高中高二数学数列通项公式求解讲义

第一章数列通项公式的引入与基本概念第二章等差数列的通项公式与性质第三章等比数列的通项公式与性质第四章数列通项公式的求解方法第五章数列通项公式的综合应用第六章数列通项公式的高阶应用与拓展01第一章数列通项公式的引入与基本概念第1页引言：生活中的数列现象小明跑步的例子引入实际场景，激发学习兴趣数学建模过程将实际场景转化为数学表达式问题提出如何求解数列的通项公式第2页数列的基本概念与分类数列的定义按一定顺序排列的一列数数列的分类有穷数列与无穷数列，等差数列与等比数列斐波那契数列的例子展示实际数列应用第3页数列的表示方法与常用符号列表法直接写出数列的前几项递推法给出初始项和递推关系通项公式法直接给出n与a_n的函数关系第4页典型例题分析例1：已知数列的前n项和求通项公式通过S_n求a_n的具体步骤例2：已知递推关系求通项公式通过递推关系求解a_n的方法02第二章等差数列的通项公式与性质第5页引言：等差数列的实际应用小明跑步的例子引入实际场景，激发学习兴趣数学建模过程将实际场景转化为数学表达式问题提出如何求解等差数列的通项公式第6页等差数列的定义与基本公式等差数列的定义每一项与它的前一项的差等于同一个常数等差数列的基本公式通项公式、常数项关系、中项公式等差数列的例子展示等差数列的实际应用第7页等差数列的性质与推论等差数列的对称性质m+n=p+q⇒a_m+a_n=a_p+a_q等差数列的子数列子数列仍是等差数列等差数列的连续k项中项性质中间项的k倍等于首末两项之和第8页典型例题分析例1：已知等差数列中两项求通项公式通过已知两项求解通项公式的步骤例2：已知等差数列的前n项和求通项公式通过S_n求解通项公式的步骤03第三章等比数列的通项公式与性质第9页引言：等比数列的实际应用小明跑步的例子引入实际场景，激发学习兴趣数学建模过程将实际场景转化为数学表达式问题提出如何求解等比数列的通项公式第10页等比数列的定义与基本公式等比数列的定义每一项与它的前一项的比等于同一个常数等比数列的基本公式通项公式、常数项关系、中项公式等比数列的例子展示等比数列的实际应用第11页等比数列的性质与推论等比数列的对称性质m+n=p+q⇒a_m·a_n=a_p·a_q等比数列的子数列子数列仍是等比数列等比数列的连续k项中项性质中间项的k次方等于首末两项之积第12页典型例题分析例1：已知等比数列中两项求通项公式通过已知两项求解通项公式的步骤例2：已知等比数列的前n项和求通项公式通过S_n求解通项公式的步骤04第四章数列通项公式的求解方法第13页引言：数列通项公式的多样性小明跑步的例子引入实际场景，激发学习兴趣数学建模过程将实际场景转化为数学表达式问题提出如何求解数列的通项公式第14页方法一：已知S_n求a_n基本原理a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），需验证n=1时是否符合具体步骤通过S_n求a_n的具体步骤注意事项验证n=1时是否符合第15页方法二：递推关系求通项等差数列递推关系a_n=a_(n-1)+d⇒a_n=a_1+(n-1)d等比数列递推关系a_n=a_(n-1)q⇒a_n=a_1·q^(n-1)非齐次递推关系通过变形为等比数列求解第16页方法三：叠加法与错位相减法叠加法适用于形如a_n=f(n)的递推错位相减法适用于形如a_n=b_n+c_n的递推应用场景具体应用场景举例第17页典型例题分析例1：已知数列满足递推关系求通项公式通过递推关系求解a_n的具体步骤例2：已知数列满足叠加法求通项公式通过叠加法求解a_n的具体步骤05第五章数列通项公式的综合应用第18页引言：实际问题的数学转化小明跑步的例子引入实际场景，激发学习兴趣数学建模过程将实际场景转化为数学表达式问题提出如何将实际问题转化为数列问题第19页问题转化与建模技巧增长模型等差增长：每年增加固定数量（如GDP每年增加100亿）等比增长每年增长相同比例（如每年增加固定比例）混合增长每年增加固定数量+固定比例第20页综合解题策略解题步骤数列通项公式的综合解题步骤问题转化将问题转化为数学表达式模型选择选择合适的模型求解第21页典型例题分析例1：已知数列满足混合增长求通项公式通过混合增长求解a_n的具体步骤例2：已知数列满足等差增长求通项公式通过等差增长求解a_n的具体步骤06第六章数列通项公式的高阶应用与拓展第22页引言：数列的极限与无穷小明跑步的例子引入实际场景，激发学习兴趣数学建模过程将实际场景转化为数学表达式问题提出如何将实际问题转化为数列问题第23页数列的极限与收敛性数列极限的定义当项数n无限增大时，数列{a_n}的项a_n无限接近于某个常数a数列极限的性质唯一性、有界性数列极限的例子具体数列极限的例子第24页无穷等比数列求和无穷等比数列求和公式S=∑(n=1to∞)a_1q^(n-1)=a_1/(1-q)（|q|<1）公式推导无穷等比数列求和公式的推导过程应用场景无穷等比数列求和的应用场景举例第25页数列极限的实际应用实际问题1实际问题的描述和数列极限的应用实际问题2实际问题的描述和数列极限的应用实际应用总结数列极限的实际应用总结第26页典型例题分析例1：已知数列满足递推关系求极限通过递推关系求解数列极限的具体步骤例2：已知数列满足无穷等比数列求和求极限通过无穷等比数列求和求解数列极限的具体步骤07第六章数列通项公式