B样条曲线的研究及应用

B样条曲线的研究及应用摘要：B样条曲线是指在数学的子学科数值分析里的一种特殊表示形式，它由Bezier曲线衍生而来，是B-样条基曲线的线性结点合。相较于Bezier曲线整体控制性较差的弊端，B样条曲线更易于局部修改，是一种低阶次曲线，计算使用上更加方便。B样条曲线涉及的分类以及算法多种多样，为了更好地开发B样条曲线的应用价值和推广价值，本文拟研究带形状参数的均匀B样条曲线曲面以及它适用的范围和条件，在MATLAB软件编程辅助下利用该方法进行绘图，改变参数观察图像的变化。预期MATLAB编程计算研究对带形状参数的均匀B样条曲线进行理论分析，为B样条方法的使用起到指导性的意义。关键词：B样条曲线；曲线插值；曲线拟合；MATLAB软件目录TOC\o"1-3"\h\u1前言 错误!未定义书签。1.1课题研究背景………………错误!未定义书签。1.2B样条研究的历史………………………31.3发展现状…………………32B样条曲线的介绍2.1.Bezier曲线的定义与性质 错误!未定义书签。2.2B样条基函数的定义与性质 错误!未定义书签。2.3B样条曲线的定义及性质 错误!未定义书签。3B样条曲线类型的划分 …………错误!未定义书签。4带形状参数的B样条曲线及其应用…………………164.1带形状参数的B样条曲线………………………174.2带形状参数均匀B样条曲线………………………错误!未定义书签。4.3带形状参数均匀B样条曲线………………错误!未定义书签。4.4带形状参数的B样条曲面…………错误!未定义书签。4.5扩展曲线的应用………………………错误!未定义书签。5总结…………………18参考文献………………19致谢………………………19附录………………………201前言 1.1课题研究背景样条在实际的社会实践中，是一根极具有弹性和柔韧性的木棍或者塑料棒。很久以前，航空业务、船舶业务方面和汽车的制造行业一直运用的是纯手工来绘制的自由曲线。为了使曲线通过每一个给定的型值点，绘制曲线的人员必须要使用压铁来将样条住，然后相应地去对压铁进行调整，使样条形态达到改变的要求。这种方法工作量较大，并且不方便修改。为了解决这种操作量过大并且不太灵活的问题，计算机辅助设计与制造（CAD/CAM）应运而生。即就是把经过了计算机辅助程序设计出来的产品，并且可以直接在由计算机来进行控制的生产车间里生产出来成型产品的软件被称为CAD/CAM。在设计方案的过程中，一般情况下，所有的方案都必须进行严密的计算和详细的比较，求得一个最优解；在电脑的内存或者外存盘都存放着各种各样的设计所需要的信息，比如，数字信息，文字信息，图形信息等；最繁琐的工作是将草图转化为工作图，现在这个工作可以交给计算机，而设计师只需要进行草图的设计；计算机的使用可以方便对图形的各项操作和数据的加工工作。 样条指的是经过一些特定的值点所构成的曲线的柔韧带，这种方式所绘制的曲线被称作样条曲线。这种曲线在它的连接处具有连续的倒数，数学方面对这曲线的描绘一般用分段的三次多项式。还有这样定义，将多项式函数所生成的曲线段进行连接所得到的曲线称之为样条曲线，而且在每一段的边界位置都会满足一些必须的条件。互相进行正交的样条曲线也可以对样条曲线进行描述。在CAD方面，样条的应用比如有：飞机的舱体和外表面设计。样条可以对某一种具有连续阶的参数的曲线进行简单的构造，但是它的具体形状不太好，因为它不具有自由度去对曲线的局部形状来进行调整。 贝塞尔方法是由雷诺公司的成员Bézier所提出的，目的是为了定义一个可以由多边形来进行曲线定义的新方法。大概的过程是：首先在草图上或者模型上获得数据，利用数据绘出曲线图，将贝塞尔曲线所控制得多边个控制顶点的坐标值进行标注，为了达到目的，可以对多边形的各个顶点进行控制，并且继续将它输入计算机中来完成交互设计，最后再用机器对曲线进行描绘。