《工程力学》教案 第9课 点的运动学、刚体的基本运动

《工程力学》教案第9课点的运动学、刚体的基本运动课程名称：工程力学授课章节：第9课点的运动学、刚体的基本运动授课对象：工科类专业学生（本科/专科）授课时长：90分钟（2课时）授课方式：讲授法、案例分析法、多媒体演示法、小组讨论法前置知识：高等数学（导数、积分）、静力学基本概念一、教学目标（一）知识目标掌握点的运动学三种描述方法（直角坐标法、自然法、矢量法），理解各方法的适用场景及相互转换。熟练运用直角坐标法和自然法求解点的运动方程、速度及加速度。理解刚体平动和定轴转动的定义、特征及运动规律，能判断刚体的运动形式。掌握刚体定轴转动时角速度、角加速度的计算，以及刚体上各点速度、加速度的求解方法。（二）能力目标能根据实际工程场景，选择合适的方法分析点的运动状态，解决简单的点运动学问题。具备识别刚体基本运动形式的能力，能将工程中的刚体运动问题转化为力学模型进行分析。培养逻辑推理和数学建模能力，为后续刚体平面运动、动力学知识的学习奠定基础。（三）素养目标体会工程力学与工程实际的紧密联系，培养理论联系实际的思维方式。养成严谨细致的计算习惯和科学的分析方法，提升解决工程问题的核心素养。二、教学重难点（一）教学重点点的运动学直角坐标法和自然法的应用（运动方程、速度、加速度求解）。刚体平动的特征及刚体上各点的运动关系。刚体定轴转动的角速度、角加速度计算，以及刚体上各点速度、加速度的分布规律。（二）教学难点自然法中弧坐标的建立及切向加速度、法向加速度的物理意义理解。刚体定轴转动时，角加速度与切向加速度、法向加速度的关联计算。工程实际问题中，点的运动与刚体基本运动的综合分析与建模。三、教学准备多媒体课件：包含点的运动动画演示、刚体平动及定轴转动案例（如起重机、车轮转动）、公式推导过程。教具：刚体模型（如直尺、圆盘）、三角板、圆规。预习任务单：提前布置点的运动学基本概念、导数与积分应用等预习内容。习题素材：课堂例题、随堂练习题、课后作业题（分基础题、提高题）。四、教学过程（一）导入新课（10分钟）1.情境引入：结合工程实际案例提问，引导学生思考运动学问题。如“起重机吊具提升货物时，货物上某点的运动轨迹、速度如何变化？”“汽车行驶时，车轮的运动包含哪些形式？车轮上各点的运动有何不同？”2.回顾旧知：提问学生前置知识，如“导数的物理意义（变化率）”“静力学中刚体的定义”，帮助学生建立知识衔接。3.揭示课题：说明本节课的核心内容——点的运动学（描述点的运动规律）和刚体的基本运动（平动、定轴转动），强调其在机械设计、建筑施工等工程领域的应用价值，引出本节课学习目标。（二）新知讲授：点的运动学（35分钟）1.点的运动学概述（5分钟）明确点的运动学研究对象：几何点（不计大小和形状的物体）的运动规律，核心是描述点在空间中的位置、速度、加速度随时间的变化关系，不涉及运动的原因（受力）。介绍三种描述方法：矢量法（理论严谨，适用于公式推导）、直角坐标法（适用于平面或空间运动，计算简便）、自然法（适用于点的运动轨迹已知的情况），重点讲解后两种实用方法。2.直角坐标法（15分钟）（1）运动方程：建立直角坐标系Oxyz，点的位置坐标(x,y,z)均为时间t的单值连续函数，即x=f₁(t)，y=f₂(t)，z=f₃(t)，这三个方程即为点的直角坐标运动方程，消去时间t可得到点的运动轨迹方程。（2）速度：速度是位置坐标对时间的一阶导数，矢量表达式为v=vₓi+vᵧj+v_zk，其中vₓ=dx/dt，vᵧ=dy/dt，v_z=dz/dt。速度的大小v=√(vₓ²+vᵧ²+v_z²)，方向由速度分量的比值确定。（3）加速度：加速度是速度对时间的一阶导数（或位置坐标对时间的二阶导数），矢量表达式为a=aₓi+aᵧj+a_zk，其中aₓ=dvₓ/dt=d²x/dt²，aᵧ=dvᵧ/dt=d²y/dt²，a_z=dv_z/dt=d²z/dt²。加速度大小a=√(aₓ²+aᵧ²+a_z²)，方向由加速度分量比值确定。课堂例题1：已知点的直角坐标运动方程x=2t²，y=3t（单位：m，t单位：s），求t=2s时，点的速度、加速度及运动轨迹方程。（板书推导过程，强调导数计算及轨迹方程推导方法）3.自然法（15分钟）（1）弧坐标与运动方程：当点的运动轨迹已知时，在轨迹上建立弧坐标s（以轨迹上某固定点为原点，规定正负方向），则点的位置可由弧坐标s唯一确定，s=f(t)即为自然法运动方程。