高考数学专项练习重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）（含答案及解析）

重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）

❶【目录】

5种解题模型

一、一元二次型不等式恒成立问题

二、一元二次型不等式能成立问题

三、基本不等式中“1”的妙用

四、利用基本不等式求参数范围

五、作差法比较大小

5种数学思想

一、函数与方程思想

二、数形结合思想

三、分类与整合思想

四、转化与划归思想

五、特殊与一般思想

出一、真题多维细目表

考题考点考向

2022新高考2,第12题基本不等式利用基本不等式求最值

2020新高考1,第11题不等式的概念和性质比较大小

偏二、命题规律与备考策略

本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考杳集合间的关系与运算、函数的定义

域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选

择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三

角函数、数列等知识综合掌握。

出三、题型解题技巧

1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的

主要步骤为作差——变形——判断正负.

2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值脸证两种方法，特别是对于有一定

条件限制的选择题，用特殊值睑证的方法更简单.

3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常

用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好

利用均值不等式的切入点.

4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，

例如：[”"JW幺芋早比>0）等，同时还要注意不等式成立的

条件和等号成立的条件.

5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把4Vo的情况转化为〃>（）时

的清形.

6.在解决不等式or2I以+c>0（或。0）对于一切入-UR恒成立问题时，当二次项系数含有字号时，

需要对二次项系数。进行讨论，并研究当。=0时是否满足题意.

7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在

区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.

出四、题型方法

5种解题模型

一、一元二次型不等式恒成立问题

一、单选题

1.（2023•福建•统考模拟预测）已知〃:Vxw[l,5],9-4.1+。-2>0恒成立，则〃的一个充分不必要条件是

（）

2

A.B.a>36C.2“>64D.log2a>3

二、多选题

2.（2023•广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知〃：VxeR,f一心+1>0恒成立；4：

Vx>0,1+色>2恒成立.则（）

x

A.“。<2〃是〃的充分不必要条件B.2”是〃的必要不充分条件

C.>2〃是4的充分不必要条件D."a>2〃是。的必要不充分条件

三、填空题

3.（2023・全国•高三专题练习）设对一切实数x,不等式f]（^%!!2+2.（^,乌+]08，丝!”>0恒成

a4+14cr

立，则。的取值范围为.

4.（2023•广西•统考模拟预测）若不等式以2对⑼恒成立，则〃的取值范围是

5.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=2\xeR,若不等式尸（幻+/（幻-m>0在R上恒成立，则

实数m的取值范围是.

四、双空题

6.（2023•云南•高三校联考阶段练习）螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是"旋卷"或"缠卷"，平面螺

旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所示.如图乙所示阴影部分也是一个美丽的

螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABC。的边长为4,取正方形4BCD各边的四等分点E,F、

G,〃，作第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFG”各边的四等分点M,MP,Q,作第3个正方形

MNPQ,依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形48CO的边长为卬，后续各正方

形的边长依次为小，田，…，耳，…；如图乙阴影部分，直角三角形AE”的面积为4,后续各直角三角形的面

积依次为A砥…也，…,则/也=_：记数列也｝的前〃项和为S”，若对于2S：TS“+120恒成立，则2

的最大值为.

图⑴图⑵

五、解答题

7.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/。）=£-（a+2）x+4（4eR）.若对任意的x«0,4],

/（耳+4+120恒成立，求实数。的取值范围.

二、一元二次型不等式能成立问题

一、单选题

q：存在xwR,文2+4〃吠+1<0成立.

⑴若命题4为假命题，求实数，〃的取值范围；

⑵若命题〃和q有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.

三、基本不等式中“1”的妙用

一、单选题

1.已知点41,4）在直线:+q=l（D））上，若关于，的不等式〃+/后/+5/+3恒成立，则实数，的取

值范围为（）

A.[-6,1]B.[-1,6]

C.（-CO,-1]<J[6,-KX>）D.（--6]D[L）

2.已知正实数八点M（l,4）在直线上，则。+〃的最小值为（）

A.4B.6C.9D.12

9?