这种方法对形状的控制问题有着比较好的解决办法，使设计方法迈出了关键的一步，Bézier曲线在得到相应的曲线方面是运用了对多边形进行控制的方法，但是还有一些缺点，例局部修改性，不管曲线中的哪一个点做出改变，那么相应的对曲线都会产生一定的影响。随着相应的的多边形的总边数的增加，曲线所对应的次数太高，导致了控制整条曲线的能力都被减弱。在19世纪，Riesenfeld等人发现了一种新的曲线：就是Bernstein基函数被B–样条基函数所代替之后会得到的一个曲线被命名为B–样条曲线，它对Bezier本身存在的缺陷进行了改良，并且包含了Bezier具有的所有优点，对曲线有关局部修改的方面有很好的帮助。1.2B样条研究的历史CAGD中曲线曲线最常用的工具之一是b样条[1]。考虑到b样条的许多优良性质，本文采用b样条方法来表示插值曲线。 美国的Ferguson找到了一种用参数的向量函数来表示曲线和曲面的方法。他使用的第一个参数曲线是由Ferguson的双三次曲面贴片生成的三次曲线。然后，根据三次曲线中研究和所使用到的参数描述了一种形状数学的标准形式。1964年，库恩斯发表了一种描述一般表面的方法。三年后，他推广了这种方法。在实际应用中，最常用的是库恩描述，弗格森描述。最大的区别是只有对角线上的点在这里被扭曲，一个使用零向量另一个使用非零向量。 1964年，Schoenberg于1964年提出了样条函数，但缺乏整体调整的自由，局部形状无法调整[2]。1971年，贝塞尔发现可以通过控制多边形来定义一条曲线，这就是Bezier曲线[1]。通过对基于贝齐尔表示的深入研究，对控制顶点定义的常用Bernstein基表达式进行了重写[1]。贝塞尔法简便易行，但在局部修正中仍存在一些问题。贝塞尔发现可以通过控制多边形来确定一条曲线，为了解决这些不足，deBoor和Cox在1972年使用递归定义来总结点b样条的标准算法，即deBoor-Cox递归公式[1]。两年后，美国的Gordon和Lissenfeld通过对b样条曲线的理解，他对连接问题进行了解决，Ziel法的切割优势几乎总是被b样条法继承，b样条法具有良好的连接和控制问题。解决相应的更重要的技术是节点插入。Boone和Cohen在1980年都发现了节点插入技术。森林和地块都发现了提升技术。以上研究成果主要针对非有理曲线和曲面。1975年，Fospri提出了一种有理b样条曲线来精确表示二次曲线。在此基础上，主要通过Piegl、Tiller和Farlin对其进行改良。1980年，曲面采用统一标准的数学表示方法，即NURBS法。1.3发展现状在经过长期的发展之后，CAD学科已经很广泛的在应用了，而研究重点就是被人们认为是发展前景极大地B样条。在以往的自由曲面研究过程中具有很大历史性的进程，Bezier方法是在工程应用中使用比较多的，因为它定义曲线只需要控制网格就可以，而且想改变形状的话，可以通过修改顶点的位置来完成，而且形状的改变是可以进行预测的，充分的克服了形状的修改问题。同年，De－Boor公布了针对B样条的标准算法。在这基础上，戈登及李森菲尔德提出了在形状的描述上进行应用，不在保证参数连接性完好的情况下实现对形状的局部修改。从这以后，B样条的整套的研究理论框架逐步形成。福斯普利尔在非均匀B样条上应用了B样条来进行研究。经过很多人的分析与研究以后，曲线以及曲面的非均匀有理B样条在1991年被评为国际标准，用途是定义很多工业产品的形状，被CAD/CAM软件操作系统进行应用开发，通过在全球范围内工业进行生产应用，曲线造型技术快速的走向成熟。尽管自由曲线有很多的研究方法，但目前看来不管用哪种方法，该技术研究的重点都在于如何建立数学模型，在允许的公差范围内，构造能够替代原模型的新模型。2B样条曲线的介绍2.1Bezier曲线的定义和性质给定空间中的个点，控制点，由这些控制点定义的贝塞尔曲线是其中系数定义如下：因此，对应于贝塞尔曲线上的的点是所有控制点的“加权”平均值，其中权重是系数。以此顺序连接的线段形成控制折线。许多作者更喜欢将此控制折线称为控制多边形。函数，，被称为贝塞尔基函数或

