第七单元 第29课时　尺规作图

第七单元图形的变化第29课时尺规作图章前复习思路平面图形立体图形全等变化图形的变化视图与投影图形的平移与旋转投影几何体的三视图立体图形的展开及还原图形的平移图形的旋转要素性质轴对称图形与中心对称图形轴对称与中心对称五种基本尺规作图尺规作图作图步骤图形的折叠图形的对称1教材基本作图回顾2江苏真题随堂练3分层作业本教材基本作图回顾例1作一条线段等于已知线段已知：线段a，求作：OA=a(根据作法使用直尺和圆规作图).作法：(1)作射线OP；(2)以点O为圆心，①

为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求作的

线段.

a圆上的点到圆心的距离

等于半径这种作一条线段等于已知线段的作图依据是②

⁠

⁠.

例2作一个角等于已知角已知：∠α，求作：∠AO′B=∠α(根据作法使用直尺和圆规作图).作法：(1)在∠α上以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q(点P在点Q下方)；(2)作射线O′A；(3)以点O′为圆心，①

长为半径作弧，交O′A于点M，可得

到O′M=OP；(4)以点M为圆心，②

长为半径作弧，与前弧相交于点N；(5)过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求作的角.

OP(或OQ)PQ请证明∠AO′B=∠α，并说明依据.解：证明：如解图，连接PQ，MN，根据作图痕迹可知，OQ=OP=O′N，

OP=O′M=MN，则△OPQ≌△O′MN(SSS)，即∠AO′B=∠α.依据：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等.解图题后反思已知两边及夹角，你都能作出什么图形呢？解：平行四边形.(作法不唯一)解图例3作已知角的平分线已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线(根据作法使用直尺和圆规作图).作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；(2)分别以点M，N为圆心，①______⁠的长为半径作弧，两弧

在∠AOB内相交于点P；(3)作射线OP，OP即为∠AOB的平分线.

(1)请填空并说明理由；

作图如解图所示：解图(2)证明∠BOP=∠AOP，并说明依据.解：证明：如解图，连接MP，NP，根据作图可知，OM=ON，MP=NP，

OP=OP，则△MOP≌△NOP(SSS)，可得∠BOP=∠AOP，即OP为∠AOB的平分线.依据：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等.解图例4作线段的垂直平分线已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线(根据作法使用直尺和圆规作图).作法：(1)分别以点A，B为圆心，①________的长为半径，在AB

两侧作弧，两弧交于M，N两点(点M在AB上方)；(2)连接两弧交点M，N所成直线l即为所求作的垂直平分线.

(1)请填空并说明理由；

作图如解图所示：解图(2)请证明直线l垂直平分线段AB，并说明依据.解：证明：如解图，连接AM，BM，AN，BN，根据作图得，AM=BM=AN=BN，∴点M，N均在线段AB的垂直平分线上，∴直线l垂直平分线段AB.

依据：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线.解图例5过直线上一点作已知直线的垂线已知：直线l及直线l上一点P，求作：直线PN，使得PN⊥l(根据作法使用直尺和圆规作图).作法：(1)以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，交直线l于点A和

点B，可得到PA=PB；(2)分别以点A，B为圆心，①________⁠长为半径在直线上方作

弧，两弧交于点N；(3)连接PN，则直线PN即为所求作的垂线.

(1)请填空并说明理由；

作图如解图所示：解图(2)请证明PN⊥AB，并说明依据.解：证明：如解图，连接AN，BN，根据作图得，AN=NB，AP=BP，∴△ANB为等腰三角形，且P为AB的中点，∴NP⊥AB.

依据：等腰三角形“三线合一”.解图题后反思已知两边，你能作出矩形吗？【题后反思】解图例6过直线外一点作已知直线的垂线已知：直线l及直线l外一点P，求作：直线PN，使得PN⊥l(根据作法使用直尺和圆规作图).作法：(1)在直线l另一侧取点M；(2)以点P为圆心，①

长为半径作弧，交直线l于点A和点B(点A在

点B左侧)；(3)分别以点A，B为圆心，②__________长为半径作弧，交点M同

侧于点N；(4)连接PN，则直线PN即为所求作的垂线.PM

(1)请填空并说明理由；

作图如解图所示：解图(2)请证明PN⊥AB，并说明依据.解：证明：如解图，连接AP，BP，AN，BN，根据作图可得，AP=BP，AN=BN，∴点P，N在线段AB的垂直平分线，∴PN⊥AB.

