2025 八年级数学上册角平分线性质定理应用实例课件

一、定理回顾：从定义到性质的逻辑链演讲人CONTENTS定理回顾：从定义到性质的逻辑链基础应用：直接利用定理求距离或证明相等综合应用：与全等、轴对称、坐标系结合动态几何：在运动变化中把握定理本质总结与提升：从实例到思想的升华目录2025八年级数学上册角平分线性质定理应用实例课件各位同学、同仁，今天我们聚焦“角平分线性质定理”的应用实例展开探讨。作为平面几何的核心工具之一，这条定理不仅是八年级上册“三角形全等”“轴对称”章节的衔接桥梁，更是后续学习相似三角形、圆等内容的基础。在多年教学中，我常发现学生对定理文字表述耳熟能详，却在具体问题中“找不到应用场景”或“用错条件”。因此，本节课我们将通过典型实例，从基础应用到综合拓展，逐步拆解定理的使用逻辑，帮助大家建立“见角平分线，想距离相等”的几何直觉。01定理回顾：从定义到性质的逻辑链定理回顾：从定义到性质的逻辑链要灵活应用定理，首先需精准把握其内涵。我们先通过“定义—定理—符号语言”的三重维度，回顾角平分线的核心内容。1角平分线的定义角平分线是“从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线”。这一定义包含三个关键要素：起点：角的顶点；方向：将原角等分为两个角；形态：射线（非线段或直线）。例如，若∠AOB=60，OC为角平分线，则∠AOC=∠COB=30，OC的端点是O，向无限远延伸。2性质定理的文字与符号表述1角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。2这里的“距离”特指“垂线段的长度”，即从该点向角的两边作垂线，两条垂线段的长度相等。3符号语言可表述为（如图1-1）：4∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，5∴PD=PE。6（插入图1-1：角平分线OC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，标注PD=PE）3定理的逆向思考定理的逆命题同样成立（需证明）：到角两边距离相等的点在角的平分线上。这是角平分线判定定理，与性质定理共同构成“角平分线与距离相等”的充要条件。教学中我常提醒学生：性质定理是“已知平分，证距离相等”；判定定理是“已知距离相等，证平分”。二者结合，可解决“找角平分线”“证点在线上”等问题。02基础应用：直接利用定理求距离或证明相等基础应用：直接利用定理求距离或证明相等从最简单的场景入手，当题目中明确给出角平分线，且存在“点在角平分线上”“向两边作垂线”的条件时，可直接应用性质定理。1实例1：求点到边的距离题目：如图2-1，在△ABC中，∠C=90，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=3，AB=10，求点D到AB的距离。（插入图2-1：直角△ABC，∠C=90，AD为∠BAC平分线，CD=3，AB=10）分析：目标：求D到AB的距离，即作DE⊥AB于E，求DE的长度。条件：AD是角平分线，D在AD上（角平分线上的点），且DC⊥AC（∠C=90，即DC是D到AC的距离）。应用定理：角平分线上的点到两边距离相等，故DE=DC=3。易错点：部分同学可能混淆“D到AC的距离”与“AC的长度”，需明确“距离”是垂线段长度，此处DC恰好是垂线段（因∠C=90），无需额外作辅助线。2实例2：证明线段相等题目：如图2-2，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，G是BD上一点，GH⊥AB于H，GK⊥BC于K。求证：DE=DF，GH=GK。（插入图2-2：∠ABC被BD平分，DE⊥AB，DF⊥BC；G在BD上，GH⊥AB，GK⊥BC）证明思路：对D点：D在BD（角平分线）上，DE、DF分别是D到AB、BC的距离，由性质定理得DE=DF。对G点：G在BD上，GH、GK分别是G到AB、BC的距离，同理GH=GK。延伸思考：若题目进一步要求“比较DE与GH的大小”，需结合“角平分线上点的位置”分析——离顶点越远，到两边的距离越大（如D在BD上，G在D与B之间，则GH<DE）。这一结论可通过相似三角形或三角函数验证，为后续学习埋下伏笔。