伯恩斯坦多项式。请注意，的域是[0,1]。因此，所有基函数都是非负的。在上面，由于和都可以为零，和也是如此，我们采用0

0为1

的约定。下面显示由11个控制点定义的Bézier曲线，其中蓝点是曲线上的一个点，对应于

=0.4。如图所示，曲线或多或少遵循折线。性质1.由个控制点定义的Bézier曲线的度数是：

在每个基函数中，的指数是。因此，曲线的程度是。2.通过和：

如上图所示。曲线通过第一个和最后一个控制点。请用一些简单的代数操作来验证这一点。3.非消极性：

所有基函数都是非负的。我们之前已提到这一点。4.Unity的分区：

固定的基函数之和为1.不难确定基函数是表达式的二项式展开中的系数。因此，他们的总和就是一个。此外，由于它们是非负的，我们得出结点论，任何基函数的值都在0和1的范围内。5.凸壳属性：

这意味着由给定的个控制点定义的Bézier曲线

完全位于给定控制点的凸包中。一组点的凸包是包含所有点的最小凸集。在下图中，11个控制点的凸包以灰色显示。请注意，并非所有控制点都位于凸包的边界上。例如，控制点3,4,5,6,8和9位于内部。除前两个端点外，曲线完全位于凸包中。此属性很重要，因为我们保证生成的曲线将位于可理解且可计算的区域中，并且不会超出它。变化减少属性：

如果曲线在平面中，这意味着

没有直线与Bézier曲线相交的次数多于它与曲线的控制折线相交的次数。仿射不变性：

如果将仿射变换应用于贝塞尔曲线，则可以从其控制点的仿射图像构造结点果。这是一个不错的酒店。当我们想要将几何或甚至仿射变换应用于Bézier曲线时，该属性表明我们可以将变换应用于控制点，这非常容易，并且一旦获得变换的控制点，变换的Bézier曲线就是定义的曲线。通过这些新点。因此，我们不必改变曲线。2.2B样条基函数的定义与性质Bézier基函数用作权重。B样条基函数将以相同的方式使用;但是，它们要复杂得多。有两个有趣的属性不是Bézier基函数的一部分，即：（1）域被节点细分，（2）基函数在整个定义区间内并不是非零。实际上，每个B样条基函数在几个相邻的子区间上都是非零的，因此，B样条基函数非常“局部”。设是一组个非递减数，

。所述的被称为结点点，该组的节点矢量和半开区间的个结点跨度。请注意，由于一些的可能是平等的，有些结点跨度可能不存在。如果一个结点看来

时间，其中，是多个结点的多个，写为

。否则，如果只出现一次，那么它就只是一个简单的结点点。如果结点间距相等（即，是的常数-1），结点矢量或结点序列都被当做均匀;否则，它是不均匀的。结点可以被认为是将区间

