第2章 有理数的运算期末复习（知识清单）（答案版） -浙教版(2024)七上

第2章有理数的运算1.有理数的运算法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数；③0的任何非零次幂都是0．2.有理数的混合（1）运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．（2）“奇负偶正”口诀的应用：①多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．②有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．③有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，．3．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:a×b=b×a；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（a×b）×c=a×(b×c)（3）分配律：a×(b+c)=a×b+a×c4.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．5.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.6.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.一、有理数的加法1.异号两数相加，忘记判断和的正负错误：异号的两数相加时，首先要记得判断和的正负号，尤其是当负数的绝对值更大时漏掉，直接影响结果。注意：异号两数相加，应该遵循加法法则，先判断和的正负号，取绝对值大的加数的符号，再将两数的绝对值相减（大的数减去小的数）。例1（2025·天津南开·三模）计算12+-A．-16 B．16 C．-【答案】A【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握加法运算法则是关键；根据有理数加法法则计算即可．【详解】解：12故选：A．2.灵活使用加法结合律简便运算错误：进行多个加数的加法运算时，尤其是分数的加法时，有可以使用加法结合律进行简便运算的情况下，没有使用简便方法，导致的计算错误。注意：在多个加数的加法运算中，首先要观察式子，看是否存在：①两数互为相反数；②两数（或三个数）的和为整数（或带分数的分数部分的和为整数）；③大数相加时，两数（或三个数）的和为整百整千数.若存在，可通过加法结合律将以上有关系的数结合起来先算，再整体计算。例2（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算：-22解：-==0+=第一步的依据是什么?（