3.已知正实数。，b,满足a+方2丁+1，则a+b的最小值为（）

2ah

A.5B.-C.5&D.述

22

4.已知a>l,b>\,a%=[（x）,则log。10+310gz,10的最小值为（）

A.4B.6C.8D.12

二、多选题

5.已知直线>,=T+〃与曲线），一？1一4〃+1相切，则（）

114

A."的最大值为二B.一+工的最小值为25

32ab

C.庐万的最小值为孚D.6+2G的最大值为2

6.直角三角形4BC中，P是斜边8C上一点，且满足即=2斤，点M，N在过点2的直线上，若

AM=mAI3,AN=nAC,(m>0,n>0),则卜列结论正确的是()

A.1±2为常数B.，小〃的值可以为：加=1；,〃=S：

mn22

C.〃?+2〃的最小值为3D.乎”的最小值为《

\AHC9

三、填空题

7.在△A8C中，已知4月.念=9，sinB=cosAsinC,S^ABC=6,P为线段八8上的点，且

KCAC834x

,i同+，悯，则丁豆的最小值为.

8.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,N8AC=120。且贴AC的平分线交8c于。，若

4。=1,则力+4c的最小值为.

9.正数。，》满足々+4〃-3他=0,若不等式/一4/〃＜。+〃恒成立，则实数阳的取值范围.

四、解答题

10.已知函数〃x)=k+3|+k-2|.

⑴求小等式/(X)”的解集;

(2)设"x)的最小值为加，若正数小〃满足，+)=机，求a+好的最小值.

ab

四、利用基本不等式求参数范围

一、单选题

1（2。23・广东湛江•统考二模）当％.），«。什）时，宏黑芋寸恒成立,则，〃的取值范围是

)

(99

A.(25,+x)B.(26,-KC)u匕，-K©D.(27—)

二、多选题

2.（2023•全国•模拟预测）己知。>0,/>0,2。+）=2,则下列结论正确的是（）

A.一一2Z?>0B.ab<—c.4a2+b2>4D.-+-^8

a2ab

三、填空题

x

3.（2023・全国•模拟预测）已知函数为偶函数，g（x）为奇函数,f（x）+g（x）=2ef若不等式

[/（.叫2+3加心3+2尸-1]恒成立，则实数〃?的最大值为.

4.（2023•天津和平•统考二模）设x,ywR,a>\,b>\若优="'=3,3a+/?=18,则一+一的最大值为

fxy

5.（2023春•福建•高三校联考阶段练习）己知若不等式sin2x-/siifxq恒成立，则实数f的最

小值为______

四、双空题

6.（2023•辽宁锦州•统考二模）在AOAB中，0A=A8=4./OA8=I20,，若空间点P满足S△叽:，

则OP的最小值为:直线OP与平面OAB所成角的正切的最大值是.

五、解答题

7.（2023春•山东•高一滨州一中校联考期中）记△A8C的内角A,B,7的对边分别为a,b,c,且

I-t/sirL4=cos2A.

⑴求“8c外接圆的周长；

（2）若A〉^,a=6求面积的最大值.

五、作差法比较大小

一、单选题

1.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测）已知,<：<0,则下列不等式不一定成立的是（）

ab

ba八

A.a>bB.—+—>2

ab

C.a-->h-\D.logf）（-a）N。

ab

2

2.（2023•山东青岛・统考模拟预测）已知x=l呜2,y=log43,z=f2¥,则八>、z的大小关系为

（）

A.x>y>zB.y>x>zc.z>y>xD.y>z>x

3.（2023•吉林•统考三模）已知:<，<0,则下列不等式不一定成立的是（）

ha

A.a<bB.—+—>2C.a--<b--D.ln（/?-fl）>0

abab

二、多选题

4.（2023•广东惠州•统考一模）若6"=2,6"=3,则（）

b.,I

A.—>1B.cib<—

a4

C.a1+b2<-D.b-a>-

25

5.（2023春・江苏南京•高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知。，b,c团R,则下列结论正确的是

（）

A.若ac?>be2,则B.若则/>ab

C.若c>a>b>（）,则a<°D.若jlpja-

c-ac-bba

6.（2023・吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测）id（log2fl+log/?）-（log2Z?+log5Z?）<log：6,且

a>b>0,则下列不等式成立的有（）

A.a>2bB.—C.4"+二>4D.4Z,+—>2

a-hb2bT

三、解答题

「3、

7.（2020秋•河北•高三统考学业考试）已知函数〃同=加+（/_1卜一〃在区间£+8上是增函数.

