高中高二数学平面向量的实际背景及基本概念课件

第一章向量的引入：生活中的向量现象第二章向量的基本运算：加法与减法第三章向量的数量积：内积与投影第四章向量的模与单位向量第五章向量的坐标表示与线性运算第六章向量的应用与拓展：空间向量01第一章向量的引入：生活中的向量现象第1页向量的实际背景在日常生活中，向量无处不在。例如，公交车路线图就是一个典型的向量应用场景。假设某城市公交车路线A从市中心出发，向北行驶5公里到达北站，再向东行驶3公里到达东站。而路线B从市中心出发，向南行驶4公里到达南站，再向西行驶2公里到达西站。这些公交线路的行驶方向和距离都可以用向量来描述。具体来说，向量是一个既有大小又有方向的量，用有向线段表示。例如，位移向量表示物体从一点移动到另一点的方向和距离。在公交车路线图中，箭头的方向表示行驶方向，箭头的长度表示行驶距离。通过向量，我们可以清晰地描述公交车的行驶路线和位移。此外，向量还可以用于描述其他生活中的现象，如风的方向和速度、河流的流向和流速等。这些现象都涉及方向和距离的变化，而向量正好可以捕捉这些变化。因此，向量在描述和解决实际问题中具有重要的应用价值。第2页向量的基本概念向量的定义向量的表示方法向量的基本性质向量是既有大小又有方向的量，用有向线段表示。用粗体字母表示向量，如**a**；用起点和终点表示，如AB（从A指向B）。向量可以平行移动，不改变其本质属性；向量的模（长度）为非负数。第3页向量与数量的区别数量的定义向量的定义对比表格数量只有大小，没有方向的量，如温度、质量、时间。向量既有大小又有方向，如位移、速度、力。通过对比表格，可以更清晰地理解向量与数量的区别。第4页向量的应用实例风力风向航海导航物理力学风力为3级西北风，表示风力大小为3，方向为西北。船速为20公里/小时向东，表示船速大小为20，方向为东。一个物体受到两个力，一个力为10牛顿向东，另一个力为8牛顿向北，如何用向量表示并求合力？02第二章向量的基本运算：加法与减法第5页向量加法的引入向量加法在现实生活中有着广泛的应用。例如，两个小船同时从同一港口出发，船A向北行驶5公里，船B向东行驶3公里。如何用向量表示这两条公交线路的行驶方向和距离？这个问题可以通过向量加法来解决。具体来说，向量加法可以用来描述两个位移的合成效果。在几何上，我们可以用平行四边形法则或三角形法则来表示向量加法。平行四边形法则将两个向量起点重合，以这两个向量为邻边作平行四边形，对角线表示两个向量的和。三角形法则将两个向量首尾相接，从第一个向量的起点到第二个向量的终点表示两个向量的和。通过这些方法，我们可以直观地理解向量加法的概念和应用。第6页向量加法的几何意义平行四边形法则三角形法则示例将两个向量起点重合，以这两个向量为邻边作平行四边形，对角线表示两个向量的和。将两个向量首尾相接，从第一个向量的起点到第二个向量的终点表示两个向量的和。船A位移为5公里向北，船B位移为3公里向东，用三角形法则求合位移。第7页向量加法的代数表示分量表示计算示例表格对比设向量**a**=(a₁,a₂)，向量**b**=(b₁,b₂)，则**a**+**b**=(a₁+b₁,a₂+b₂)。向量**a**=(3,4)，向量**b**=(1,2)，则**a**+**b**=(3+1,4+2)=(4,6)。通过对比表格，可以更清晰地理解向量加法的代数表示。第8页向量减法的引入引入场景问题提出内容展示两个小船同时从同一港口出发，船A向北行驶5公里，船B向东行驶3公里，船A相对于船B的位移如何表示？如何用向量表示船A相对于船B的位移？两船行驶路线图，用箭头表示位移，标注大小和方向。第9页向量减法的几何意义三角形法则反向向量示例将两个向量起点重合，从第二个向量终点指向第一个向量终点的向量表示两个向量的差。向量**a**-**b**=**a**+(-**b**)，其中-**b**是**b**的反向向量，方向相反，大小相同。