．

B．

C．

D．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】如图2，和是两个等腰直角三角形，，，与交于．取的中点，连，探讨与的数量和位置关系．

19．（2023上·江苏南京·八年级校考阶段练习）【问题提出】数学课上，学习了直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个直角三角形满足一条直角边和周长分别相等”的情形进行研究．【问题解决】(1)如图①，在和中，，，和的周长相等．求证：．

(2)下列命题是真命题的有．A．斜边和周长分别相等的两个直角三角形全等B．斜边和面积分别相等的两个直角三角形全等C．一个锐角和周长分别相等的两个直角三角形全等20．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．

(1)求证：．(2)写出线段的长（用含t的式子表示）．(3)连接，当线段经过点时，求的值．

备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编专题05全等三角形（五大类型）全等图形1．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）下列图形中，是一对全等图形的是（

）A．两个正方形 B．周长相等的两个等腰三角形C．两个圆 D．面积相等的两个等边三角形【答案】D【分析】根据全等图形的定义进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、两个正方形是形状都相同，大小不一定相等，故该选项是错误的；B、周长相等的两个等腰三角形，边长不一定对应相等，故该选项是错误的；C、两个圆是形状都相同，大小不一定相等，故该选项是错误的；D、面积相等的两个等边三角形是形状和大小都相同的图形，故该选项是正确的；故选：D．【点睛】本题考查了全等图形的定义；全等图形的定义：形状和大小都相同的图形．2．（2023上·江苏·八年级专题练习）下列四个图形中，属于全等图形的是（）

A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全部【答案】D【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：①、②、③和④都可以完全重合，因此全等的图形是全部．故选：D．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．3．（2022上·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为.【答案】/45度【分析】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解．【详解】观察图形可知与所在的直角三角形全等，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．4．（2023·江苏·八年级假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：

【答案】见解析【分析】根据全等图形的定义和方格的特点解答即可．【详解】解：如图：

【点睛】本题考查了图形的分割和全等图形的定义，熟练掌握方格纸的特点是解答本题的关键．5．（2023·江苏·八年级假期作业）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．

【答案】见解析【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一）【详解】

【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．全等三角形的性质6．（2023上·江苏·八年级专题练习）已知与全等，，，则的度数是（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据全等三角形对应角相等以及三角形的内角和是180度，即可解答．【详解】解：在中，．∵与全等，∴当时，，当时，．的度数是或．故选：D．7．（2019上·江苏南京·八年级统考期末）如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（）A．2 B．3 C．5 D．7【答案】A【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等解题即可．【详解】解：∵，∴，又，∴，∵，∵．故选：A．8．（2023上·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，已知图中的两个三角形全等，则∠𝛼的度数是()

A．72° B．60° C．58° D．50°【答案】D【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，然后写出即可．【详解】解：两个三角形全等，的度数是．故选：D．9．（2022上·江苏徐州·八年级校考期末）如图，已知图中的两个三角形全等，则∠𝛼度数是（）

A．50° B．58° C．60° D．72°【答案】A【分析】根据全等三角形对应角相等即可得出结论．【详解】解：∵图中的两个三角形全等，∴，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题的关键．10．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，若∠𝐵=80°，∠𝐷𝐴𝐸=70°，则∠𝐸的度数为（）