细分为结点跨度的分割点。所有B样条基函数都应该在上有它们的域。在本文中，我们经常使用

和

，因为这里的定义域是闭区间[0,1]。要定义B样条基函数，我们需要一个参数，这些基函数的度数的第个B样条基函数，写为，它的递归定义如下：以上通常称为

Cox-deBoor递归公式这组基函数具有以下属性，其中许多属于贝塞尔基函数。是度在多项式非负性-对于所有，和，是非负的支持-是

上的非零多项式。在任何跨度上，至多度基函数是非零的。Unity的划分-

span

上所有非零度基函数的总和为1如果结点的数量是，则基函数的度数是，并且度数基函数的数量是，则。

基函数是次多项式的复合曲线，在

的节点处具有连接点。在多重的结点处，基函数

是

连续的。

因此，增加多样性会降低连续性，而增加程度会增加连续性。前面所说的二次基函数在结点2和3处是连续的，因为它们是属于简单的结点点（=1）。2.3B样条曲线的定义及性质给定个控制点和一个结点矢量由这些定义的度的B样条曲线控制点和结点矢量是其中是度的B样条基函数。B样条曲线的形式与Bézier曲线的形式非常相似。与Bézier曲线不同，B样条曲线涉及更多信息，即：一组个控制点，节的结点矢量和度。注意，，必须满足.更确切地说，如果我们想要定义具有个控制点的度的B样条曲线，我们必须提供节。另一方面，如果给出节的结点矢量和个控制点，则B样条曲线的度数为.曲线上对应于结点的点。因此，结点点将B样条曲线划分为曲线段，每个曲线段在结点跨度上定义。我们将证明这些曲线段都是Bézier度曲线在曲线细分页面上。尽管看起来像

，B样条基函数的程度是输入，而Bézier基函数的程度取决于控制点的数量。要更改B样条曲线的形状，可以修改这些控制参数中的一个或多个：控制点的位置，结点的位置和曲线的程度。如果结点矢量没有任何特定结点构，则生成的曲线将不会触及控制折线的第一个和最后一个，如下图左图所示。这种类型的B样条曲线称为开放的B样条曲线。我们可能想要将曲线钳位，使其分别与第一个和最后一个控制点的第一个和最后一个边相切，如Bézier曲线所做的那样。为此，第一个结点点和最后一个点结点必须具有多重。这将产生所谓的夹紧B样条曲线。见下图中间的图。通过重复一些结点和控制点，生成的曲线可以是闭合的一。在这种情况下，生成的曲线的开始和结点束连接在一起形成一个闭环，如右图所示。性质：B样条曲线与Bézier曲线共享许多重要属性，因为前者是后者的推广。此外，B样条曲线比Bézier曲线具有更多所需的特性。下面的列表显示了B样条曲线的一些最重要的属性。在下文中，我们假设度的B样条曲线由个控制点和结点矢量定义，第一个和最后一个节“被钳制”。1.B样条曲线是分段曲线，每个分量是度数的曲线。如前面所述，可视为每个结点跨度上定义的曲线段的并集。在下图中，在n=10，m=14和p=3的情况下，前四个节点和最后四个节点被夹紧，并且7个内部节点均匀间隔。有八个结点跨度，每个结点对应一个曲线段。在下图中，这些结点点显示为三角形。这个不错的属性允许我们用低次多项式设计复杂的形状。例如，下图右侧显示了具有相同控制点集的Bézier曲线。即使它的度数是10，它仍然不能很好地遵循控制折线！通常，程度越低，B样条曲线越接近其对照折线。下面的图都使用相同的控制折线，并且结点被夹紧并均匀间隔。第一个数字为7度，中间数字为5度，右侧数字为3度。因此，随着度数减小，生成的B样条曲线移近其控制折线。2.必须满足等式。

由于每个控制点需要基函数，并且基函数的数量满足。3.夹紧的B样条曲线通过两个末端控制点和

。

注意，基函数是控制点的系数，并且在上不为零。由于对于钳位B样条曲线，，因此

为零，只有为非零。因此，如果，则为1并且。类似的讨论可以显示。4.强凸壳特性：B样条曲线包含在其控制折线的凸包中。更具体地，如果

在结点跨度中，则在控制点

的凸包中

。

如果处于结点跨度，则只有基函数在该结点跨度上非零。由于是控制点的系数，因此只有控制点具有非零系数。由于在这个结点跨度上基函数是非零且总和为1，它们的“加权”平均值必须位于由控制点