4

⑴求实数”的取值范围：

⑵设i2,试比较/叫A/）与/俏产）的大小.

8.（2023・全国•高三专题练习）已知实系数多项式0（x）=or1苏+以+4有三个正根，且0（0）<0.求证:

2by+9a2d-7abc<0.

5种数学思想

一、函数与方程思想

一、解答题

1.（2022秋•河北唐山・高三开滦第一中学校考阶段练习）由中国发起成立的全球能源互联网发展合作组织

在京举办研讨会.会议发布了中国2030年前碳达峰、2060年前碳中和、2030年能源电力发展规划及2060

年展望等研究成果，在国内首次提出通过建设中国能源互联网实现碳减排目标的系统方案.为积极响应国

家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场调查分析，全年需投入固定成本2500

10X2+800X,0<V<40

万元，每生产工（百辆）新能源汽车，需另投入成本C"）万元，且C（x）=42500，由

I50IX+------12400x240

x

市场调研知，每辆车售价15万元，且生产的车辆当年能全部销售完.

⑴请写出利润乙（"（万元）关于年产最x（百辆）的函数关系式.（利润=收入一成本）

⑵当年产量为多少百辆时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.

2.（2022秋♦河南信阳•高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）设/（耳=三』（常数awR）,且已知

.1

x=l是方程"x）+X=。的根.

⑴求。的值；

⑵设常数ZwR,解关于X的不等式：kxf（x）<（k+\）x-2k-\.

3.（2022秋・江西九江•高一瑞昌市第一中学校考阶段练习）已知x+2y=5.

⑴若大、）*（0,小），求，〃=岁的最大值；

⑵若X、）目一5,2],求〃=/+）3的取值范围.

4.（2022・全国•高三专题练习）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用、生产过

程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与

产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产xQeN+）件产品的总费用为y元.当x=60

时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.

⑴求），关于入•的函数解析式：

（2）试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？

二、数形结合思想

一、单选题

1.（2023秋•山东枣庄•高三统考期末）已知集合4=卜£1<,-263<0},则满足B白A的非空集合4的

个数为（）

A.3B.4C.7D.8

2.（2022秋•安徽滁州•高三校考期中）无字证明是指利用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，

由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，观察此图象，同学们能

无字证明的结论是（）

A.a2+b2>a+hB.4ab>a2+b2

C.a+b>2x[abD.a2+b'lab

二、填空题

3.（2023•高三课时练习）不等式-2/+3%-]之0的解集为.

3V+4

4.（2023・全国•高三对口高考）己知集合2={1-->4k则2=________.

x-2

5.（2022秋•陕西渭南•高二统考期末）若关于x的不等式/+丘+1<。的解集为空集，则实数2的取值范围

为•

三、解答题

6.（2021秋•广西桂林•高二校考期中）求下列不等式的解集:

2

(1)—X"+3x+2<6x—2；(2)(2X+1)(X-3)>3(X+2)

三、分类与整合思想

一、单选题

1.（2023・安徽淮北•高三校考开学考试）集合4rxM20rB二卜向+1V0},若A=4=则实数a

的取值范围是（）

A.-X--<%<1►B.{x|x<-lngx>（）}

C.x--<x<\D.{x-gwxWO或0<xvl}

33

二、解答题

2.（2023・全国•高三专题练习）解下列关于x的不等式♦+（〃+2卜+1>0（"0）.

