2025 八年级数学上册微专题轴对称中的折叠问题课件

一、开篇引入：从生活现象到数学本质的联结演讲人1.开篇引入：从生活现象到数学本质的联结2.折叠问题的核心本质与基础性质3.折叠问题的常见题型与解题策略4.折叠问题的易错点与突破策略5.拓展提升：折叠问题与数学思想的融合6.总结：从折叠到成长——数学思维的升华目录2025八年级数学上册微专题轴对称中的折叠问题课件01开篇引入：从生活现象到数学本质的联结开篇引入：从生活现象到数学本质的联结作为一线数学教师，我常在课堂上观察到一个有趣的现象：当我拿出一张A4纸对折时，学生们会不自觉地伸长脖子——折叠这个动作，既熟悉又充满未知的吸引力。这种吸引力，恰恰是数学与生活联结的纽带。八年级上册“轴对称”章节中，折叠问题正是这一纽带的典型载体。它不仅是轴对称性质的具象化应用，更是培养学生几何直观、逻辑推理与方程思想的重要素材。今天，我们就从“折叠”这一常见动作出发，深入探究其背后的数学规律。02折叠问题的核心本质与基础性质1折叠的数学定义：轴对称变换的动态呈现折叠问题的本质是轴对称变换。当我们将一个图形沿某条直线（折痕）折叠时，原图形与折叠后的图形关于这条直线成轴对称。这意味着：折叠前后的两个图形全等（对应边相等、对应角相等）；折痕是对应点连线的垂直平分线（即折痕上任意一点到对应两点的距离相等，且折痕与对应点连线垂直）；折叠过程中，图形的形状、大小不变，仅位置发生变化。我曾让学生用半透明纸进行“折叠实验”：在纸上画一个三角形，标出顶点A、B、C，沿某条直线l折叠后，观察对应点A'、B'、C'的位置。学生们直观地发现，折痕l不仅是AA'的中垂线，还让△ABC与△A'B'C'完全重合——这正是轴对称变换最生动的证明。2折叠问题的关键要素：“三组对应”与“一个核心”解决折叠问题的关键在于明确“三组对应”：对应点：原图形上的点与折叠后重合的点；对应边：原图形的边与折叠后重合的边；对应角：原图形的角与折叠后重合的角。而所有对应关系的核心，是折痕的双重身份——它既是对称轴，也是解题的“线索桥”。例如，若已知点A折叠后与点A'重合，则折痕必为AA'的中垂线；若边AB折叠后与边A'B'重合，则折痕是∠BAB'的角平分线（当AB=A'B'时）。03折叠问题的常见题型与解题策略1题型一：求折叠后的角度值典型特征：题目给出原图形的角度，折叠后部分角重叠或形成新角，需计算具体角度。解题关键：利用折叠前后角的相等性，结合平角、余角、补角或三角形内角和定理建立等式。例1：如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点C落在点C'处，若∠EFC=65，求∠BFC'的度数。分析：长方形中AD∥BC，故∠EFC=∠FED=65（内错角相等）；折叠后∠FEC'=∠FEC=180-∠EFC=115（平角定义）；∠BFC'=∠FEC'-∠EFC=115-65=50（三角形外角性质）。教学反思：学生易忽略“折叠后∠FEC'=∠FEC”这一关键相等关系，通过动画演示折叠过程，能帮助他们直观理解“角的重合即角度相等”。2题型二：求折叠后的线段长度典型特征：涉及边长的计算，常需结合勾股定理、方程思想。解题关键：设未知数表示折叠后重合的线段，利用“对应边相等”或“勾股定理”列方程求解。例2：在Rt△ABC中，∠B=90，AB=6，BC=8，将△ABC沿AC折叠，点B落在点B'处，求BB'的长度。分析：由勾股定理得AC=10；设BB'与AC交于点O，因折叠后AC是折痕，故AC垂直平分BB'（对称轴性质），即BO=B'O，且∠AOB=90；利用面积法：S△ABC=½×AB×BC=½×AC×BO，解得BO=4.8；2题型二：求折叠后的线段长度故BB'=2×BO=9.6。教学技巧：学生常疑惑“为何用面积法”，此时需强调“垂直平分”带来的直角三角形结构，以及“等面积”是联系已知边与未知高的桥梁。