A．30° B．35° C．70° D．80°【答案】A【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：，，∴，∵，，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．全等三角形的判定条件11．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）如图，𝐸𝐵交𝐴𝐶于点M，交𝐹𝐶于点D，𝐴𝐵交𝐹𝐶于点N，∠𝐸=∠𝐹=90°，∠𝐵=∠𝐶，𝐴𝐸=𝐴𝐹，给出下列结论：①∠1=∠2；②𝐶𝑀=𝐴𝑀；③△𝐴𝐶𝑁≌△𝐴𝐵𝑀；④𝐵𝐸=𝐶𝐹．其中正确的结论有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据，，，可得，三角形全等的性质；可得①；由可得，④不成立．【详解】解：∵，，，∴，∴；，故④符合题意；∵，∴；故①符合题意；∵，∴，，又∵，∴，故③符合题意；∴，∴，∵，∴，∴，∴不能证明成立，故②不符合题意．综上分析可知，成立的有3个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．12．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，小明和小丽用下面的方法测量位于池塘两端的A、B两点的距离；先取一个可以直接到达点的点，量得的长度，再沿方向走到点处，使得；然后从点D处沿着由点B到点A的方向，到达点E处，使得点E、B、C在一条直线上，量得的的长度就是A、B两点的距离．在解决这个问题中，关键是利用了，其数学依据是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根据平行线的性质可得，然后根据全等三角形的判定定理进行求解即可．【详解】解：由题意得，，∴，在和中，，∴，∴；在和中，，∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．13．（2023上·江苏·八年级统考期末）如图，与中，，，则添加下列条件后，能运用“”判断的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据（SAS）判断两个三角形全等的条件和图形推出剩下的条件即可．【详解】∵与中，，，已知一边与一角相等，要用“”判定，∴需找已知相等角的邻边相等，即，故选：A．【点睛】本题考查了三角形全等的条件，判定三角形全等要结合图形上的位置关系，根据具体判定方法找条件．14．（2023上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，中，为的角平分线，作垂直于D，的面积为8，则的面积为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】如图所示，延长交于E，利用证明，得到，进而推出，即可得到．【详解】解：如图所示，延长交于E，∵为的角平分线，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，故选B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．（2022·江苏·八年级假期作业）如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与全等的格点三角形（不含）共有A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】C【分析】根据全等三角形的判定定理画出符合的三角形，再得出选项即可．【详解】解：如图所示：与全等的三角形有、、、、、、，共7个，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．全等三角形的性质与判定16．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，点C、F在线段上，且，，．求证：．【答案】证明过程见解析【分析】由可得，根据三角形全等的判定证明，即可证明出结论．【详解】证明：，，，∴在和中，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练运用三角形的判定证明是解题的关键．17．（2021上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，点E、A、C在同一直线上，AB∥CD，∠B＝∠E，AC＝CD．求证：BC＝ED．【答案】见解析【分析】利用AAS定理证明△ACB≌△CED，根据全等三角形的对应边相等证明即可．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD，在△ABC和△CED中，，∴△ACB≌△CED（AAS），∴BC＝ED．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．18．（2020上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AC＝DF，∠A＝∠D，AB＝DE，求证：BC∥EF【答案】见详解【分析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB＝∠DFE，故证得结论．【详解】证明：在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．19．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在和中，，．求证：．

【答案】见解析【分析】根据题意得到，利用定理证明，根据全等三角形的对应边相等证明即可．【详解】证明：，，，即，在和中，，，．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．20．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）已知：如图，，AE＝BE，，点D在AC边上．求证：．

【答案】见解析【分析】利用等式的性质可证，然后利用证明即可．【详解】证明：∵，∴，∴，在和中，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．全等三角形综合问题21．（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）在①；②这两个条件中任选一个作为题目条件，补充在下面的横线上，并加以解答．如图，点A、B、C、D在同一直线上，，，______．求证：．注：若选择①②两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】见解析【分析】选①利用证明，选②利用证明，可得，进而可证．【详解】解：选择①，证明：∵，则，∴，在和中，，∴，∴，∴．选择②，证明：∵，则，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解决问题的关键．22．（2023上·江苏·八年级期末）如图，在中．是边上的中线，交于点．(1)如下图，延长到点，使，连接．求证：．(2)如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由．(3)如下图，若是边上的中线，且交于点．请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析．【分析】（）利用可得；（）延长到点，使，连接，先根据证得，，进而得到，；再证得利用全等三角形全等的性质即可；（）延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，证得可得，进而得到，本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【详解】（1）证明：在和中，∴；（2）解：，理由如下：延长到点，使，连接，如图由（）得，∴，∴，∴，∵，∴，∴在和中∴∴，∴；（3），理由如下：延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，如图，由（）得，，∴，，，∴，，∴，在和中，，∴∴，∴．23．（2022上·江苏南通·八年级统考期末）中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点．(1)如图1，分别延长，相交于点，求证：；(2)如图2，若平分，，求的长；(3)如图3，是延长线上一点，平分，试探究，，之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】（1）欲证明BE＝AD，只要证明即可；（2）如图2，分别延长BF，AC交于点E，证，可求；（3）如图3中，分别延长BF，AC交于点E，由（1）可得△ACD≌△BCE，得CD＝CE，再证可得结论．【详解】（1）解：（1）∵，∴，又∵，∴．在和中，∴．∴．（2）解：如图2，延长，交于点．∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴．由（1）可得，．∴．（3）解：．理由：如图3，延长，交于点．由（1）可得，，∴．∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴．∵．∴．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．24．（2022上·江苏徐州·八年级统考期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示．(1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程；(2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：；(3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，见解析【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答；（2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解；（3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明．【详解】（1）证明：在中，∵，，∴，又∵点D是的中点，∴，且，∴，又∵是直角三角尺，∴，即，∴在和中∴，∴；（2）证明：∵∴，，∴，且由于是含45°直角三角尺，∴，∴即在和中∴，∴；（3）解：作图正确（如图所示）猜想：，理由如下：∵，∴，∵，∴又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质．25．（2018上·江苏淮安·八年级校联考期末）如图，在中，，，BD是斜边上高动点P从点A出发沿AB边由A向终点B以的速度匀速移动，动点Q从点B出发沿射线BC以的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止连接AQ，交射线BD于点设点P运动时间为t秒．在运动过程中，的面积始终是的面积的2倍，为什么？当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，和相等．【答案】（1）详见解析；（2）【分析】为等腰直角三角形斜边上的高，根据三线合一得BD为角平分线，所以E到AB和E到BC距离相等；又的底BQ为的底AP的2倍，得证．和相等，加上BE为公共边，，即有三角形全等，利用对应边相等列方程即求出t的值．【详解】解：过点E作于M，于N,，，BD是斜边上高,平分,，,,的面积始终是的面积的2倍,平分,,在与中,≌,,解得：,时，和相等.【点睛】考查了等腰直角三角形，角平分线性质定理，全等三角形的判定和性质由BD是斜边上的高得三线合一再利用角平分线性质解题是关键．一、单选题1．（2023上·江苏徐州·八年级统考期末）根据下列条件，能确定（存在且唯一）的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根据三角形的三边关系可判断A项，根据全等三角形的判定可判断B、C、D三项，进而可得答案．【详解】解：A、由于与两边之和小于，不能作出三角形，故本选项不符合题意；B、并不是与的夹角，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；C、两边夹一角，形状固定，可作唯一三角形，故本选项符合题意；D、三个角确定，但边不确定，可画出多个不全等的三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的判定，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．2．（2022上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC△，△AEB△，且BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC=x°，则∠BFC的大小（用含x的式子表示）是（

