2025 八年级数学上册习题课角平分线性质应用题课件

一、教学背景分析：从教材到学情的双向锚定演讲人01教学背景分析：从教材到学情的双向锚定02教学目标设定：三维目标下的能力培养03教学重难点突破：从“知其然”到“知其所以用”04教学过程设计：从“学定理”到“用定理”的阶梯式推进05课后作业：分层巩固与实践探究（弹性设计）06结语：从“解题”到“用数学”的教育追求目录2025八年级数学上册习题课角平分线性质应用题课件01教学背景分析：从教材到学情的双向锚定教学背景分析：从教材到学情的双向锚定作为人教版八年级上册第十二章“全等三角形”的重要延伸内容，“角平分线的性质”既是对全等三角形判定与性质的实践应用，也是后续学习轴对称、三角形内心等知识的基础工具。在多年的教学实践中我发现，这一章节的习题课往往是学生从“理解定理”到“活用定理”的关键转折点——许多学生能熟练背诵“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，但面对实际问题时却常因“找不到距离”“不会构造模型”而卡壳。因此，本节课的设计需紧扣“应用”二字，通过真实情境、分层练习与思维建模，帮助学生实现“知识-方法-能力”的进阶。02教学目标设定：三维目标下的能力培养知识目标精准复述角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）与判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），明确定理中“距离”的几何意义（垂线段长度）。掌握角平分线性质在几何证明、计算及实际问题中的三类典型应用场景：直接求线段长度、证明线段相等、解决选址类实际问题。能力目标通过“读题-画图-标注-建模”四步分析法，提升将实际问题抽象为几何模型的能力。经历“单一条件应用→多条件综合应用→开放情境探究”的练习过程，发展逻辑推理的严谨性与灵活性。情感目标结合校园规划、工程测量等实际情境，感受几何知识与生活的紧密联系，激发“用数学眼光观察世界”的兴趣。通过小组合作解决复杂问题，培养互助学习的意识与攻克难题的信心——我曾在往届课堂中看到，当学生用角平分线性质解决“校园喷泉选址”问题时，眼中闪烁的成就感正是数学教育最动人的瞬间。03教学重难点突破：从“知其然”到“知其所以用”教学重点：角平分线性质的三类应用场景直接求距离：已知角平分线及某点在角平分线上，利用“距离相等”求未知垂线段长度。01关键思路：过D作DE⊥AB于E，由角平分线性质得DE=DC=3，面积=½×AB×DE=15。03例2：如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，G在BD上，GH⊥AB于H，GK⊥BC于K。求证：GH=GK。05例1：如图，在△ABC中，∠C=90，AD平分∠BAC交BC于D，若DC=3，AB=10，求△ABD的面积。02证明线段相等：需证明两条线段为某角两边的垂线段，且对应点在角平分线上。04关键思路：由BD是角平分线，DE=DF（性质）；G在BD上，故GH=GK（性质）。06教学重点：角平分线性质的三类应用场景实际选址问题：利用“到两边距离相等”确定角平分线，解决“建公共设施”“找最短路径”等问题。例3：某小区有两条夹角为60的道路OA、OB，现需建一座垃圾站，要求到两条道路的距离相等且离路口O不超过50米。请在图中画出垃圾站的可能位置。关键思路：垃圾站需在∠AOB的平分线上，且位于以O为圆心、50米为半径的圆内（或圆上）。教学难点：实际问题中“距离”的识别与模型构建学生常见误区：1误将“斜线段长度”当作“距离”（如把点到直线的斜线长等同于垂线段长）；2不会主动作辅助线（如需要证明点在角平分线上时，忘记作两边的垂线段）；3复杂图形中找不到“目标角”（如多个角平分线共存时，混淆对应关系）。4突破策略：5“三步确认法”强化“距离”概念：6第一步：明确“点”与“角”的对应关系（哪个点？哪个角的两边？）；7第二步：过该点向角的两边作垂线（用虚线标出，强调“垂线段”）；8第三步：根据角平分线性质或判定，建立两条垂线段的数量关系（相等或由相等推点在平分9教学难点：实际问题中“距离”的识别与模型构建线上）。“情境拆解法”应对实际问题：以“校园图书馆选址”问题为例：学校有两块相邻的矩形绿化带，边界形成∠AOB，现需在∠AOB内部建图书馆，要求到两边绿化带的距离相等且靠近主路（主路经过点P）。如何确定最佳位置？拆解步骤：抽象模型：将绿化带边界视为OA、OB两边，图书馆位置为点Q；应用性质：Q在∠AOB的平分线上（到两边距离相等）；结合条件：Q需靠近主路P，即PQ最短，因此Q为角平分线与直线OP的交点（或根据实际限制调整）。04教学过程设计：从“学定理”到“用定理”的阶梯式推进情境导入：从生活问题引发认知需求（5分钟）展示一张校园平面图：“同学们，学校计划在教学楼前的三角空地（∠AOB）建一座共享书吧，要求书吧到两边人行道（OA、OB）的距离相等，同时为了方便管理，书吧需距离保安室C（在∠AOB内部）不超过10米。请你帮忙设计可能的位置。”学生观察后提问：“要满足‘到两边距离相等’，书吧的位置有什么特征？”引导学生回忆角平分线性质，自然引出课题。知识回顾：双定理的再理解（8分钟）性质定理：文字表述：角平分线上的点到角两边的距离相等。