定义的凸包中。虽然仍然位于由所有控制点定义的凸包中

，但它位于更小的一个中。上述两个B样条曲线具有11个的控制点（即，

=10），3度（即，）和15节与前四个和最后四个结点夹紧。因此，结点跨度的数量等于曲线段的数量。结点矢量是左图具有在结点跨度=[0.12,0.25）和相应的点（即

）在所述第二曲线段。因此，存在的基函数上这个结点跨度非零和相应的控制点是。阴影区域是由这四个点定义的凸包。很明显，位于这个凸包中。右图中的B样条曲线以相同的方式定义。但是，在=[0.75,0.87]，非零基函数和

。相应的控制点是。因此，当从0移动到1并且越过结点时，基函数变为零并且新的非零基函数变得有效。结点果，系数变为零的一个控制点将留下当前凸包的定义，并被系数变为非零的新控制点替换。局部修改方案：

改变控制点的位置仅影响区间

上的曲线

。

这是B样条基函数的另一个重要特性。回想一下在区间上是非零的。如果你不在这个区间，

对计算没有影响，因为为零。另一方面，如果在指示的间隔中，则不为零。如果改变其位置，则改变

，从而改变。上述B样条曲线的定义与前一个凸包示例中的参数相同。我们打算移动控制点。该控制点的系数是，该系数非零的区间是。由于，只有三个段对应于（第一曲线片段的域），（第二曲线片段的域）和（第三曲线片段的域）将受到影响。右图显示了将移动到右下角的结点果。如您所见，只有第一，第二和第三曲线段改变了它们的形状，所有剩余的曲线段保持原始位置而没有任何变化。6.变差缩减性：

变化减少财产也适用于B样条曲线。如果曲线在一个平面（相应的空间）中，这意味着没有直线（相应的，平面）与B样条曲线相交的次数多于它与曲线的控制折线相交的次数。在上图中，蓝线与控制折线和B样条曲线相交6次，而黄线也与控制折线和B样条曲线相交5次。但是，橙色线与控制折线相交6次，曲线相交4次7.Bézier曲线是B样条曲线的特例。

如果（即，B样条曲线的等级等于，控制点的数量减去1），并且有个结点，它们的每一端夹紧，这个B样条曲线减小到Bézier曲线。8仿射不变性

仿射不变性属性也适用于B样条曲线。如果将仿射变换应用于B样条曲线，则可以从其控制点的仿射图像构造结点果。这是一个不错的酒店。当我们想要将几何或甚至仿射变换应用于B样条曲线时，该属性表明我们可以将变换应用于控制点，这很容易，并且一旦获得变换的控制点，就可以得到变换的B样条曲线。是由这些新点定义的那个。因此，我们不必改变曲线。3B样条曲线类型的划分

假定控制多边形的顶点为,阶数为(次数为)，则节点矢量是。B样条曲线的类型可以根据节点的分布情况划分为以下四种：

（1）均匀B样条曲线节点矢量中的区间长度全部为常数，节点到节点之间的距离是相等的并且都沿参数轴分散。B样条基就是通过这些节点矢量来确定的。（2）准均匀B样条曲线显而易见，在准均匀B样条曲线中两端节点出现的次数（即重复度）是不同于均匀B样条曲线的。准均匀B样条基是通过这些节点矢量来确定的。以致于准均匀B样条曲线具有均匀的B样条曲线所没有的几何特性（贝塞尔曲线所具有的）。例如:

（3）分段贝塞尔曲线两端节点在节点矢量中具有重复度，所有内节点重复度为,分段的Bernstein基是通过这些节点矢量来决定的。分段贝塞尔曲线被用来表示B样条曲线之后，每一条曲线段之间都是毫无关联的，尽管对其中的一个节点进行移动控制，也不会对其它曲线段的形状产生影响。例如:

（4）非均匀贝塞尔曲线

可以选择任意分布的节点向量，，只要它们在数学上满足条件（节点序列保持不变或者递增，两端节点以及内部节点的可重复性）。非均匀B样条基是通过这些节点矢量来定义的。例如：

