第四单元 微专题　手拉手模型

第四单元三角形微专题手拉手模型模型特点共顶点的两个非等腰三角形旋转证明过程①先确定共顶点；②再根据顶角找一对角相等；③再找等角的两边对应成比例结论两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(即

△ABD∽△ACE)图示

一阶

认识模型图示

变式共顶点的两个等腰三角形(AD=AE，AB=AC)绕顶角旋转

后，连接对应点构成的两个三角形全等(即△ABD≌△ACE)几何画板动态演示温馨提示：点击查看原文件例1如图①，在Rt△ABC中，AB=BC，D，E分别是边AB，AC上的

点，连接DE，DE=AD，将△ADE绕点A逆时针旋转到图②位置，连接

BD，CE，求证：△ABD∽△ACE.

题后反思将例1中的条件进行调整使得△BAD≌△BCE成立，请你完整描述出调整

后题目.解：【题后反思】如解图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，D，E分别是边AB，BC上的点，BD=BE，将△BDE绕点B逆时针旋转到解图②的位置，连接AD，CE，求证：△BAD≌△BCE.

解图情形作辅助线思路对应图示已知共顶点的相似三角形补拉手线

已知等腰直角三角形构造三角形

二阶

构建模型

解：如图，连接BD，由旋转的性质，得AB=AB′，在正方形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD，设∠BAB′=α，

∵DE⊥BB′，∴△DEB′是等腰直角三角形，∠EDB′=∠EB′D=45°，

∵AD=AB′，

∵∠EDB′=∠CDB=45°，∴∠EDB′－∠B′DC=∠CDB－∠B′DC，即∠B′DB=∠EDC，∴△B′DB∽△EDC，

∵四边形ABCD是正方形，

例3

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥AD，连接DC.

当点D在AC右侧时，求∠ADC的度数.作法提示：辅助线作法1—延长AD到点P，使得AP=BD，连接CP…辅助线作法2—过点C作CD的垂线，交AD的延长线于点P…根据提示，作出每一种辅助线，并选择其中一种完成解答.一题多解法解：辅助线作法1，如解图①：解图①选辅助线作法1，如解图①，记AC，BD的交点为O.

∵∠ACB=90°，∴∠DBC＋∠BOC=90°，∵BD⊥AD，∴∠PAC＋∠AOD=90°，∵∠BOC=∠AOD，∴∠PAC=∠DBC，∵AP=BD，AC=BC，∴△APC≌△BDC(SAS)，∴CP=CD，∠ACP=∠BCD，∴∠ACD＋∠PCD=∠ACD＋∠ACB，∴∠PCD=∠ACB=90°，∴△PCD是等腰直角三角形，∴∠CDP=45°，∴∠ADC=135°.解图①解法二：辅助线作法2，如解图②：解图②选辅助线作法2，如解图②，记AC，BD的交点为O.

∵∠ACB=90°，BD⊥AD，∴∠DBC＋∠BOC=90°，∠PAC＋∠AOD=90°，∵∠BOC=∠AOD，∴∠PAC=∠DBC，∵∠ACB=∠PCD=90°，∴∠ACB＋∠ACD=∠PCD＋∠ACD，∴∠ACP=∠BCD，∵AC=BC，∠PAC=∠DBC，∴△APC≌△BDC(ASA)，∴CP=CD，∴△PCD是等腰直角三角形，∴∠CDP=45°，∴∠ADC=135°.解图②三阶

应用模型1.如图，△ABD与△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，

C为DB上一点，连接BE.

已知CB=5，DC=12，则CE的长为

⁠.13

解图

解图

第2题解图解图

【探索发现】(1)如图①，AD平分∠BAC，DE与AB交于点F，连接MF，则线段MF

的长为

⁠；

【拓展迁移】(2)如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转，N为线段DE的中点，连接

MN，CD.

①试猜想线段MN与CD的数量关系并证明；

证明：如图，连接BE，

∴AD=15，∵AD=AE，DE=18，BC=30，

∴△ADE∽△ACB，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAB=∠DAC，∴△AEB≌△ADC(SAS)，∴BE=CD.

∵M是BD的中点，N是DE的中点，∴MN是△BDE的中位线，

②求线段MN的取值范围.(2)如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转，N为线段DE的中点，连接

MN，CD.

∴要求MN的取值范围，只需求出CD的取值范