符号语言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE。强调“三个条件”：OC是角平分线；PD、PE是垂线段；结论是PD=PE。判定定理：文字表述：到角两边距离相等的点在角的平分线上。符号语言：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上。对比辨析：性质定理是“已知平分，证距离相等”；判定定理是“已知距离相等，证点在平分线上”——这是一对互逆定理，应用时需注意条件与结论的对应。例题精讲：从单一应用到综合建模（20分钟）基础应用：直接求距离（例1）题目：如图，在△ABC中，∠C=90，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，求DE的长。分析步骤：学生独立思考：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC（隐含条件，因∠C=90），故DE=DC（性质）。设DC=x，则DE=x，BD=BC-DC=8-x。在Rt△BDE中，BE=AB-AC=√(6²+8²)-6=10-6=4（勾股定理求AB=10）。由勾股定理：DE²+BE²=BD²→x²+4²=(8-x)²→解得x=3，故DE=3。例题精讲：从单一应用到综合建模（20分钟）基础应用：直接求距离（例1）教师总结：本题关键是识别“DC与DE均为角平分线上点D到两边的距离”，利用性质将未知线段转化为已知线段。例题精讲：从单一应用到综合建模（20分钟）综合应用：证明线段相等（例2）题目：如图，△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：BE=CF。分析步骤：学生小组讨论：需证BE=CF，可转化为AB-AE=AC-AF。由∠B=∠C得AB=AC（等角对等边），故只需证AE=AF。由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，得DE=DF（性质），且△AED≌△AFD（AAS），故AE=AF。教师追问：若去掉“∠B=∠C”，结论是否成立？引导学生思考：此时AB≠AC，但BE=CF仍可通过“AB-AE=AC-AF”结合AE=AF证明，与AB、AC长度无关。例题精讲：从单一应用到综合建模（20分钟）实际应用：选址问题（例3）题目：某镇有两条交叉的公路（夹角为α），计划在两条公路之间建一个快递驿站，要求到两条公路的距离相等，且到镇中心广场P的距离最短。请用尺规作图确定驿站位置。分析步骤：建模：两条公路视为∠AOB，驿站为点Q，需满足：①Q在∠AOB的平分线上（到两边距离相等）；②PQ最短（点到直线的垂线段最短，但Q需在平分线上，故PQ为点P到角平分线的垂线段？或Q为角平分线与直线OP的交点？）学生作图：先作∠AOB的平分线OC，再连接OP，若OP与OC相交于Q，则Q为所求（此时PQ为OP的一部分）；若需PQ最短，则Q应为点P到OC的垂足——需结合实际情境判断“最短”的定义（直线距离最短还是路径最短）。教师总结：实际问题中需明确“最短”的具体含义，本题默认直线距离最短，故Q为OC上离P最近的点，即PQ⊥OC时的垂足。分层练习：巩固提升与思维拓展（12分钟）基础题（全体学生）题目：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，若PA=3，∠APB=60，求OP的长。设计意图：强化“距离相等”的直接应用，结合特殊角（60）考查三角函数或等边三角形性质。分层练习：巩固提升与思维拓展（12分钟）提高题（中等生）题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，F在BC上且DF=DA。求证：CF=EA。设计意图：综合角平分线性质、全等三角形判定（HL或AAS），培养逻辑推理的连贯性。分层练习：巩固提升与思维拓展（12分钟）拓展题（学优生）题目：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点F。求证：点F在∠BAC的平分线上。设计意图：应用角平分线判定定理（到两边距离相等的点在平分线上），涉及外角平分线与内角平分线的关系，提升逆向思维能力。课堂小结：知识网络与思维方法的双总结（5分钟）知识梳理：1角平分线性质的核心：“点在平分线上→距离相等”；判定的核心：“距离相等→点在平分线上”。2应用场景：求距离、证相等、解选址。3思维方法：4遇到“距离相等”想角平分线，遇到“角平分线”想作垂线段；5实际问题需先抽象几何模型，明确“点”“角”“距离”的对应关系；6复杂问题用“拆解法”，将大问题分解为已知定理可解决的小问题。705课后作业：分层巩固与实践探究（弹性设计）基础巩固（必做）完成教材P52习题12.3第3、5题（直接应用性质求距离与证明线段相等）。能力提升（选做）某村庄有两条成75角的河流，计划在两河之间建一座水泵站，要求到两河的距离均为50米。请用尺规作图确定所有可能的位置，并说明理由。实践探究（兴趣作业）测量校园中一个角（如教学楼墙角）的度数，设计一个“到两边距离相等的点”的位置方案（可拍照记录并标注