依据：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.解图例7

(2022课标新增)过直线外一点作已知直线的平行线已知：直线l及直线l外一点P.

求作：直线PQ，使得PQ∥l(根据作法使用直尺和圆规作图).作法：(1)在直线l上取一点A，作射线AP；(2)以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AP，l于点M，N；(3)以点P为圆心，①

长为半径作弧，交射线AP于点M′，

可得到AM=PM′；(4)以点M′为圆心，②

长为半径作弧，与前弧相交于点Q；(5)连接PQ，则直线PQ即为所求作的直线.AM(或AN)MN(1)请填空；(2)请证明PQ∥l，并说明依据.证明：如解图，连接MN，M′Q，根据作图痕迹可知，AM=AN，

AM=PM′，AN=PQ，MN=M′Q，则△AMN≌△PM′Q(SSS)，∴∠MAN=∠M′PQ，∴PQ∥l.依据：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；同位

角相等，两直线平行.解图题后反思你还可以用什么方法作平行线呢？解：利用三角形中位线的性质作图如解图所示.解图1.(2023常州7题)小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：画法图形1.以A为端点画一条射线；2.用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC，CD，

DE，连接BE；3.过点C，D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、

N，M、N就是线段AB的三等分点.

江苏真题随堂练根据作图痕迹进行相关判断与计算(3年1考)命题点1这一画图过程体现的数学依据是(

D

)A.两直线平行，同位角相等B.两条平行线之间的距离处处相等C.垂直于同一条直线的两条直线平行D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例D2.

如图，在△ABC中，D是AB的中点，按以下步骤作图：①以

点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为

圆心，AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，MN长为半径

作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E.

若AC=4，则DE的长为(

C

)A.1C.2C

10

D利用尺规作图进行相关证明与计算命题点2类型一五种基本作图(3年2考)5.(2023盐城21题)如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E.

(1)求证：AC=AD；

(2)用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F.

(不写作法，保留作

图痕迹)解：如解图，AF即为所求.(作法不唯一)解图5.(2023盐城21题)如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E.

类型二转化类作图(3年8考)6.(2024连云港20题)如图，AB与CD相交于点E，EC=ED，AC∥BD.

(1)求证：△AEC≌△BED；

(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点

N在BD上.(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)解：如解图所示，菱形DMCN即为所求.解图6.(2024连云港20题)如图，AB与CD相交于点E，EC=ED，AC∥BD.

(1)求出对角线BD的长；解：如图，连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，∟F∵∠A=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，

∴AF=DF=AD∙sin45°=3，∵AB=5，∴BF=AB－AF=5－3=2，

(2)尺．规．作．图．：将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折，使点B落在

CD边上的点E处，请作出折痕.(不写作法，保留作图痕迹)解：如解图②，直线AG即为所求作的折痕.解图②

8.(2023连云港24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边

AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.

(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；(不

写作法，保留作图痕迹，标明字母)解：如解图，直线BF即为所求作；(作法不唯一)解图(2)在(1)的条件下，求证：BD=BF.

证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CE∥AB，∴∠ABC=∠BCF，∴∠BCF=∠ACB，∵点D在以AB为直径的圆上，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，∵BF为⊙O的切线，∴∠ABF=90°，8.(2023连云港24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边

AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.

9.(2025宿迁24题)实验活动：仅用一把圆规作图.【任务阅读】如图①，仅用一把圆规在∠AOB内部画一点P，使点P在

∠AOB的平分线上.小明的作法如下：

理由：如图③，连接EP，FP，OP，由作图可知，OE=OF，PE=PF，又因为OP=OP，所以

⁠.所以