3.（2023・全国•高三专题练习）解下列关于x的不等式（x-2）（x-a）V0

4.（2022秋•福建福州•高三校联考期中）已知集合〃二卜k2-51+4工0},函数〃耳=2丁-仆+8.

⑴求关于工的不等式〃工）2片+8的解集；

⑵若命题“存在使得/（%）W0"为假命题，求实数。的取值范围.

四、转化与划归思想

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）已知〃，"R,//+g3=2,则下列中正确的是（）

A.p+q<2B.p+q>2

C.〃+442D.〃+q>2

2.（2023春・河南•高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数4人>0,若。+处=1,则当+二的最小值为

bah

()

A.12B.2x/3C.66D.8

3.（2023•全国•高三专题练习）设。，bwR,则“"1或底2〃是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

二、填空题

4.（2023・全国•高三专题练习）设a>力“且。+/?+c=1,/+从+c?=1,贝I」a+匕的范围为

5.（2023・高三课时练习）已知关于x的不等式加-版+c>0的解集是卜应一|）52，+8），则关于x的不

等式ax2+bx+c<0的解集为.

三、解答题

6.（四川省资阳市2023届高考适应性考试数学（理科）试题）三知。>0,h>0,且a+/?=2.

（1）求c?+b'的最小值；

⑵证明：+2V2.

7.（2023・全国•高三专题练习）在数列｛qj中，4=6，%=兽虫”22）,求数列的通项公式，并计算

।一an-\

4++・・・+6/1997.

8.（2023・全国•高三专题练习）设正实数人b、c满足：abc=l,求证：对于整数攵22,有

----------1-----------1----------

a+bb+cc+a

五、特殊与一般思想

一、单选题

1.（2022秋•河南焦作・高三统考期中）如图，面点师傅把一个面团搓成1.6米长的圆柱形面棍，对折1次

后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到3根面条，如果连续对折2次后重新拉长，从中间切一刀，则可

以得到5根面条，以此类推，若连续对折8次后重新拉长到1.6米，从中间切一刀，弯折处的长度忽略不

计，则可得到长度为1.6米的面条的根数为（）

对折次数图形

A.256B.255C.127D.126

2.(2022•黑龙江哈尔滨•哈九中校考模拟预测)观察下列等式，F=]2,『+23=32,r+23+33=6,

13+23+33+43=102,l3+23+33+43+53+63+-+n3=()

n+n+2nn4+2/"+ir

4

n4一/+2n2n-2n+n

3.（2022・全国•高三专题练习）观察按下列顺序排列的等式:9x0+l=l,9x1+2=11,9x2+3=21,9x3+4=31,

L.猜想第〃（〃团N+）个等式应为（）

A.9(n+l)+〃=10〃+9B.9(n—1)+〃=10〃-9

C.9〃+(〃-1)=10”—9D.9(〃一1)+(w-1)=10/7-10

二、填空题

4.(2023春•江苏南通•高一海安高级中学校考阶段练习)设/(a)=sinK。+cos'a,xe{H〃=2&,ZeN+},利

用三角变换，估计/(a)在*=2,4,6时的取值情况，猜想对x取一般值时/(a)的取值范围是.

5.(2022.全国•高三专题练习)观察等式：唱+同=1；/(扑同+/图=*

电卜同+小卜岭也卜尼卜店"卧甫内一由以上几个等式的规律可

12320^0

猜想f(——)++/(^―)4--./(^^)=

2021202120212021------------------

三、解答题

6.(2022・全国•高三专题练习)已知某数列的第一项为1,并且对所有的自然数应2,数列的前〃项之积为

“2.

(1)写出这个数列的前5项；

(2)写出这个数列的通项公式并加以证明.