）A．x B．180°2x C．180°x D．2x【答案】B【点睛】延长交AC于M，如图，根据全等的性质得∠=∠ACD，∠=∠CAD=∠=x，再利用三角形外角性质得∠=∠+∠=∠+2x，接着利用得到∠AEB=∠，而根据三角形内角和得到∠=180°-∠-x，则∠+2x=180°-∠-x，所以∠+∠=180°-3x，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC=∠C=x+∠+∠，所以∠BFC=180°-2x．【详解】解：延长交AC于M，如图，∵△ADC△，△AEB△，∴∠=∠ACD，∠=∠CAD=∠=x，∴∠=∠+∠=∠+2x，∵，∴∠AEB=∠，∵∠=180°∠∠=180°∠-x，∴∠+2x=180°-∠x，∴∠+∠=180°3x，∵∠BFC=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠=x+∠ACD+∠=x+∠+∠=x+180°3x=180°2x．故选：B．【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了平行线的性质．3．（2022上·江苏南通·八年级统考期末）如图，已知，用直尺和圆规按以下步骤作出．（1）画射线，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点；（2）分别以，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接，．则能用于证明的依据是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】根据作图方法可知，，，，由此可解．【详解】解：根据作图的步骤（1）知，由步骤（2）知，，根据三组边对应相等（SSS），可证．故答案为：A．【点睛】本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键．4．（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；④若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；作OG⊥AC于G，求得OG=OD=1，根据三角形的面积的计算可证得②正确；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定③正确；作作OG⊥AB于G，OM⊥AC于M，根据三角形的面积可证得④错误．【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA=∠CBA，∠OAB=∠CAB，∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=180°-∠CBA-∠CAB=180°-（180°-∠C）=90°+∠C，①错误；作OG⊥AB于G，∵BO是∠ABC的平分线，OG⊥AC，OD⊥BC，OD=1，∴OG=OD=1，∵AB=4，∴S△ABO=AB×OG=×4×1=2，②正确；在AB上取一点H，使BH=BE，∵∠C=60°，由①知∠AOB=90°+∠C，∴∠AOB=90°+30°=120°，∴∠BOE=∠AOF=60°，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO=∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH=∠BOE=60°，∴∠AOH=180°-60°-60°=60°，∴∠AOH=∠AOF，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠HAO=∠FAO，在△HAO和△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AF=AH，∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确；作OG⊥AB于G，OM⊥AC于M，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，OD=a，∴点O在∠C的平分线上，∴OG=OM=OD=a，∵AB+AC+BC=2b，∴S△ABC=×AB×OG+×AC×OM+×BC×OD=（AB+AC+BC）•a=ab，④错误．综上，②③正确，共2个；故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．5．（2018上·江苏镇江·八年级阶段练习）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（

