第六单元 第27课时　与圆有关的位置关系

第六单元圆第27课时与圆有关的位置关系节前复习导图点、直线与圆的位置关系点与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内直线与圆的位置关系相离相切相交切线的性质与判定性质定理判定定理判定方法切线长∗切线长定理三角形的内切圆定义圆心O性质角度关系1考点梳理2多设问串核心3江苏真题随堂练4分层作业本考点梳理一、点与圆的位置关系(设圆的半径为r，平面内任意一点到圆心的距离为d)如图①1.

点在圆外⇔d

r，如点A2.

点在圆上⇔d

r，如点B3.

点在圆内⇔d

r，如点C图①＞=＜二、直线与圆的位置关系(设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d)位置关系相离相切相交d与r的关系d

⁠rd

⁠rd

⁠r交点的个数

⁠公共点有且只有一个公共点有

⁠公共点示意图

＞=＜没有两个三、切线的性质与判定1.

性质定理：圆的切线

⁠于过切点的半径(或直径)2.

判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3.

判定方法(1).直线与圆有公共点：“有公共点，连半径，证垂直”.若已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直

线垂直；(2).直线与圆公共点未知：“公共点未知，作垂直，证半径”.若已知条件中不确定与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的

长等于半径的长垂直四、切线长：如图②，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切，这点和切点之间的线段的

长，叫作这点到圆的切线长图②五、*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长

，这一点和圆心的连线

⁠

两条切线的夹角.如图②，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，那么PA=

，∠APO=

=

∠APB图②相等平分

PB∠BPO

图③角平分线三条边【满分技法】任意三角形的内切圆直角三角形的内切圆

想一想：这两个结论是怎么推导出来的？多设问串核心基础题固考点1.(苏科九上习题改编)如图，△ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点

A，若∠B=20°，则∠C的度数为(

D

)A.20°B.30°C.40°D.50°D【解析】如图，连接OA，∵∠B=20°，∴∠AOC=2∠B=40°，∵AC与圆相切于点A，∴∠OAC=90°，∴∠C=90°－40°=50°.2.(苏科九上习题改编)如图，AF，BF与⊙O分别相切于点A，B，AF=7，

CD与⊙O相切于点E，与AF，BF分别交于点C，D，则△CDF的周长为

(

D

)A.11B.12C.13D.14【解析】由题意得，CA，CE与⊙O相切，∴CA=CE，同理DB=DE，FA=FB，∵△CDF的周长为FC＋CD＋FD，CD=CE＋ED=AC＋BD，

∴△CDF的周长为FA＋FB=14.D3.

(苏科九上练习改编)如图，△ABC为等边三角形，AB=5.(1)以点A为圆心，r为半径作圆.①若r=4，则点B与⊙A的位置关系是

，直线BC与⊙A的位置

关系是

⁠；点在圆外相离②若r=5，则点B与⊙A的位置关系是

，直线BC与⊙A的位置关系是

⁠；③若⊙A与直线BC相切，则r=

；点在圆上相交

(2)如图②，作△ABC的内切圆，圆心为点O，连接OB，OC，则∠BOC的

度数为

，点O到边BC的距离为

.120°

3.(苏科九上练习改编)如图，△ABC为等边三角形，AB=5.4.(苏科九上习题改编)如图，在△OAB中，OA=OB，以点O为圆心的⊙O

经过AB的中点C，求证：AB是⊙O的切线.证明：如图，连接OC，∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形，∵C是底边AB的中点，∴OC⊥AB.

∵OC是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线.5.(苏科九上习题改编)如图，在△ADC中，∠CAD=90°，∠ACD的平分

线交AD于点O，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，交AD于点B，求证：

CD是⊙O的切线.证明：如图，过点O作OE⊥CD于点E，∟E∴∠CAO=∠CEO=90°，∵CO平分∠ACD，∴OA=OE，∵OA为⊙O的半径，∴OE为⊙O的半径，∵OE⊥CD，∴CD为⊙O的切线.做完第4，5题，你能发现证明切线的方法都有哪些？列举出来.解：切点已知：连半径，证垂直；切点未知：作垂直，证半径题后反思综合题明考法与切线有关的证明及计算6.

如图，在△ABC中，∠A=90°，E是BC上(异于点B，C)的

一点，以BE为直径的⊙O交AC于点D，且BD平分∠ABC，连接DE.

