宁夏大学附中2026届高二上数学期末监测模拟试题含解析

宁夏大学附中2026届高二上数学期末监测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为等比数列的前n项和，，，则（）A.30 B.C. D.30或2．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）A. B.C. D.3．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（）A. B.C. D.4．设，分别是双曲线：的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，，为坐标原点，则双曲线的离心率为（）A. B.2C. D.5．若x，y满足约束条件,则的最大值为（）A.2 B.3C.4 D.56．已知直线和互相平行，则实数（）A. B.C.或 D.或7．已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有，若，则（）A.2019 B.2020C.2021 D.20228．已知三个顶点都在抛物线上，且为抛物线的焦点，若，则（）A.6 B.8C.10 D.129．椭圆的左右两焦点分别为，，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，，则椭圆C的离心率是（）A. B.C. D.10．双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.12．已知，若，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线和互相平行，则实数的值为___________.14．设，若不等式在上恒成立，则的取值范围是______.15．已知，则正整数___________.16．正四棱柱的高为底面边长的倍，则其体对角线与底面所成角的大小为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是正项数列，，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，.（1）证明：平面平面；（2）若，为棱的中点，，，求二面角的余弦值19．（12分）已知函数.（1）证明：；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数（Ⅰ）解关于的不等式；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围21．（12分）已知圆：，定点，Q为圆上的一动点，点P在半径CQ上，且，设点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过点的直线交曲线E于A，B两点，过点H与AB垂直的直线与x轴交于点N，当取最大值时，求直线AB的方程.22．（10分）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，分别是棱，的中点（1）证明：平面；（2）若，且四棱锥的体积是6，求三棱锥的体积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用等比数列基本量代换代入，列方程组，即可求解.【详解】由得，则等比数列的公比，则得，令，则即，解得或（舍去），，则故选：A2、B【解析】设等比数列的公比为，则，由可得，可得出，利用基本不等式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，因为，则，所以，，则，当且仅当时，等号成立.故选：B.3、D【解析】利用双曲线定义可得到，将的最小值变为的最小值问题，数形结合得解.【详解】由题意得，故，如图所示：到渐近线的距离,则，当且仅当，，三点共线时取等号，∴的最小值为.故选：D4、D【解析】先求过右焦点且与渐近线垂直的直线方程，与渐近线方程联立求点P的坐标，再用两点间的距离公式，结合已知条件，得到关于a，c的关系式.【详解】双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，过与这条渐近线垂直的直线方程为，由，得到点P的坐标为，又因为，所以，所以，所以.故选：D5、C【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解【详解】作出可行域如图所示，把目标函数转化为，平移，经过点时，纵截距最大，所以的最大值为4.故选：C6、C【解析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解.【详解】由题意，直线和互相平行，可得且，即且，解得或.故选：C.7、C【解析】先令代入中，求得，再根据递推式得到，将与已知相减，可判断数列是等比数列，进而确定，求得答案.【详解】因为，令，则，又，故，即，故数列是等比数列，则，所以，所以，故选：C.8、D【解析】设，，，由向量关系化为坐标关系，再结合抛物线的焦半径公式即可计算【详解】由得焦点，准线方程为，设，，由得则，化简得所以故选：D9、C【解析】由题可得为等边三角形，可得，即得.【详解】∵过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，∴为等边三角形，由代入，可得，∴，所以，即，又，解得.故选：C.10、C【解析】分析可知，利用双曲线的离心率公式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】由题意有，，则，解得：故选：C.11、B【解析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果【详解】因为，所以，即所以，由双曲线的定义，知，设，则，易得，如图，作，为垂足，则，所以，即，即双曲线的离心率为.故选：B12、B【解析】先求出的坐标，然后由可得，再根据向量数量积的坐标运算求解即可.【详解】因为，，所以，因为，所以，即，解得.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据直线平行的充要条件即可求出实数的值.详解】由直线和互相平行，得，即.故答案为：.14、【解析】构造，利用导数求其最大值，结合已知不等式恒成立，即可确定的范围.【详解】令，则且，若得：；若得：；所以在上递增，在上递减，故，要使在上恒成立，即.故答案为：.15、6【解析】根据组合数和排列数的运算即可求得答案.【详解】由题意，，得.故答案为：6.16、##【解析】如图所示，其体对角线与底面所成角为，解三角形即得解.【详解】解：如图所示，设，所以.由题得平面,则其体对角线与底面所成角为,因为,所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由条件因式分解可得，从而得到，即可得出答案.（2）由（1）可得，由错位相减法求和得到，由题意即即对恒成立，分析数列的单调性，得出答案.【小问1详解】由，得∵∴∴∴数列是公比为2的等比数列.∵，∴.【小问2详解】由（1）知，∴∴①∴②①-②得∴∴由对恒成立得对恒成立即对恒成立，又是递减数列∴时得到最大值∴，即∴的取值范围是.18、（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）由四边形为矩形，可得，再由已知结合面面垂直的性质可得平面，进一步得到，再由，利用线面垂直的判定定理可得面，即可证得平面；（2）取的中点，连接，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题得，解得.进而求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）设BC中点为,连接，，又面面，且面面，所以面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，设，可得所以由题得，解得.所以设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取.则，所以二面角的余弦值为.点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）令，求导得到函数的增区间为，减区间为，故，得到证明.（2），讨论和两种情况，计算函数的单调区间得到，解得答案.【详解】（1）令，有，令可得，故函数的增区间为，减区间为，，故有.（2）由①当时，，此时函数的减区间为，没有增区间；②当时，令可得，此时函数的增区间为，减区间为.若函数有两个零点，必须且，可得，此时，又由，当时，由(1)有，取时，显然有，当时，故函数有两个零点时，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，根据零点求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）用找零点法去绝对值，然后再解不等式.（Ⅱ）将原函数转化为分段函数，再结合函数图像求得其最小值．将恒成立转化为试题解析：（Ⅰ）或或或所以原不等式解集为（Ⅱ），由函数图像可知，所以要使恒成立，只需考点：1绝对值不等式；2恒成立问题；3转化思想21、（1）（2）或【解析】(1)结合已知条件可得到点P在线段QF的垂直平分线上，然后利用椭圆定义即可求解；(2)结合已知条件设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用弦长公式求出，再设出直线NH的方程，求出N点坐标，进而求出，然后表示出，再利用换元法和均值不等式求解即可.【小问1详解】设点的坐标为，∵，∴点P在线段QF垂直平分线上，∴，又∵，∴∴点P在以C，F为焦点的椭圆上，且，∴，∴曲线的方程为：.【小问2详解】设直线AB方程为，，由，解得，，解得，由韦达定理可知，，，∴∵AB与HN垂直，∴直线NH的方程为，令，得，∴，又由，∴，∴设则∴当且仅当即时等号成立，有最大值，此时满足，故，所以直线AB的方程为：，即或.22、（1）证明见解析.（2）2.【解析】（1）取的中点，连接，．运用面面平行的判定和性质可得证；（2）过点作，垂足为，连接，，设点到平面的距离为，根据棱锥的体积求得，再利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，三棱锥的体积与三棱锥的体积相