）A．加法交换律 B．加法结合律C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配【答案】C【分析】本题考查有理数加法运算律的应用．观察第一步的变形，将原式中的加数重新分组并交换位置，需结合加法交换律和结合律进行判断．【详解】解：由题意可知，将原式中-5.5与22的位置交换，使-22与22相邻，-5.5与-4.5相邻，使用了加法交换律，将相邻的加数分组结合，形成因此，第一步同时应用了加法交换律和加法结合律，故选：C．例3（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：(1)+2(2)+5【答案】(1)17(2)1．【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据有理数的加法运算法则计算；（2）根据有理数的加法运算法则计算．【详解】（1）解：+==0+=1（2）解：+==2+=1．二、有理数的减法1.减去一个数，等于加上这个数的相反数错误：减去一个负数时，去掉负号外的括号的同时，执行“加上这个数的相反数”的规则时，“加上”没有减号变加号，或者“这个数的相反数”没有变。如：4－（﹣2）=4－1=3；注意：要遵循有理数的减法的法则，在由减去变成加上的同时，减数要变成它对应的相反数。例4（24-25七年级上·甘肃天水·期中）计算：(1)-99(2)-1(3)-27(4)33【答案】(1)-(2)-(3)26(4)29【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．（1）利用有理数的加法法则计算即可；（2）利用有理数的减法法则计算即可；（3）利用有理数的减法法则计算即可；（4）利用有理数的加法运算律计算即可．【详解】（1）解：-99（2）解：-==-（3）解：-==26；（4）解：3=3==6=292.有理数的加减相关的应用题错误：多个数相加减的结果的实际意义不明，如将汽车向东（为正）或向西行驶的行程数相加的和，表示汽车距离出发点的位置和距离，而非总行程。注意：根据问题所求，结合实际应用的具体情况进行作答。例5（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况：星期一二三四五六日水位变化+2.4+0.6--+3.5+2.0-注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“ + ”表示比警戒水位高，“(1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米．(2)若规定水位比前一天上升用“ + ”，比前一天下降用“ -星期一二三四五六日水位变化+3.1+2.4--(3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？【答案】(1)五；39(2)见解析(3)34.8米，下降了，下降了0.8米【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键：（1）找到表格中数据的最大数据，进行判断和求解即可；（2）根据题意，列出算式，填表即可；（3）利用周一的实际水位减去变化量求出上一星期日的水位，求出图（2）表格中数据的和，进行判断即可．【详解】（1）解：由表格可知，该水库这星期水位最高的一天是星期五，这一天的实际水位是35.5+3.5=39米（2）0.6-2.4=-1.8，填表如下：星期一二三四五六日水位变化+3.1--+2.4+5.1--（3）上一星期日的水位为35.5+2.4-+3.1-所以与上一星期日相比，这一星期日该水库水位是下降了，下降了0.8米．三、有理数的乘法1.混淆倒数与相反数的概念错误：求倒数或者相反数时概念混淆，相互混淆。注意：倒数是两个数的乘积为1，两个数互为倒数；相反数（0除外）是两个数的和为0，两个数互为倒数。例6（24-25六年级上·山东烟台·期中）若a的倒数是-14，则A．4 B．-4 C．14 D【答案】A【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记倒数和相反数的定义是解题关键．先根据倒数的定义可得a的值，再根据相反数的定义求解即可得．【详解】解：∵a的倒数是-14，且∴a=∴a的相反数是4，故选：A．2.多个因数相乘，判断乘积的正负有误错误：因未遵循乘法法则，或因数错负因数的数量，或其他原因导致算式的乘积的正负判断有误。注意：当多个非零因数相乘时，确认负因数的个数，个数为奇数时，其乘积的结果为负数；个数为偶数时，其乘积的结果为负数。例7下列乘积的结果，符号为正的是（）A．0×-3C．-2×-【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据同号得正，异号得负，0乘以任何数为0；对各选项分析判断即可求解．【详解】解：A．0×-3B．-6C．-2×D．-1故选：C．3.灵活使用乘法律进行简便运算错误：再进行多个因数相乘的运算时，尤其是分数的乘法运算，在有可以使用乘法结合律进行计算的没有使用，导致计算错误；或是在有乘法和加减法混合运算中，可以使用乘法分配律进行计算的没有使用，导致计算错误。注意：能分辨什么时候使用乘法结合律和乘法分配律。根据适当的乘法率进行简便运算。例8（2024七年级上·全国·专题练习）运用运算律进行简便运算：(1)-7(2)14【答案】(1)-3(2)-【分析】本题主要考查有理数的乘法，灵活运用乘法运算律是解题的关键．（1）运用乘法结合律进行简算即可得到答案；（2）运用乘法分配律计算乘法后，再进行加减运算即可版答案；【详解】（1）解：原式==1=-（2）解：原式===-4.新定义运算问题的理解与运用错误：不理解新定义中规定的运算算法法则。注意：先根据举的示例理解运算法则，尤其是列式时的顺序和括号，然后再计算所列的式子。例9（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知x，y表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下：x※y=2x+3【答案】-【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义的法则，列出算式进行计算即可．【详解】解：原式===6=3=-故答案为：-6四、有理数的除法1.除法没有分配律错误：在计算类似：（﹣124）÷（13-12）时，参考乘法分配律将其化简为（﹣124）÷1注意：除法没有分配律，类似（﹣124）÷（13-12例10-130【答案】-110【分析】本题考查有理数的乘除，解题的关键是掌握有理数的乘除，先对小括号通分，然后根据有理数的除法，进行计算，即可．【详解】解：原式=====-故答案为：-12.乘除法混合运算错误：在运算过程中没有先将除法变成乘法，或在计算时漏掉负号。注意：计算乘除法的混合运算时，有括号的要先算括号，然后将除以一个数变成乘以这个数的倒数，并判断乘除法最终的结果的符号，再计算数的部分。例11（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程并解答问题：计算：(解：原式=(-=(-=3(1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______．(2)请写出正确的解答过程．【答案】(1)二，运算顺序不对(2)见解析【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算；（1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序可得答案；（2）先计算括号内的运算，再按照从左至右的顺序进行计算即可.【详解】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对；（2）解：(=(=(=108五、有理数的乘方1.确认有理数的乘方结果的正负符号错误：在计算负数的奇数次方的结果时，漏掉负号。注意：当底数为负数时，指数为奇数时其结果为负数，指数为偶数时其结果为正数。例12（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）在以下各数中，负数的个数是（

）-(-2025)、-|-2025|A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题考查负数的定义，先化简各数，然后根据小于0的数是负数解答即可．【详解】解：-(-|0既不是正数，也不是负数；(--2025∴负数有3个，故选：B．2.区别﹣2n和（﹣2）n错误：在计算类似于﹣2n时，理解为一个负数的n次方，尤其当n为偶数时，就容易出错。比如计算﹣34=81是错误的。注意：﹣2n表示2的n次方的相反数，（﹣2）n表示﹣2的n次方，在计算时的顺序是不同的，计算﹣2n时先算乘方再注意负号；计算（﹣2）n时先确认负号再计算乘方。因此﹣34=﹣81，（﹣3）4=81。例13（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列各对数中，数值相等的是（