(1)如图①，求证：∠ABD=∠CDE；图①证明：∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE=90°，∴∠ADB＋∠CDE=90°，∵∠A=90°，∴∠ABD＋∠ADB=90°，∴∠ABD=∠CDE；

图②解：如图，连接OD，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ODB，6.如图，在△ABC中，∠A=90°，E是BC上(异于点B，C)的一点，以BE为直径的⊙O交AC于点D，且BD平分∠ABC，连接DE.

∴OD∥AB，∴∠DOC=∠ABC=2∠ABD=60°，∠ODC=∠A=90°，∴∠C=30°，图②

∴在Rt△ODC中，OC=2OD=4；(3)如图③，过点E作EH⊥BC交AC于点H，求证：DH=EH；图③(3)证明：如图，连接OD，由(2)知∠ODC=90°，即DH⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DH是⊙O的切线，同理，∵HE⊥BC，∴HE是⊙O的切线，∴DH=EH；6.如图，在△ABC中，∠A=90°，E是BC上(异于点B，C)的一点，以BE为直径的⊙O交AC于点D，且BD平分∠ABC，连接DE.

(4)如图④，F为CD的中点，连接EF，若∠C=30°，求证：EF∥AB；图④(4)证明：如图，连接OD，由(2)得∠ODC=90°，∵∠C=30°，∴∠DOC=60°，∵OD=OE，∴△ODE为等边三角形，6.如图，在△ABC中，∠A=90°，E是BC上(异于点B，C)的一点，以BE为直径的⊙O交AC于点D，且BD平分∠ABC，连接DE.

∴∠ODE=60°，∴∠CDE=30°，∴∠CDE=∠C，∴CE=DE=OE，图④∴E是OC的中点，∵F是CD的中点，∴EF是△ODC的中位线，∴EF∥OD，由(2)知，OD∥AB，∴EF∥AB；(5)如图⑤，过点C作⊙O的切线交⊙O于点P，若CP∥BD，CE=2，求⊙O

的半径.图⑤(5)解：如图，连接OD，OP，由(2)得∠ODC=90°，∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线，∵CP和CD是⊙O的两条切线，∴CP=CD，∠DCE=∠PCE，6.如图，在△ABC中，∠A=90°，E是BC上(异于点B，C)的一点，以BE为直径的⊙O交AC于点D，且BD平分∠ABC，连接DE.

∵BD∥CP，∴∠PCE=∠DBC，∴∠DCE=∠DBC，∴CD=PC=BD，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE=90°，∴∠CDE=∠BDO=90°－∠ODE，在△DCE和△DBO中，

图⑤∴△DCE≌△DBO(ASA)，∴BO=CE=2，即⊙O的半径为2.江苏真题随堂练直线与圆的位置关系(3年2考)命题点11.(2023宿迁7题)在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距

离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是(

B

)A.2B.5C.6D.8B与切线有关的证明及计算(3年7考)命题点22.(2022连云港13题)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD.若∠AOD=82°，则∠C=

⁠°.493.(2022盐城13题)如图，AB，AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线

于点D，若∠BAD=35°，则∠C=

⁠°.35

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5.(2024淮安25题)如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作⊙O交AC

于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F.

(1)求证：DF为⊙O的切线；(1)证明：如解图，连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，∵BA=BC，∴D为AC的中点，∵O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，∴∠ODE=∠DEC，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°，∴DF⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DF为⊙O的切线；在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，DE⊥BC.

(2)若BE=1，BF=3，求sinC的值.

∵BA=BC，∴∠C=∠A，

6.(2024宿迁25题)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂

足为E，AB=20，CD=12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使

∠FCD=2∠B.

(1)求证：CF是⊙O的切线；(1)证明：如图，连接OC，则∠COE=2∠B，∵∠FCD=2∠B，∴∠FCD=∠COE，∵AB⊥CD，∴∠CEO=90°，∴∠COE＋∠OCE=90°，∴∠FCD＋∠OCE=90°，∴∠OCF=90°，即OC⊥CF，∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD，AB=20，CD=12，∠FCD=2∠B.

(2)求EF的长.(2)解：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，

∵∠OEC=∠CEF=90°，∠COE=∠FCE，∴△OCE∽△CFE，

7.(2024盐城23题)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线

l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC.

(1)求证：△ABC∽△ACD；(1)证明：如图，连接OC，∵l为⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴∠ADC=90°，AD∥OC，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠DAC=∠BAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ADC，∴△ABC∽△ACD；点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，AD⊥l.(2)若AC=5，CD=4，求⊙O的半径.(2)解：在Rt△ADC中，AC=5，CD=4，

由(1)得△A