03综合应用：与全等、轴对称、坐标系结合综合应用：与全等、轴对称、坐标系结合角平分线性质定理很少单独考查，更多与全等三角形、轴对称变换、坐标系等知识融合，需综合运用几何思维。1与全等三角形结合：构造辅助线证全等题目：如图3-1，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D。求证：AB+BD=AC。（插入图3-1：△ABC，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，D在BC上）分析：目标：证明AB+BD=AC，通常需构造“线段和”或“截长补短”。关键：AD是角平分线，可利用角平分线性质构造全等三角形。证明步骤：在AC上截取AE=AB，连接DE（截长法）。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD。在△ABD和△AED中：1与全等三角形结合：构造辅助线证全等AB=AE（截取），∠BAD=∠EAD（角平分线），AD=AD（公共边），∴△ABD≌△AED（SAS）。∴BD=ED，∠B=∠AED（全等性质）。∵∠B=2∠C，∠AED=∠C+∠EDC（外角定理），∴2∠C=∠C+∠EDC⇒∠EDC=∠C⇒ED=EC（等角对等边）。∴BD=EC（由BD=ED，ED=EC），故AB+BD=AE+EC=AC。教学反思：此题的关键是利用角平分线构造全等，将AB“转移”到AC上，再通过角度关系证明BD=EC。学生常因想不到“截长补短”或忽略外角定理而卡壳，需强调“角平分线是构造全等的天然条件”。2与轴对称结合：利用对称性找最短路径题目：如图3-2，在锐角△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=80，BD平分∠ABC，P是BD上一动点，求AP+CP的最小值。（插入图3-2：等腰△ABC，AB=AC，BD为角平分线，P在BD上）分析：目标：AP+CP的最小值，需利用轴对称性质（最短路径问题）。关键：BD是角平分线，也是△ABC的对称轴吗？不，等腰△ABC的对称轴是底边BC的中垂线，但BD是角平分线，可尝试作点C关于BD的对称点。解题步骤：∵BD平分∠ABC，作点C关于BD的对称点C'（根据角平分线的对称性，C'必在AB上）。2与轴对称结合：利用对称性找最短路径由对称性知，PC=PC'，故AP+CP=AP+PC'≥AC'（两点之间线段最短）。1计算AC'的长度：2∵AB=AC=5，∠BAC=80，3∴∠ABC=∠ACB=(180-80)/2=50，4∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=25。5点C关于BD对称到C'，则∠C'BD=∠CBD=25，∠BC'P=∠BCP=50，6∴∠AC'B=180-∠ABC-∠BC'P=180-50-50=80，72与轴对称结合：利用对称性找最短路径∴△ABC'中，∠BAC'=80，∠AC'B=80，∴△ABC'为等腰三角形，BC'=AB=5？不，需重新计算。（此处可能需调整思路：更简单的方法是利用角平分线性质，结合等腰三角形三线合一。实际教学中，学生易混淆对称轴，需强调“角平分线的对称性”与“等腰三角形对称轴”的区别。）正确思路：因BD是角平分线，P在BD上，AP+CP的最小值可转化为点A到点C关于BD的对称点的距离。通过计算可得，当P为BD与AC'的交点时，AP+CP=AC'=ABcos(∠BAC/2)=5cos40≈3.83（具体数值需用三角函数，八年级可保留符号）。2与轴对称结合：利用对称性找最短路径总结：角平分线的对称性是解决最短路径问题的关键，需引导学生理解“对称点必在角的另一边”这一特性。3与坐标系结合：代数与几何的融合题目：如图3-3，在平面直角坐标系中，点A(0,4)，B(3,0)，OC平分∠AOB交AB于C，求点C的坐标。（插入图3-3：坐标系中，A在y轴，B在x轴，OC平分∠AOB，C在AB上）分析：目标：求C点坐标，需利用角平分线性质定理或角平分线定理（八年级可通过距离相等求解）。角平分线定理（选讲）：角平分线分对边成比例，即AC/CB=OA/OB=4/3（证明可通过面积法或相似三角形）。解法1（利用距离相等）：3与坐标系结合：代数与几何的融合设C(x,y)，在AB上，AB的直线方程为x/3+y/4=1，即4x+3y=12。OC平分∠AOB（x轴与y轴夹角90），故OC是y=x的角平分线？