船A位移为5公里向北，船B位移为3公里向东，船A相对于船B的位移。第10页向量减法的代数表示分量表示计算示例表格对比设向量**a**=(a₁,a₂)，向量**b**=(b₁,b₂)，则**a**-**b**=(a₁-b₁,a₂-b₂)。向量**a**=(3,4)，向量**b**=(1,2)，则**a**-**b**=(3-1,4-2)=(2,2)。通过对比表格，可以更清晰地理解向量减法的代数表示。第11页向量加减法的应用实例位移合成力合成速度合成物体先向东移动5公里，再向北移动3公里，求总位移的坐标表示。两个力分别为10牛顿向东和8牛顿向北，求合力的大小和方向。船A速度为20公里/小时向东，船B速度为15公里/小时向北，求合速度。03第三章向量的数量积：内积与投影第12页向量数量积的引入向量数量积（内积）在物理学中有着广泛的应用。例如，一个物体在水平方向上受到一个力，物体在力的方向上移动一段距离，如何计算力所做的功？这个问题可以通过向量数量积来解决。具体来说，向量数量积可以用来描述力所做的功。在几何上，向量数量积的模为两个向量的模长乘以它们夹角的余弦值。通过这个定义，我们可以直观地理解向量数量积的概念和应用。第13页向量数量积的几何意义定义投影示例向量**a**与向量**b**的数量积（内积）为**a**·**b**=|**a**||**b**|cosθ，其中θ为**a**与**b**的夹角。向量**a**在向量**b**方向上的投影为|**a**|cosθ，向量**b**在向量**a**方向上的投影为|**b**|cosθ。力**F**=10牛顿，位移**S**=5公里，力与位移的夹角为30度，求力所做的功。第14页向量数量积的代数表示分量表示计算示例表格对比设向量**a**=(a₁,a₂)，向量**b**=(b₁,b₂)，则**a**·**b**=a₁b₁+a₂b₂。向量**a**=(3,4)，向量**b**=(1,2)，则**a**·**b**=3×1+4×2=11。通过对比表格，可以更清晰地理解向量数量积的代数表示。第15页向量数量积的性质交换律**a**·**b**=**b**·**a**。分配律**a**·(**b**+**c**)=**a**·**b**+**a**·**c**。与模长关系**a**·**a**=|**a**|²。正交性若**a**⊥**b**，则**a**·**b**=0。第16页向量数量积的应用实例功的计算投影计算正交判断力**F**=10牛顿，位移**S**=5公里，力与位移的夹角为30度，求力所做的功。向量**a**=(3,4)，向量**b**=(1,2)，求**a**在**b**方向上的投影。向量**a**=(3,4)，向量**b**=(2,-3)，判断**a**与**b**是否正交。04第四章向量的模与单位向量第17页向量的模的引入向量的模（长度）在几何和物理中有着重要的应用。例如，两个物体分别向东和向北移动，位移分别为5公里和3公里，如何比较它们的位移大小？这个问题可以通过向量的模来解决。具体来说，向量的模表示向量的长度，即起点到终点的距离。通过这个定义，我们可以直观地理解向量的模的概念和应用。第18页向量的模的定义定义几何意义计算示例向量**a**的模（长度）记为|**a**|，|**a**|=√(a₁²+a₂²)（二维向量）。向量模表示向量的长度，即起点到终点的距离。向量**a**=(3,4)，则|**a**|=√(3²+4²)=5。第19页单位向量的定义定义求法计算示例模为1的向量称为单位向量，记为**e**，通常用**e**₁,**e**₂,**e**₃表示坐标轴上的单位向量。将非零向量**a**除以其模，得到单位向量**e**=**a**/|**a**|。向量**a**=(3,4)，则单位向量**e**=(3/5,4/5)。第20页单位向量的应用实例方向向量标准化投影单位化物体位移为5公里东北方向，求单位方向向量。向量**a**=(3,4)，求标准化向量（单位向量）。