（2）速度：速度方向沿轨迹切线方向，大小为弧坐标对时间的一阶导数v=ds/dt。v为正时，点沿弧坐标正方向运动；v为负时，沿负方向运动。（3）加速度：加速度分为切向加速度aₜ和法向加速度aₙ。切向加速度aₜ=dv/dt=d²s/dt²，反映速度大小的变化，方向沿轨迹切线方向（aₜ与v同向时速度增大，反向时减小）；法向加速度aₙ=v²/ρ（ρ为轨迹在该点的曲率半径），反映速度方向的变化，方向始终指向轨迹曲线的曲率中心。总加速度大小a=√(aₜ²+aₙ²)，方向与切线方向的夹角θ满足tanθ=|aₙ/aₜ|。动画演示：通过课件演示点沿圆周运动时，切向加速度、法向加速度的变化规律，帮助学生理解二者的物理意义，突破难点。课堂例题2：一质点沿半径ρ=0.5m的圆周运动，弧坐标运动方程s=0.2t³（m，s），求t=1s时，质点的速度、切向加速度、法向加速度及总加速度。（带领学生分步计算，强调法向加速度公式的应用）（三）新知讲授：刚体的基本运动（30分钟）1.刚体平动（12分钟）（1）定义：刚体运动时，其上任意两点的连线始终保持平行（方向不变），这种运动称为平动。平动可分为直线平动（如电梯升降）和曲线平动（如起重机吊臂端点的运动）。（2）特征：刚体平动时，其上各点的运动轨迹、速度、加速度完全相同。因此，研究刚体平动时，可选取刚体上任意一点（通常选质心）的运动来代表整个刚体的运动，将刚体平动转化为点的运动问题。案例分析：展示直尺平动动画，让学生观察直尺上不同点的运动轨迹，验证平动特征。2.刚体定轴转动（18分钟）（1）定义：刚体运动时，其上有一条固定不动的直线（称为转轴），刚体上其余各点都绕此转轴做圆周运动，这种运动称为定轴转动（如车轮转动、电机转子转动）。（2）转动方程：以转轴为中心，建立角坐标φ（以某固定平面为基准，规定正负方向），φ为时间t的函数φ=f(t)，即为刚体定轴转动方程，单位为弧度（rad）。（3）角速度：角速度ω是角坐标对时间的一阶导数ω=dφ/dt，反映刚体转动的快慢，单位为rad/s。ω为正时，沿角坐标正方向转动；ω为负时，反向转动。工程中也常用转速n（r/min）表示，二者关系为ω=2πn/60=πn/30。（4）角加速度：角加速度α是角速度对时间的一阶导数α=dω/dt=d²φ/dt²，反映角速度变化的快慢，单位为rad/s²。α与ω同向时，刚体加速转动；反向时，减速转动。（5）刚体上各点的速度与加速度：刚体定轴转动时，其上任意一点到转轴的距离为r（转动半径），该点的运动为圆周运动。速度：v=ωr，方向沿圆周切线方向，与角速度方向满足右手定则。加速度：切向加速度aₜ=αr，方向沿切线方向（与角加速度方向一致）；法向加速度aₙ=ω²r，方向指向转轴（向心加速度）。总加速度a=√(aₜ²+aₙ²)，与切线方向夹角θ满足tanθ=|aₙ/aₜ|。课堂例题3：一圆盘绕定轴转动，转动方程φ=2t²+3t（rad），圆盘半径r=0.4m，求t=2s时，圆盘的角速度、角加速度，以及圆盘边缘某点的速度、切向加速度、法向加速度。（板书推导，强化角量与线量的关联计算）（四）课堂小结与随堂练习（10分钟）1.小结梳理（5分钟）带领学生回顾本节课核心知识点：（1）点的运动：直角坐标法（x,y,z与t的关系，v、a的导数计算）、自然法（s与t的关系，aₜ、aₙ的物理意义及计算）。（2）刚体基本运动：平动（各点运动相同，转化为点的运动）、定轴转动（角量ω、α，线量v、aₜ、aₙ与角量的关系）。强调重难点：自然法中法向加速度的计算、刚体定轴转动时角量与线量的转换。2.随堂练习（5分钟）布置2道基础练习题，让学生独立完成，教师巡视指导，针对共性问题集中讲解：（1）已知点的自然运动方程s=5t-2t²（m），轨迹为半径ρ=2m的圆周，求t=1s时，点的总加速度。（2）刚体定轴转动，转速n=300r/min，角加速度α=2rad/s²，求转动半径r=0.5m处点的切向加速度、法向加速度大小。（五）布置作业（5分钟）基础题（必做）：教材对应习题，涵盖点的运动学两种方法、刚体平动及定轴转动的基本计算，巩固核心公式应用。提高题（选做）：工程案例题（如起重机吊臂平动与重物点运动的综合分析），培养学生建模能力。预习任务：下节课内容“刚体平面运动”，提前了解平面运动的分解方法（平动+转动）。五、教学反思需关注学生对自然法中法向加速度物理意义的理解