重难点02不等式（5种解题模型5种数学

思想）

【目录】

5种解题模型

一、一元二次型不等式恒成立问题

二、一元二次型不等式能成立问题

三、基本不等式中“1”的妙用

四、利用基本不等式求参数范围

五、作差法比较大小

5种数学思想

一、函数与方程思想

二、数形结合思想

三、分类与整合思想

四、转化与划归思想

五、特殊与一般思想

出一、真题多维细目表

考题考点考向

2022新高考2,第12题基本不等式利用基本不等式求最值

2020新高考1,第11题不等式的概念和性质比较大小

出二、命题规律与备考策略

本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运

算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等;或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。

考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质

内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。

出三、题型解题技巧

1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法

之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.

2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值脸证两种方法，特别

是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.

3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的

放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不

等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.

4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公

式的逆用等，例如：曲《空）1苧，山区幸W心孚30">。）等，

同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.

5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把6/<0的情况

转化为。>0时的情形.

6.在解决不等式0「+瓜+。>0（或20）对于一切R恒成立问题时，当二次项系

数含有字母时，需要对二次项系教〃进行讨论，并研究当〃=0时是否满足题意.

7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利

用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处

理，一般后者比较简单.

国四、题型方法

5种解题模型

一、一元二次型不等式恒成立问题

一、单选题

1.（2023•福建•统考模拟预测）已知P：Dx曰L5],工2一4工+4一2〉0恒成立，则〃的一个充

分不必要条件是（）

A.a>\B.">36C.2">64D.log2«>3

【答案】D

【分析】先通过选项求出是什么条件，选出符合题目要求的充分不必要条件即可.

【详解】Vxe=1.5»x2-4x+a-2>0=>a>-x2+4x+2>得a>6,A是〃的必要不充分

条件，B是〃的必要不充分条件，C：2“>64。〃>6是〃的充要条件，D：

log，。>3=。>8是〃的充分不必要条件.

故选：D.

二、多选题

2.（2023•广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知〃：VveR,/一公+1>0恒

成立;（I：V.r>0,1+且>2恒成立.则（）

X

A."a<2〃是〃的充分不必要条件B.<2"是〃的必要不充分条件

C."a>2”是。的充分不必要条件D.2”是4的必要不充分条件

【答案】BC

【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数4的取值范围，结合充分必要条件即

可得答案.

【详解】已知〃：VxeR,f_奴+1>（）恒成'Z,则方程x2-ar+l=0无实根，

所以△=片-4<0恒成立，即故"a<2〃是〃的必要不充分条件，故A错误，B

正确；

又g：Vx>0,x+9>2恒成立，所以〃>一%2+2x在x>0时恒成立，

x

乂困数），=一/+21=一（工一1）2+1的最大值为k1,

所以々>1,故“a>2”是4的充分不必要条件，故C正确，D错误.

故选：BC.

三、填空题

3.（2023・全国•高三专题练习）设对一切实数x,不等式

flog,竺*+2xlog,互+log,@或>0恒成立，则〃的取值范围为________.

aa-\4a~

【答案】（0,1）

【分析】不妨设1。4々=t，将不等式等价转化为（3T）x2+2lx-2t>0对一切实数工恒成

a+1

立，然后利用一元二次不等式恒成立列出不等式组，解之即可求解.

【详解】不妨设1。&含=t,则/eR,则

,4（a+1）,8（a+l）,,a+I,,2a,

log-------log,——=3+log,--=3-log,=3-1,

2a.2a.2aa+1

即log?=logzlff=21og2[j]=-2t,

Q4；a?2a2a

所以，原不等式可化为（37）x2+2lx-2l>0,它对一切实数工恒成立，

所以卜4入3—8Z/>（30_）<。,解得U/）<或33所以…，即噫含2分<。，则。<言2QT<|，解

得0<a<1.

故答案为：（0,1）.

4.(2023•广西•统考模拟预测)若不等式公2>工2一1_]对X《Y),O)恒成立，则。的取值范

围是•

【答案】

4

【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出，的

取值范围.

【详解】由不等式仪2>幺7_]对X«YO,0)恒成立，

可转化为上口对/«YO,0)恒成立，即

x~

当％=-2时，一(，+:)2+:有最大值。，所以4>二，

x2444

故答案为：

4

5.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(X)=2\X€R,若不等式/2*)+/(X)T〃>0在

R上恒成立，则实数m的取值范围是.