向量**a**=(3,4)，向量**b**=(1,2)，求**a**在**b**方向上的单位投影向量。05第五章向量的坐标表示与线性运算第21页向量的坐标表示的引入向量的坐标表示在计算机图形学和物理中有着广泛的应用。例如，一个物体从点A(1,2)移动到点B(4,6)，如何用数学语言描述这个位移？这个问题可以通过向量的坐标表示来解决。具体来说，向量**a**=(a₁,a₂)表示从点A(x₁,y₁)到点B(x₂,y₂)的位移向量，即**a**=(x₂-x₁,y₂-y₁)。通过这个定义，我们可以直观地理解向量的坐标表示的概念和应用。第22页向量的坐标表示定义分量表示计算示例向量**a**=(a₁,a₂)表示从点A(x₁,y₁)到点B(x₂,y₂)的位移向量，即**a**=(x₂-x₁,y₂-y₁)。向量**a**的分量分别为a₁和a₂，表示在x轴和y轴上的投影。点A(1,2)，点B(4,6)，则位移向量**a**=(4-1,6-2)=(3,4)。第23页向量的线性运算加法减法数乘**a**+**b**=(a₁+b₁,a₂+b₂)。**a**-**b**=(a₁-b₁,a₂-b₂)。k**a**=(ka₁,ka₂)。第24页向量的线性组合定义示例应用向量**b**是向量**a₁**,**a₂**,...,**aₙ**的线性组合，若存在实数k₁,k₂,...,kₙ，使得**b**=k₁**a₁**+k₂**a₂**+...+kₙ**aₙ**。向量**b**=(1,2)，向量**a₁**=(1,0)，向量**a₂**=(0,1)，则**b**=1**a₁**+2**a₂**。线性组合可以表示平面上的任意向量。第25页向量线性相关与线性无关线性相关线性无关判断方法存在不全为零的实数k₁,k₂,...,kₙ，使得k₁**a₁**+k₂**a₂**+...+kₙ**aₙ**=0。只有k₁=k₂=...=kₙ=0时，才有k₁**a₁**+k₂**a₂**+...+kₙ**aₙ**=0。通过行列式判断，若行列式不为零，则线性无关；否则线性相关。第26页向量的线性运算应用实例位移合成力合成速度合成物体先向东移动5公里，再向北移动3公里，求总位移的坐标表示。两个力分别为10牛顿向东和8牛顿向北，求合力的大小和方向。船A速度为20公里/小时向东，船B速度为15公里/小时向北，求合速度。06第六章向量的应用与拓展：空间向量第27页空间向量的引入空间向量在三维空间中有着广泛的应用。例如，三个物体分别从点A(1,2,3)移动到点B(4,5,6)，点C(7,8,9)，如何用数学语言描述它们的位移？这个问题可以通过空间向量来解决。具体来说，空间向量**a**=(a₁,a₂,a₃)表示从点A(x₁,y₁,z₁)到点B(x₂,y₂,z₂)的位移向量，即**a**=(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁)。通过这个定义，我们可以直观地理解空间向量的概念和应用。第28页空间向量的坐标表示定义分量表示计算示例向量**a**=(a₁,a₂,a₃)表示从点A(x₁,y₁,z₁)到点B(x₂,y₂,z₂)的位移向量，即**a**=(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁)。向量**a**的分量分别为a₁,a₂,a₃，表示在x轴、y轴、z轴上的投影。点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，则位移向量**a**=(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)。第29页空间向量的线性运算加法减法数乘**a**+**b**=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃)。**a**-