）A．-32与-23 BC．-32与-32 D【答案】B【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，分别计算各选项中两个表达式的值，判断是否相等．【详解】∵-32=-9，-∵-23=-8，-∵-32=-9，-∵-3×22=36，-故选B．六、科学记数法1.科学记数法的规范表示错误：没有按照科学记数法的规则进行表示，尤其是的形式中要满足。比如0.25×105，25×103都不满足a的取值范围。注意：严格遵循科学记数法的规范表示方式。即：（其中，是正整数）。2.科学记数法指数值的确认错误：将大数表示成科学记数法的形式时，要确定底数为10的乘方的指数部分的值时，指数值错误。尤其，比如168000=1.68×106就多算了一位。注意：168000=1.68×105，次数为5是由1后面的位数确定的，1后面有五位就是5次方。也可以认为是小数点位置从个位0的右侧向左移动到1的右侧，经过5个位次，所以是5次方。例14（24-25七年级下·全国·假期作业）用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③0.027×104【答案】见解析【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为a×10n的形式，其中1<|a|<10，n将各个数写成a×10n其中1<|【详解】解：用科学记数法表示各数分别为：①2021=2.021×103；②576万=5760000=5.76×103.科学记数法相关的运算错误：①两个科学记数法表示的大数相加减时，幂的部分未统一即将前面部分相加导致计算错误，如：3.2×106+5.2×105在计算时得到结果为8.4×105或8.4×106；

②两个科学记数法表示的大数相乘除时，幂的部分相乘时，指数部分用相乘导致计算错误，如：（3.2×106）+（5×105）=（3.2×5）×（106×105）=16×1030=1.6×1031；

③两个科学记数法表示的大数进行加减法或乘除法运算后，其结果没有表示为科学记数法的结果，如3.2×106+5.2×105=32×105+5.2×105=37.2×105.注意：①两个科学记数法表示的大数相加减的基本步骤：保证幂的部分统一（以10为底数的幂的指数统一）→根据乘法分配律将其余部分相加减，幂的部分不变→将结果化作新的科学记数法的表示②两个科学记数法表示的大数相乘除的基本步骤：将幂的部分相乘，也将幂以外的部分也相乘→幂的部分相乘除时，底数不变，指数相加减→将两部分结果再相乘得到结果→将结果化作新的科学记数法的表示例15计算6.8×10【答案】1.05【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值【详解】解：6.8×105故答案为：1.05七、有理数的混合运算1.有理数混合运算的运算法则错误：常见的错误有：没有先算括号中的运算，以及以为可以方便运算的则提前运算。注意：有理数的混合运算法则：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．例16（24-25七年级上·河北石家庄·期中）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据P，Q，K的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果．P-Q×K+4(1)所给数字为“-4①按Q→②按K→(2)若给出某个数，按K→P→Q例如：所给数字为“5”，按P→5-计算：原式＝2==0．【答案】(1)①9；②6(2)-【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．（1）①根据题意列式计算即可；②根据题意列式计算即可；（2）根据题意列式计算即可．【详解】（1）解：①按Q→K→-=8+4=9；②按K→P→-==6；（2）解：若给出某个数，按K→P→则14==-8即符合条件的数为-82.混合运算的运算游戏常见的运算游戏如：算“24”点，运算程序流程图，数学规律题等错误：在算“24”点中给到的数字重复使用，在运算程序流程图中没有按照箭头指示的步骤计算，在数字规律中找不到运算规律。例17（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，发现规律是解题的关键．根据输入的x的值分别计算，直到找出规律为止，然后计算即可．【详解】解：第1次输入的x=48，则输出48第2次输入的x=24，则输出24第3次输入的x=12，则输出12第4次输入的x=6，则输出6第5次输入的x=3，则输出3+3=6第6次输入的x=6，则输出6第7次输入的x=3，则输出3+3=6…，可以得出：从第3次开始，6，3，6，3，…，循环出现，∴2012-∴第2012次输出的结果为3，故选：A．例18（2025·广东广州·二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数=3×72+1×【答案】123【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的混合运算，根据题意中的计算方法，列式计算，即可．【详解】解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数=2×故答案为：123．八、近似数1.近似数的实际应用错误：只依靠四舍五入解决问题，没有按照实际情况解决问题。如21吨的垃圾，一辆卡车每次只能运4吨，那么需要运几次。21÷4=5.25≈5次，是错误的，不符合解决实际问题的要求。注意：要充分按照实际要求进行近似数的估算，比如上题中，21÷4=5.25≈6次，不能依靠四舍五入解决问题。有的要全入一个，有的要全舍一个，有的还要根据实际情况考虑入与舍。例19（23-24七年级上·全国·课后作业）四舍五入法中的“新定义”阅读材料：四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同．但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分与实际值的差值不超过最后一位数量级的二分之一，假如0～9等可能出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的．我们规定：对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为x．例如：0=0.48=0，0.64解决问题：(1)π=________（π(2)若x=6，则x的取值范围是________【答案】(1)3(2)5.5【分析】（1）根据题意可进行求解；（2）由题意可进行求解．【详解】（1）解：∵π=3.1415⋯，∴π=3故答案为：3；（2）解：若x=6，①当5<x<6，但x的小数部分大于或等于0.5②当6<x<7，但x的小数部分小于0.5时，即③当x=6时，满足x∴x的取值范围是5.5≤故答案为：5.5≤1.（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）我县某天的最高气温是4℃，最低气温是-A．-6℃ B．6℃ C．2℃ D．-2【答案】B【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，根据题意，日温差等于最高气温减去最低气温，利用有理数减法法则进行计算即可；【详解】解：4℃-因此，这天的日温差是6℃，故选：B2..（2025·广东清远·三模）截至2025年6月8日17时，全国冬小麦收割1.49亿亩，进度过四成，将149000000用科学记数法表示应为（）A．1.49×107 B．1.49×108【答案】B【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，【详解】解：将149000000用科学记数法表示应为1.49×故选：B．3.（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各式运算结果不为0的是（