【答案】(一8,0].

【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可

得答案.

【详解】令/(%)=t(t>0),，⑺=/+//>0.

因为“S=«+一;在区间(0,+00)上是增函数，

所以“(f)>”(0)=0.

因此要使产+/>〃7在区间3+00)上恒成立，应有〃240,即所求实数〃?的取值范围为

(YO,0].

故答案为:(-00,0].

四、双空题

6.(2023•云南•高三校联考阶段练习)螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或

"缠卷"，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所示.如图

乙所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形A4c。的边

长为4,取正方形A8CQ各边的四等分点E,F、G,H,作第2个正方形EFGH,然后再

取正方形EFG”各边的四等分点M,N,P,Q,作第3个正方形MN尸Q,依此方法一直继

续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形A8CQ的边长为卬，后续各正方形的边长

依次为小，％，…，％，…；如图乙阴影部分，直角三角形AE”的面积为々，后续各直角三角

形的面积依次为4也，…也.…，则的也=一:记数列也｝的前〃项和为S“，若对于

2S：—/IS”+1N()恒成立，则％的最大值为.

图(1)图⑵

【答案】生/1"11/32

'口弟」25672563/F

【分析】先求正方形边长的规律，再求三角形面积的规律，就可以求出数列｛/｝,｛〃,｝的通

项公式，从而就可以求出S”的表达式，再用参数分离求丸的最大值即可.

【详解】由题意，由外到内依次各正方形的边长分别为%的，/，…，耳，则

于是数列也｝是以4为首项，巫为公比的等比数列，则%=4.

4

q-sa

由题意可得：山.=3：惬,2如9,即4=丁4~也2二1……,<y.—

"4

3

所以Q4S“<4,

8

2G+I

由2S：—/IS”+120恒成立得4«二^一

所以当Sg|,4）时），=2（S”++J单调递增，所以），叫，争,

所以4的最大值为学，

37511

故答案为：发；T

【点睛】关键点点睛：本题关键是求出数列{q},{4}的通项公式，先写出数列的前几项,

通过找规律发现递推关系从而得到通项公式.

五、解答题

7.（2023・全国•向三专题练习〉已知函数/（耳二』一（。+2A十4（aeR）.若对任意的

XG[0,4],外力+。+整0恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】[-5,4]

【分析】首先不等式变形为。-21+5恒成立，讨论x的取值，利用参变分离，结

合基本不等式，转化为求函数最值问题.

【详解】团对任意的xe[0,4],〃刈+。+120恒成立，.•./一（。+2）工+5+。之0恒成立，

即矶x-l）Wf-2x+5恒成立.当x=l时，不等式为0K4恒成立；当xw（l,4]时，

v2_ov544

67<-ZA+-=x-14--,vl<x<4,/.0<x-l<3,/.X-1+--^4,当且仅当

x-1x-1x-\

4

X-I=——时，即x-l=2,x=3时取”=〃..\a<4.

x-1

当1中⑼时，^^^7-1+六=-(17+2).

4

0O<x<l,/.0<l-x<l.令/=l-x,则，回函数1y=-/+-

增,

团当，=1一工=1,即x=0时，函数y取到最大值—5,「.a2—5.

综上所述，。的取值范围是卜5,4].

二、一元二次型不等式能成立问题

一、单选题

1.(2023•全国•模拟预测)已知/(x)=sinmGcos[-sin；]+"若存在兀，使不

2\2272o

等式,(毛)金〃2-3〃?_；有解，则实数机的取值范围为()

A.[0,3]B.(f0]U[3,同

A)

C.■?3D.(-oo,0]u

【答案】B

【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数

在区间上成立问题，求出最值，解不等式即可.

YX.X]\_

【详解】“、)=加5——sm—+

22)2

X.X.X1

=>/3sin—cos——sin-sin—+—

22222

(1-cosx)1

——sinx-+2

2

^sinx4cosx

22

兀..兀

=cos—sinx+sin—cosx

66

.(小

=sinx+-,

I6广

若存在七£q,兀，使不等式/(Xo)K>-3/〃-；有解，

则问题转化为在％w!，江上>-3〃?一:之[/(.%)].