4带形状参数的B样条曲线曲面及应用由Bernstein基函数构造的贝塞尔曲线因为其结点构比较简单，成为在计算机几何设计中重要的工具之一。在确定了控制点后，也就顺便对Bézier曲线进行了确定;如果要对曲线形状进行修改，我们就需要调整其他控制顶点。随着工业的发展，其要求也越来越高，这样的方式已经达不到设计要求了，如果对一个点进行改动，则改变的是曲线的整体形状。因此很多专家教授开始对带参数Bézier曲线进行研究[34,43]，可以在不改动控制点的情况下，修改其中的参数，达到修改形状的目的，但是这样还是缺乏灵活性，对一些特殊曲线无法进行描绘。B样条曲线充实了来研究几何造型的研究工具，然而它自身同样具有极大地缺点，就是在统一条件下，不带参数的B样条曲线和带形状参数的B样条曲线相比较起来，表现力相差甚远[3]。4.1带形状参数B样条曲线第一步需要介绍的是带参数的二次B样条曲线定义性质，在本篇文章中被称为三阶B样条曲线。4.1.1B样条曲线的定义我们将关于的多项式称为带参数的三次基函数；我们将关于的多项式称为带参数i的四次基函数，两个多项式中。上面的式子（4.1）、（4.2）的具有以下性质：性质1.性质2.非负性对于有这里满足。说明：直接计算就可以验证性质1，n次多项式的性质（非负充分性）可以表示性质2[3]。二次、三次基函数的扩展都属于二次均匀B样条基函数，因为当为0时，三次就可以变成二次B样条的基函数。对于给定的控制顶点，当时对于已经给定的多项式曲线，我们将它称之为是三阶样条曲线4.1.2三阶样条曲线的性质性质1.当时，那么曲线则是连续的，特别地，当时，那么曲线达到连续。性质2.当时，那么曲线则是连续的，特别地，当时，那么曲线达到连续。对于一般的n次调配基函数这种情况文献[3]也已经给出，并且用n次调配基函数定义出了与之相对应的曲线形式，并且三次和四次的数值例子都是利用构造的曲线给出的，这里就不再做过多阐述。4.2带形状参数均匀B样条曲线通常将是定义在区间上阶带形状参数均匀B样条的空间，可以设很明显可以看到是空间上的一组基，故可以利用函数将上的曲线表示成（3.6）这里是控制顶点。和均匀B样条曲线相似，带形状参数的均匀B样条曲线也具有以下几点性质。性质1.凸包性定义在上的一段曲线位于个控制顶点构成的凸包内。性质2.几何不变性无论坐标的值为多少，曲线的形状都不会改变。性质3.局部性即改变一个控制顶点，曲线上至多有个曲线段的形状变化，剩下的部分固定不变。性质4.对称性分别以为控制顶点和以为控制顶点的k阶带形状参数的B样条曲线，他们的曲线基本上没什么差别。下面是在前面的基础上进行的研究，给出带2个带有形状参数的样条基函数，并且用这个函数确定的曲线可以更好地调整曲线的形状，拥有更强的灵活性，当形状参数都是固定的时候，文献[3]是其一个特例。4.3带形状参数的均匀B样条曲线4.3.1带形状参数的基函数的定义定义1对任意，称关于t的多项式是带形状参数,的三次基函数。定义2对任意，，称关于的多项式为带形状参数，的四次基函数。定理1对上述定义的式子（3.7）、（3.8）中所给出的基函数有如下的结点论：时，同时四次基函数变成了时的三次基函数，事实上当时，三次基函数就会变为二次均匀B样条基函数。因此定义1的三次其实就是二次的一个扩展，相应的四次就变成了时的三次。 因而它们都可以看成是二次均匀B样条基函数的扩展。利用三次基函数的定义，分别给出,取不同值时的基函数的图像图3-2实线表示的基函数图3-3实线表示的基函数虚线表示时（即二次均匀B样条）的基函数虚线表示时的基函数定义3对，。称关于的多项式：为带参数，的n次基函数。定理2对基函数（3.11）式，我们可以得出以下的结点论：，4.3.2带形状参数均匀B样条曲线的构造及性质由定义1可以定义带有局部形状控制参数,的多项式曲线。