）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL【答案】D【分析】根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN．【详解】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，∴△OPM≌△OPN所用的判定定理是HL．​故选D.【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．二、填空题6．（2022上·江苏南通·八年级统考期末）如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则的长为．【答案】4【分析】根据条件可以得出，进而得出，就可以得出，即可求解．【详解】解：，，，，，在和中，，，，，．故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．7．（2023上·江苏南通·八年级统考期末）如图，已知线段，于点A，，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发秒后，在线段MA上有一点C，使与全等．【答案】5【分析】分两种情况考虑：当时与当时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．【详解】解：当时，，即，解得：；当时，米，此时所用时间为10，，不合题意，舍去；综上，出发5秒后，在线段上有一点，使与全等．故答案为：5．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．8．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）在和中，，，要使这两个三角形全等，还需要添加一个条件，这个条件是（填写一种情况即可）【答案】或（填写一种情况即可）【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答案．【详解】解：在和中，，∴；在和中，，∴；综上可得：当，两三角形全等；当，两三角形全等．故答案为：或（填写一种情况即可）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法．9．（2022上·江苏·八年级统考期末）如图，在△ABC中，，直线l经过边AB的中点D，与BC交于点M，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，则AE＋CF的最大值为．【答案】【分析】根据证明得，可得，又可知，，所以，当重合时，，从而可得，故可得结论【详解】解：作于点K，如图，，,又点D为的中点，又∵∴又，又当共线时，即重合时，，，即则，即的最大值为【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．10．（2023上·江苏南京·八年级校联考期末）如图，和中，，且点B，D，E在同一条直线上，若，则°．【答案】70【分析】证明，得到，进而得到，再利用，进行计算即可得解．【详解】解：∵，∴，又∵∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，即：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．11．（2020上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形，根据图中标示的各点位置，请写出一个与全等的三角形：．【答案】【分析】根据全等三角形的判定定理，，，结合图形进行判断即可．【详解】解：根据图象可知和全等，理由如下：∵根据图形可知，，，∴，即和全等，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的观察图形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：，，，．12．（2019上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．【答案】或【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，，∵，∴①当，时，，此时，解得，∴，此时，点Q的运动速度为厘米/秒；②当，时，，此时，，解得，∴点Q的运动速度为厘米/秒；综上所述，点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．13．（2022上·江苏南通·八年级统考期末）已知，如图，在△ABC中，，，cm，BD＝3cm，则ED的长为cm．【答案】2【分析】根据线段的和差关系可得CD的长，利用ASA可证明△ACD≌△AED，可得CD=ED，即可得答案．【详解】∵cm，BD＝3cm，∴CD=CB-BD=2cm，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED，∴ED=CD=2cm，故答案为：2【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形常用的判定定理有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意，应用SAS时，角必须是两边的夹角；AAA和SSA不能判定两个三角形全等，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键．三、解答题14．（2022上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，高速公路上有A、B两点相距10km．C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等．(1)在图中作出服务站E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求服务站E到B点的距离．【答案】(1)见解析(2)BE=4【分析】（1）取AE=BC，利用SAS证明△AED≌△BCE，得DE=CE，即可确定服务站的位置；（2）由（1）知，BC=AE=6km，可得BE=4km．【详解】（1）解：如图所示，取AE=BC，∵AB=10km，DA=4km，CB=6km．∴AE=BC=6km，则BE=AD=4km，在△AED和△BCE中，，∴△AED≌△BCE（SAS），∴DE=CE；点E即为所求；（2）解：由（1）知，BC=AE=6（km），∵A、B两点相距10km，∴BE=4km，∴服务站E到B点的距离为4km．【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定与性质等知识，作图推导出AD=BE是解题的关键．15．（2022上·江苏南京·八年级校考期末）如图，在ABC和ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证∠ABD＝∠ACE．【答案】见解析【分析】由题意可根据“SAS”判定△ABD≌△ACE，进而根据全等三角形的性质可求证．【详解】证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．16．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，已知，是线段上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号）证明：【答案】①③，②，见解析；或②③，①，见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选的补充条件是①③，结论是②，证明，即可；选的补充条件是②③，结论是①，证明即可．【详解】解：选的补充条件是①③，结论是②，证明：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．选的补充条件是②③，结论是①，证明：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案为：①③，②或②③，①．17．（2023上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图1，在中，．是经过点A的直线