初中九年级数学反比例函数技巧综合专项课件

第一章反比例函数的基本概念与性质第二章反比例函数的几何性质与面积问题第三章反比例函数与一元二次方程的综合第四章反比例函数与不等式的综合第五章反比例函数与函数图象的变换第六章反比例函数的综合应用与拓展101第一章反比例函数的基本概念与性质反比例函数的定义与实例引入反比例函数的定义反比例函数的定义形式为y=k/x(k≠0)，其中k是常数，x是自变量，y是因变量。例如，某城市出租车起步价为10元，每公里收费2元，则总费用y与行驶距离x的关系为y=10/x+2。当行驶距离为5公里时，总费用为6元。反比例函数的图像是双曲线，分为第一、三象限或第二、四象限，具体取决于k的正负。若k>0，图像在第一、三象限；若k<0，图像在第二、四象限。反比例函数的几个基本性质：①当x增大时，y减小；②函数图像没有截距，即x和y都不能等于0；③图像关于原点对称。反比例函数的实例引入反比例函数的图像反比例函数的基本性质3反比例函数的图像绘制步骤反比例函数图像绘制步骤绘制反比例函数图像的步骤：①取k的绝对值，确定图像所在的象限；②计算几个特殊点，如当x=±1,±2,±0.5时对应的y值；③将这些点连成光滑的曲线；④标注图像的关键特征，如渐近线（x=0和y=0）。反比例函数图像绘制实例例如绘制y=3/x的图像：当x=±1时，y=±3；当x=±2时，y=±1.5；当x=±0.5时，y=±6。这些点连成的双曲线在第一、三象限。反比例函数图像绘制注意事项图像绘制时注意比例尺的选择，确保图像清晰且能体现反比例函数的特性。4反比例函数的解析式求解反比例函数解析式求解方法根据已知条件求反比例函数解析式的一般方法：①将已知点代入y=k/x中求解k；②确定k的符号；③写出完整的解析式。反比例函数解析式求解实例例题：已知点(2,3)在反比例函数的图像上，求解析式。代入得3=k/2，解得k=6，所以解析式为y=6/x。反比例函数解析式求解注意事项注意检查点的坐标是否正确，避免符号错误。如果点在第二、四象限，k应为负值。5反比例函数的实际应用案例反比例函数实际应用案例1例1：某工厂生产零件，总成本C与生产效率（每小时生产的零件数x）成反比，当x=10时，C=100元。求生产效率与总成本的关系式。解：设C=k/x，代入得100=k/10，解得k=1000，所以C=1000/x。反比例函数实际应用案例2例2：电路中电压U、电流I和电阻R的关系为U=IR，当电阻R=20Ω时，电压U=120V，求电流I。解：120=I×20，解得I=6A。若电压保持不变，电阻增大，电流减小。反比例函数实际应用总结反比例函数在实际问题中常用于描述成反比的关系，如效率与成本、电压与电流等。602第二章反比例函数的几何性质与面积问题反比例函数图像的对称性反比例函数图像的对称性反比例函数y=k/x的图像关于原点(0,0)中心对称。即如果点(x,y)在图像上，则(-x,-y)也在图像上。反比例函数图像对称性实例例如，已知点(3,2)在y=4/x的图像上，则(-3,-2)也在图像上。验证：y=4/(-3)=-4/3，但题目给出的是y=2，说明k=12，所以图像应为y=12/x。反比例函数图像对称性应用可以通过对称性快速确定图像上的点，简化计算。8反比例函数图像与直线相交问题反比例函数与直线相交的一般方法：①列出方程组；②解方程组求交点坐标；③验证交点是否在反比例函数的图像上。反比例函数图像与直线相交实例例题：求y=3/x与y=x的交点。联立方程3/x=x，解得x^2=3，即x=±√3，所以交点为(√3,√3)和(-√3,-√3)。反比例函数图像与直线相交注意事项注意检查解的合理性，避免漏解或增解。反比例函数图像与直线相交问题9反比例函数图像与矩形、三角形面积问题反比例函数图像与矩形、三角形面积问题反比例函数图像与坐标轴围成的三角形面积公式：S=1/2|k|。例如y=4/x与坐标轴围成的三角形面积为S=1/2×4=2。反比例函数图像与矩形、三角形面积实例例题：求y=6/x与直线y=x围成的三角形面积。交点为(√6,√6)和(-√6,-√6)，所以面积为S=1/2×6=3。反比例函数图像与矩形、三角形面积总结反比例函数图像与矩形、三角形面积问题可以通过解析几何方法求解，关键在于确定交点和利用对称性简化计算。10反比例函数与几何图形的综合应用反比例函数与几何图形的综合应用需要灵活运用解析几何和几何知识，通过确定交点和利用对称性简化计算。反比例函数与几何图形的综合应用实例例1：将y=4/x先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到y=4/(x-2)+3。反比例函数与几何图形的综合应用总结通过综合应用可以提高解题效率，简化计算。反比例函数与几何图形的综合应用1103第三章反比例函数与一元二次方程的综合反比例函数与一元二次方程的联立求解反比例函数与一元二次方程联立的一般方法：①将反比例函数的解析式代入一元二次方程；②整理得到一元二次方程；③解方程求x的值；④将x的值代入反比例函数求y的值。反比例函数与一元二次方程的联立求解实例例题：已知点(2,3)在反比例函数的图像上，求解析式。代入得3=k/2，解得k=6，所以解析式为y=6/x。反比例函数与一元二次方程的联立求解注意事项注意检查点的坐标是否正确，避免符号错误。