定义4给定控制顶点和节点对，定义多项式曲线段：上式中为式（3.7）所定义的三次调配函数，定义多项式曲线上式中。曲线是定义在上的带局部参数,的分段三次多项式曲线，它是二次均匀B样条曲线的扩展，同样利用四次调配基函数也可以定义四次多项式曲线。定义5给定控制顶点节点对，定义多项式曲线段：上式中为式（3.8）所定义的四次调配函数。利用（3.11）式来定义定义n次多项式曲线，，其中的是（3.11）式所定义的。定理3当时，曲线是连续的，若曲线每相邻两段的形状参数满足,则是连续的。证明:由（3.7）（3.14）式直接计算得；显然，当时，且其中，故其是连续的。若则从而是连续的。证毕。从上面所叙述可以看出曲线是在曲线的基础上对二次B样条曲线的进一步扩展定理4当时，曲线是连续的。证明：由（3.8）（3.16）直接计算可得显然，当时，且其中，进一步计算若令，则当时有等式从而曲线是连续的。证毕。由定理3,4可以看出当满足一定关系时，，可以分别达到,连续，这里就不在赘述。而且，它们也与分段二次B样条曲线的结点构相同。通过定理可知四次曲线在将三次曲线的连续性提高了一阶。4.3.3形状参数的几何意义当固定，参数逐渐增大（或者减小）时，曲线逐渐靠近（或者远离）控制多边形的边，如图3-4。同样当固定，参数逐渐增大（或者减小）时，曲线逐渐靠近（或者远离）控制多边形的边，图略去。图3-4固定，从下到上依次是时的曲线如果想要变得更加灵活，可以让两个参数进行同时改变，同时增大或者减小，或者一大一小。我们可以按照要求完成更加复杂的曲线。定理5以为控制顶点的三次曲线段和以为控制顶点的三次贝塞尔曲线可以表示同一条曲线。其中它们的控制顶点满足下面的关系下面举出一个实例，来说明方法的有效性，先给出样条曲线的三个控制顶点，利用（3.22）式，我们可以得出相应Bézier曲线的控制顶点，，这里我们取.那么可以得到如下图3-5。图3-5和贝塞尔曲线表示同一条曲线当时，我们同样可以到的贝塞尔曲线的一组控制顶点：图3-6和Bézier曲线表示同一条曲线上面的举例我们可以得出，当带参数的B样条曲线和相应的贝塞尔曲线相同时，则样条的控制顶点肯定不变。4.4带形状参数的B样条曲面4.4.1样条曲面的定义多项式给定个控制网格顶点，和节点矢量其中对于定义与曲线段式子（3.14）相对应的张量积区面片为其中，是等式（3.7）所定义的。它是对双二次均匀B样条的扩展，而且以这个为特例，他们的性质是基本相似的。有一种灵活的方式去改变曲面的形状，就是改变形状参数。根据上面的概念，根据式子（3.26），得出现在的9个控制点：下图就是当取不同值时次的B样条曲面的图形如下图3-7至图3-10。图3-7时B样条曲面图3-7时B样条曲面图3-7时B样条曲面图3-7时B样条曲面4.5扩展曲线的应用运用定义1的三次调配基函数得到的图形如下图3-11，可以通过改变形状参数来改变分段曲线的形状。与二次均匀B样条进行比较，即当时为二次均匀B样条曲线。下图的控制顶点参考了文献的数据。图3-11参数取不同值的曲线：曲线1,2,3所取的,的值为：曲线1：曲线2：曲线3：对于确定的控制点，选择合适的参数取值可以画出如下的花瓶图形如下图3-12。（2）图3-12参数的曲线构成的花瓶和曲线（4）图3-13参数，的曲线构成的花瓶5总结点2019年1月份，我开始了我的论文撰写工作。历时4个多月，终于将其完成。选择这个题目的初衷是想学到更多理论，拓展自己的知识面。但一着手资料的搜索，我发现并不是我想象中那么简单。因为B样条的相关知识属于数学方面的内容，我作为一个计算机的学生，以前并没有接触过这方面的知识，所以我感到前所未有的迷茫。