不，∠AOB=90，角平分线是y=x（当OA=OB时），但此处OA=4，OB=3，故角平分线不是y=x。正确方法：C在OC上，且OC平分∠AOB，故C到x轴和y轴的距离相等？不，角平分线性质定理是“到两边距离相等”，但OC是∠AOB的平分线，故C到OA（y轴）和OB（x轴）的距离相等，即C的横坐标x（到y轴的距离）等于纵坐标y（到x轴的距离），即x=y。联立方程：3与坐标系结合：代数与几何的融合x=y，1故C(12/7,12/7)。2解法2（角平分线定理）：3角平分线定理指出，OC平分∠AOB，则AC/CB=OA/OB=4/3。4AB的长度：√(3²+4²)=5，5设AC=4k，CB=3k，4k+3k=5⇒k=5/7，6故C点坐标可通过分点公式计算：7x=(3×4k+0×3k)/(4k+3k)=12k/7=12/7，8y=(0×4k+4×3k)/(4k+3k)=12k/7=12/7，94x+3y=12⇒7x=12⇒x=12/7，y=12/7，103与坐标系结合：代数与几何的融合结果一致。教学价值：此题将角平分线性质与坐标系结合，既巩固了“距离”的代数表示（点(x,y)到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x|），又引入角平分线定理（后续学习的重要工具），体现了几何与代数的融合。04动态几何：在运动变化中把握定理本质动态几何：在运动变化中把握定理本质动态问题中，角平分线的位置或点的位置可能变化，但“到两边距离相等”的本质不变。通过分析变量与不变量，可找到解题突破口。1实例：点在角平分线上移动时的距离关系题目：如图4-1，∠AOB=60，OC平分∠AOB，点P在OC上从O向无限远移动，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。（1）求证：PD=PE；（2）当OP=2时，求PD的长度；（3）若PD=√3，求OP的长度。（插入图4-1：∠AOB=60，OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB）解答：（1）由角平分线性质定理直接得PD=PE；（2）在Rt△OPD中，∠POD=30（OC平分60角），∴PD=OPsin30=2×1/2=1；1实例：点在角平分线上移动时的距离关系（3）同理，PD=OPsin30⇒OP=PD/sin30=√3/(1/2)=2√3。拓展：若∠AOB=α，OC平分∠AOB，P在OC上，OP=d，则PD=PE=dsin(α/2)。这一公式将角平分线性质与三角函数结合，体现了从特殊到一般的数学思想。2实例：角平分线与动点形成的面积问题题目：如图4-2，在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，点E在AD上运动（不与A、D重合），EF⊥AB于F，EG⊥AC于G。（1）求证：四边形AFEG是正方形；（2）设AE=x，求四边形AFEG的面积S与x的函数关系式。（插入图4-2：等腰直角△ABC，AD平分∠BAC，E在AD上，EF⊥AB，EG⊥AC）分析：2实例：角平分线与动点形成的面积问题∵AD平分∠BAC（90），故∠BAD=45，EF⊥AB，EG⊥AC，故∠AFE=∠AGE=90，由角平分线性质，EF=EG，又∠FAG=90，故四边形AFEG为矩形（三个直角），且邻边EF=EG，故为正方形。（1）证明正方形需证四边相等且有直角：1（2）面积S=EF²，需用x表示EF：在Rt△AFE中，∠FAE=45，故EF=AF=AEsin45=x√2/2，∴S=(x√2/2)²=x²/2。22实例：角平分线与动点形成的面积问题教学启示：动态问题中，角平分线性质提供了“距离相等”的不变量，结合角度关系（如45）可将变量（AE长度）与所求量（面积）关联，体现了“以不变应万变”的解题策略。05总结与提升：从实例到思想的升华总结与提升：从实例到思想的升华回顾本节课的实例，我们从基础应用到综合拓展，逐步深化了对角平分线性质定理的理解。定理的核心可概括为：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，这一“等距性”是解决几何问题的关键工具。1知识网络的构建角平分线性质定理连接了“角的相等”与“距离的相等”，是几何中“转化思想”的典型体现：1已知角平分线→转化为距离相等（性质定理）；2已知距离相等→转化为角平分线（判定定理）；