）A．1+(-1) B．-1-(-【答案】D【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的加减运算法则逐项计算判断即可．【详解】解：A.1+(-B.-1C.1-D.1+|-故选：D．4.（24-25六年级上·上海·期末）下列计算638÷A．94÷7C．94÷7+22【答案】D【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键．先算括号，再根据除以一个数，等于乘以这个数的倒数，由此即可求解．【详解】解：6===51故选：D．5.（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①-1×-2×-3=6；②A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数的除法运算，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．按照有理数的乘法法则和除法法则进行计算即可．注意结果符号的判断．【详解】解：①-1②-36③23④-4综上，计算正确的有：③④，共2个，故选：C．6.（24-25七年级上·河南濮阳·期中）定义一种新运算：a*b=a-ab，例如A．10 B．-10 C．15 D．【答案】B【分析】本题考查的是新定义运算，根据新运算的定义，先计算a的绝对值，再减去a与b的乘积．将a=-5【详解】解：由定义a*代入a=-5-5故选：B．7.（24-25六年级上·山东济宁·期末）在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（

）A．9-32C．36-12÷【答案】C【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则和顺序计算后即可得到答案．【详解】A、9-32÷8=9故A不符合题意；B、24-故B不符合题意；C、36-故C符合题意；D、-3故D不符合题意；故选：C．8.（24-25六年级上·上海·期中）上海冬季某两天的气温如下表所示：最高温度℃最低温度℃第一天3.57第二天-1.5这两天中，第天温差较大．9.（2025·陕西·模拟预测）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，则a+b0．（填“>”“<”或“【答案】<【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，有理数的加法运算，由数轴可知，a<0,b>0，且a【详解】解：由数轴可知，a<0,b>0∴a+故答案为：<．10.（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知x-22与y+4【答案】16【分析】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是明确非负数的性质，求出相应的x、y的值．根据相反数的意义和非负数的性质建立方程，可以得到x、y的值，从而可以求得．【详解】解：∵x-22∴x∴x-2=0∴x=2，∴y故答案为：16．11.（24-25七年级下·四川巴中·期末）聪聪想知道地球距离太阳有多远，他翻阅资料得知光的传播速度约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要5【答案】1.5【分析】此题考查有理数乘法应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，根据距离=速度乘以时间计算，再用科学计算法表示计算结果即可．【详解】解：3=15=1.5×故答案为：1.5×12.（24-25七年级上·广东东莞·期中）在-3，-2，-1，4，5【答案】30【分析】此题考查有理数的乘法，有理数大小比较，解题关键在于掌握运算法则．根据正数大于一切负数，同号得正，异号得负，找出乘积是正数绝对值最大的三个数相乘即可．【详解】解：由题意可知，要使三个数的积最大，则应取绝对值较大的两个负数，一个正数，所以最大乘积是-3故答案为：30．13.（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）若|x|=1，|y|=4，则【答案】3或5【分析】本题考查了绝对值的计算，理解绝对值的意义是关键；由题意可求得x与y的值，再代入计算即可．【详解】解：∵|x|=1，∴x=当x=1，y当x=1，y当x=-1当x=-1综上，|x+y|的值为故答案为：3或5．14.（24-25七年级上·云南·期中）定义a*b=a-【答案】-【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，首先理解a*【详解】2*故答案为：-115.（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是9-8×8×3或9-8÷8×3．现有【答案】-6+10+4【分析】本题考查了有理数的加减乘除