3题型三：判断折叠后的图形形状典型特征：折叠后形成新图形（如菱形、等腰三角形等），需证明其形状。解题关键：利用“对应边相等”证明邻边相等，或利用“对应角相等”证明角相等。例3：将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，若AB'与CD交于点E，求证：△AEC是等腰三角形。分析：折叠后∠BAC=∠B'AC（对应角相等）；平行四边形中AB∥CD，故∠BAC=∠ACD（内错角相等）；因此∠B'AC=∠ACD，即AE=CE（等角对等边），△AEC为等腰三角形。学生误区：部分学生误将“平行四边形对边相等”直接用于折叠后的边，需强调“折叠前后的对应边是原边与重合边，而非原图形的所有边”。4题型四：存在性折叠问题典型特征：给定条件，探究是否存在某条折痕满足特定要求（如折叠后顶点落在某边上）。解题关键：假设存在，通过逆向推导建立方程，判断是否有符合条件的解。例4：在正方形ABCD中，边长为4，E是AB中点，是否存在折痕MN，使点D折叠后落在E点处？若存在，求MN的长度。分析：假设存在折痕MN，D折叠后与E重合，则MN是DE的中垂线；计算DE的中点坐标（设A为原点，坐标(0,0)，则D(0,4)，E(2,0)，中点(1,2)）；DE的斜率为(0-4)/(2-0)=-2，故MN的斜率为½（垂直直线斜率乘积为-1）；4题型四：存在性折叠问题MN的方程为y-2=½(x-1)，与正方形边相交于M、N两点，计算得MN长度为√((4-(-2))²+(3-1)²)=2√10（具体坐标计算略）；因此存在这样的折痕，长度为2√10。教学价值：此类问题能综合训练学生的坐标系应用、垂直平分线性质及方程思想，是提升几何综合能力的关键。04折叠问题的易错点与突破策略1常见易错点归纳对应关系混淆：误将非对应边或角当作相等，如折叠后未重合的边被错误认为相等；计算错误：在勾股定理或方程求解中，因符号、平方运算失误导致结果错误；通过多年教学观察，学生在折叠问题中常犯以下错误：漏解情况：当折痕位置不确定时（如沿不同边折叠），未考虑多解可能性；图形想象不足：无法在脑海中构建折叠后的图形，依赖直观图但画图不规范。2针对性突破策略动手实验法：让学生用纸片实际折叠，标记对应点、边、角，增强直观感知；符号标注法：在图上用相同符号（如“△”“○”）标记对应边，用“∠1=∠2”标注对应角；分步分析法：将问题拆解为“找对应→列等式→求解”三步骤，避免跳跃思维；错题归类法：整理典型错题，分析错误原因（如“对应边找错”“漏看多解”），针对性强化训练。我曾让学生用“折叠错题本”记录每次练习中的错误，学期末统计发现，85%的学生通过这种方式减少了“对应关系混淆”的错误——这印证了“针对性策略”的有效性。05拓展提升：折叠问题与数学思想的融合1与方程思想的融合折叠问题中，求线段长度时，常需设未知数x表示某段长度，利用“对应边相等”或“勾股定理”建立方程。例如例2中，通过设BO=x，利用面积法建立方程，本质是将几何问题代数化，体现了“数形结合”的核心思想。2与动态几何的联系折叠问题可视为“静态图形→动态变换→新静态图形”的过程。若将折痕设为变量（如绕某点旋转），则折叠后的图形位置会随之变化，这为后续学习“函数与几何综合”（如折叠后顶点坐标随折痕角度变化的函数关系）奠定基础。3与实际生活的应用折叠问题并非仅存于数学题中，生活中处处可见其身影：折叠式餐桌：利用轴对称实现空间节省；折叠屏幕手机：折叠后屏幕的对称轴设计；地图折叠：通过多次轴对称变换缩小体积。引导学生观察这些实例，能让他们感受到“数学有用”，增强学习内驱力。010302040506总结：从折叠到成长——数学思维的升华总结：从折叠到成长——数学思维的升华回顾本专题，折叠问题的核心是轴对称变换的性质应用，关键在于抓住“对应点、对应边、对应角”的相等关系，结合勾股定理、方程思想等工具解决问题。它不仅是对“轴