62」、,」1111n

因为B"."工五，所以

6366

所以一:W/(Xo)Wl,

所以"/-3/n-->--=nr-3tn之0,

22

解得：〃?23或〃?W0

即实数，〃的取值范围为：(f,0]U[3,+8),

故选：B.

2.(2023•河南安阳•统考二模)已知集合4={x|-2VxW0},

1

43<O

e-

.VR,4,则An”（）.

A.[1,2）B.[-2,-1]C.[-2,1）D.[-2,-1）

【答案】D

【分析】由题得△>（）,解出〃的范围，再根据交集含义即可得到答案.

【详解】因为主eR,x2-cuc+-<0

4f

所以所以或av-l,

所以B={a|或。<一1：,，

所以Ac8=[—2,—1）.

故选：D.

3.（2023・四川德阳•统考模拟预测）己知〃：0W〃W2,小任意xcR,i-奴+1之0,则〃

是q成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式恒成立解得必0<6/<4,结合充分、必要条件的概念即可

求解.

【详解】命题上一元二次不等式如2-如+1?0对一切实数x都成立，

当4=0时，1>0,符合题意；

a>0a>0

当"0时，有，”,即2/i，解为4（0,4],

[A<0

同心0<a<4,又〃：0<a<2,

设4=[0,2],8=[0,4],则A是"的真子集，

所以〃是4成立的充分非必要条件，

故选：A.

4.（2023春,安徽亳州•高三校考阶段练习）已知命题"抽«-15，-4+3.%+。>0〃为真命

题,则实数。的取值范围是（）

A.（-co,-2）B.（-oo,4）C.（-2,-KO）D.（4,+o>）

【答案】C

【分析】由题知毛目-1』时，.,，再根据二次函数求最值即可得答案.

【详解】解：因为命题“玉。一片+3面+。>0〃为真命题，

所以，命题"“）e[-1,1],a>X；-3%"为真命题，

所以，9e[-U]时,«>(xo-3xo)njn

（o

因为，y=x2-3x=x-———，

I2）4

所以，当xW—1,1］时，yniin=-2,当且仅当x=l时取得等号.

所以，天闫时，-3%%=-2,即实数。的取值范围是（-2,*o）

故选：C

二、双空题

5.（2023・陕西榆林•统考三模）若不等式加_6K+3>0对xwR恒成立，则〃的取值范围是

9

__________，«+—；的最小值为__________.

a-\

【答案】（3,母）7

【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得々>3,再利用基本不等式，即可求解.

【详解】当。=0时，不等式-6x+3>0对xwR不恒成立，不符合题意（舍去）；

当。工0时，要使得以2-61+3>0对xwR恒成立，

d>0

则满足As口八，解得〃>3,所以实数。的取值范围为（3,+8）.

因为々>3,可得。一3>0,所以1+2=々-1+2+122囱+1=7,

a-\a-1

9

当且仅当a=4时，等号成立，所以a+二的最小值为7.

a-1

故答案为：（3,y）；7.

三、填空题

6.（2022秋•江苏南通•高三统考阶段练习）若关于x的不等式x+a,,0在区间［0,2］上有

解，则实数。的取值范围是.

【答案】（-8,5

【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到〃工「三，求出告在给定区间的最大

X-+1X-+1

值，进而可求出结果.

【详解】因为工£［0,2］,所以由冰2-彳+440得aW号，

因为关于x的不等式ar?-工+a«0在区间［0.2］上有解，

所以只需。小于等于告的最大值，

x+1

当x=0时，——二0,

x+1

2

当工工0时，x+lx+l_2FT2,当且仅当工二，时等号成立，即当且仅当x=l时

取等号，故一工的最大值为《，所以〃“工，

x2+\22

即实数。的取值范围是(-co.1］.

故答案为：