如果点在第二、四象限，k应为负值。反比例函数与一元二次方程的联立求解13反比例函数与一元二次方程的根的判别反比例函数与一元二次方程的根的判别反比例函数与一元二次方程联立时，根的判别方法：①根据判别式Δ=b^2-4ac判断方程的解的情况；②若方程无解，则两曲线无交点；③若方程有解，则两曲线有交点。反比例函数与一元二次方程的根的判别实例例题：已知y=3/x和x^2+y^2=10，求交点坐标。代入得x^2+9/x^2=10，整理得x^4-10x^2+9=0，解得x^2=9或x^2=1，即x=±3或x=±1，所以交点为(3,1),(-3,-1),(1,3),(-1,-3)。反比例函数与一元二次方程的根的判别总结通过判别式可以判断两曲线的交点情况，简化计算。14反比例函数与一元二次方程的韦达定理应用反比例函数与一元二次方程联立时，韦达定理的应用：①若方程为ax^2+bx+c=67，则根的和为-b/a，根的积为c/a；②利用韦达定理可以简化计算。反比例函数与一元二次方程的韦达定理应用实例例题：已知y=2/x和x^2+y^2=5，求交点坐标。代入得x^2+4/x^2=5，整理得x^4-5x^2+4=0，解得x^2=4或x^2=1，即x=±2或x=±1，所以交点为(2,1),(-2,-1),(1,2),(-1,-2)。反比例函数与一元二次方程的韦达定理应用总结通过韦达定理可以简化计算，提高解题效率。反比例函数与一元二次方程的韦达定理应用15反比例函数与一元二次方程的实际应用反比例函数与一元二次方程在实际问题中常用于描述方程的解和不等式的解，通过解析几何和代数知识可以求解相关问题。反比例函数与一元二次方程的实际应用实例例1：已知y=3/x和x^2+y^2=9，求交点坐标。代入得x^2+9/x^2=9，整理得x^4-9x^2+9=0，解得x^2=3或x^2=1，即x=±√3或x=±1，所以交点为(√3,1),(-√3,-1),(1,3),(-1,-3)。反比例函数与一元二次方程的实际应用总结通过实际应用可以提高解题效率，简化计算。反比例函数与一元二次方程的实际应用1604第四章反比例函数与不等式的综合反比例函数与一元一次不等式的解法反比例函数与一元一次不等式的解法：①将反比例函数的解析式代入不等式；②整理得到一元一次不等式；③解不等式求x的取值范围。反比例函数与一元一次不等式的解法实例例题：已知y=4/x，解不等式y>1。代入得4/x>1，解得x<4。所以不等式的解集为x<4。反比例函数与一元一次不等式的解法总结通过解不等式可以确定两曲线的交点情况，简化计算。反比例函数与一元一次不等式的解法18反比例函数与一元二次不等式的解法反比例函数与一元二次不等式的解法：①将反比例函数的解析式代入不等式；②整理得到一元二次不等式；③解不等式求x的取值范围。反比例函数与一元二次不等式的解法实例例题：已知y=3/x和x^2+y^2<10，求交点坐标。代入得x^2+9/x^2<10，整理得x^4-10x^2+9<0，解得x^2=9或x^2=1，即x=±3或x=±1，所以交点为(3,1),(-3,-1),(1,3),(-1,-3)。反比例函数与一元二次不等式的解法总结通过解不等式可以确定两曲线的交点情况，简化计算。反比例函数与一元二次不等式的解法1905第五章反比例函数与函数图象的变换反比例函数的平移变换反比例函数的平移变换反比例函数的平移变换：①水平平移：y=k/(x+a)(a>0向左移，a<0向右移)；②垂直平移：y=k/x+b(b>0向上移，b<0向下移)。反比例函数的平移变换实例例题：将y=4/x先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到y=4/(x+2)+3。反比例函数的平移变换总结通过平移变换可以简化计算，提高解题效率。21反比例函数的伸缩变换反比例函数的伸缩变换反比例函数的伸缩变换：①水平伸缩：y=k/(ax)(a>1压缩，0<a<1拉伸)；②垂直伸缩：y=kcdot(1/x)(k>1拉伸，0<k<1压缩)。反比例函数的伸缩变换实例例题：将y=6/x水平压缩为y=6/(2x)；将y=6/x垂直拉伸为y=2cdot(1/x)。反比例函数的伸缩变换总结通过伸缩变换可以简化计算，提高解题效率。22反比例函数的对称变换反比例函数的对称变换：①关于x轴对称：y=-k/x；②关于y轴对称：y=k/(-x)；③关于原点对称：y=-k/(-x)。反比例函数的对称变换实例例题：将y=5/x关于x轴对称，得到y=-5/x；将y=5/x关于y轴对称，得到y=5/(-x)；将y=5/x关于原点对称，得到y=-5/(-x)。反比例函数的对称变换总结通过对称变换可以简化计算，提高解题效率。反比例函数的对称变换23反比例函数图象变换的综合应用反比例函数图象变换的综合应用需要灵活运用解析几何和代数知识，通过确定交点和利用对称性简化计算。反比例函数图象变换的综合应用实例例1：将y=4/x先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到y=4/(x-2)+3。反比例函数图象变换的综合应用总结通过综合应用可以提高解题效率，简化计算。反比例函数图象变换的综合应用2406第六章反比例函数的综合应用与拓展反比例函数在实际问题中的应用反比例函数实际应用案例1例1：某工厂生产零件，总