就在这时候，我和室友一起去找了我们的指导老师，他给了我们一些实质性的建议，并给我们发了资料，让我们作为参考。老师的建议让我对自己的论文有了更进一步的认识。我才明白不光要学习B样条相关的理论，并且要能够利用B样条曲线的特性在MATLAB上绘图。回去之后，我认真翻阅了老师给的资料，努力学习理论知识，充实自己的论文，边写边修改。并在网上搜索MATLAB相关的教学视频，下载了MATLAB软件，将自己学到的内容运用到实际操作中。经过我的努力，终于完成了整篇论文。这次的课题研究，使我受益匪浅。知识以及能力方面：（1）基本掌握了之前没有学习过的数学方面部分知识B样条曲线，并理解了其性质及其部分算法；（2）论文要研究的内容涉及到了MATLAB软件，对其进行了学习，能够利用它进行简单的绘图；（3）在整个学习过程中，从刚开始的一无所知到最后满载而归，我的自我学习能力和动手能力都得到了提高。在这个过程也遇到了很多问题，在通过老师的指导和不断地查阅资料，问题都被一一解决。做人做事方面：通过此次课题研究，我懂得了交流的重要性。不懂就要问，要及时与指导老师进行沟通，有什么问题也可以询问学长学姐，或者跟室友和同学多交流，讨论和论文相关的内容。很多事情光凭个人力量是无法完成的，只有多跟身边的人学习，借鉴他们的经验，才能做得更好。当然也存在一些不足之处：在课题研究初期，因为难度较大，我的态度有些不端正，懒得动脑子，导致后期时间比较紧张。我以后一定会改正这种不好的行为，积极面对学习和生活中的困难，努力做得更好。 参考文献星蓉生.B样条曲线插值数据点及其切矢的PIA算法[D].福建师范大学,2014.魏峰.三次B样条曲线在嵌入式可重构系统中的实现研究[D].山东科技大学,2017.郭怀天.B样条曲线及曲面研究[D].合肥工业大学,2012.严兰兰,韩旭里.三次均匀B样条曲线的保形扩展[J].计算机应用研究,2017,34(01):295-301.张永华,杜煜,潘峰,魏岳.基于三次B样条曲线拟合的智能车轨迹跟踪算法的实现[J/OL].计算机应用:1-7[2019-05-10]./kcms/detail/51.1307.TP.20180126.1633.008.html.郭怀天,黄有度.二次均匀B样条曲线的新扩展及应用[J].合肥工业大学学报(自然科学版),2012,35(01):138-140.谢宇迪,蒋新昕.非均匀节点情形下的一类三角B样条曲线[J].微型机与应用,2017,36(07):46-49.穆国旺,张志伟,臧婷,戴士杰.基于和参考曲线相似性的B样条曲线延拓[J].计算机辅助设计与图形学学报,2018,30(09):1705-1711.Sio-SongIeng.BridgeInfluenceLineEstimationforBridgeWeigh-in-MotionSystem[J].JournalofComputinginCivilEngineering,2014.Zhi-WeiChen,SongyeZhu,You-LinXu,QiLi,Qin-LinCai.DamageDetectioninLongSuspensionBridgesUsingStressInfluenceLines[J].JournalofBridgeEngineering,2014.ResearchandapplicationofB-splinecurveMajor:networkengineeringName:ChenweirongStudentID:15407404 Supervisor:ShangguanjintaiSummary:B-splinecurvereferstoaspecialrepresentationinmathem