第5章 一元一次方程期末复习（知识清单）（学生版）-浙教版(2024)七上

第5章一元一次方程

1．方程：含有未知数的叫做方程．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．2.等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)，结果仍．即：若a=b，则；等式的性质2：等式两边乘，或除以，结果仍．即若a=b，则，或；3.一元一次方程：只含有未知数（元），未知数的次数都是，这样的方程叫做一元一次方程．4.求方程的解的过程叫做．5.解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的．依据是等式的.(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．依据是等式的.(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数项的得到方程的解x=ba(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．6.解决实际问题的一般步骤：（1）审：根据题意，审清已知条件与问题，审清题中数量及其关系；（2）设：设立适当的未知数表示题中的量；（3）列：表示出其他题中的量，并列出符合题意的一元一次方程的等式；（4）解：解一元一次方程；（5）验：验证方程的解是否符合题意；（6）答：根据方程的解和题意回答问题。7.常见的实际应用：（1）和差倍分问题；（2）几何周长与面积问题，常常考查长方形、正方形等图形的周长，面积；也可能考查三角形、长方形和正方形等图形等面积法。（3）体积、容积问题，尤其是容积问题，常常考查等体积法。（4）行程问题，路程=，以及考查相遇与追赶问题、顺水逆水行船问题、火车进隧道等小学时候已学过的各类行程问题。（5）工程问题，工作总量=。总量也可以设为“1”，此时如果这项工程在n天（或者n小时）完成，则每天（或每小时）完成总量的.（6）分配问题，分配已知总量使得满足“和差倍分”，比如第一组过去n个人到第二组，使得第一组人数是第二组的一半。只要抓住“和差倍分”关系列式即可。如：（第一组新的人数）=12（7）经营问题，销售额=，其中售价按照实际卖出价计算，因此可能考虑打折和促销，数量有关于个数的也有关于重量的。（8）利润率问题，毛利率=。毛利润=销售额－总成本=售价×数量－=（（9）分段计费问题。根据题意先求出每个分段的计费方式和计费单价，再根据所问求出不同分段下的结果。（10）其他问题：比如数字问题，古代数学问题还有韦恩图问题等。1.根据题意列式错误：不能结合简单的数量关系的描述列式注意：先设未知数，再用未知数表示其他的未知量，最后根据题意的等量关系，将不同的未知量列在等式中。例1（25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列情境中的等量关系列出一个等式：(1)一个数x与2的和的4倍等于28．(2)长方形的长为4cm，宽为xcm，面积为S(3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元；(4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元．2.已知方程的解解决问题错误：不能根据已知的方程的解代入，对题目进行探究。注意：在已知方程的解时，可以尝试将这个方程的解代入到方程中去，得到关于字母参数的其他等量关系，进而进行探究即可。例2（25-26七年级上·重庆·期中）若x=a是关于x的方程x-b=23.用等式的性质变形或求方程错误：不能根据等式的性质1和性质2对等式进行变形，或通过移项和系数化为1来求解简易方程。注意：根据等式的性质，我们可以对等式进行如下操作：（1）移项，根据等式的性质1，等式两边同时加上或者减去一个数，达到移项的效果。（2）根据等式的性质2，等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍成立。（3）根据等式的性质2，可以将等式左边带系数的未知数的系数化为1，使得变成x=a的形式，即成为方程的解。例3（24-25七年级上·全国·课后作业）用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并在题后的括号内写出变形的依据．（1）已知2x+1=7，则2x（2）已知4x=x-3，则（3）已知-12x=1，则（4）已知-5y=20，则4.认识一元一次方程错误：在没有整理前就根据定义判断是否为一元一次方程。注意：判断一个等式是不是一元一次方程，要同时满足：①整理后等式中存在x；②等式两边均为整式；③未知数仅有一个；④未知数的最高次为一次。例4（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程m-(1)求m的值．(2)请判断x=2和x(3)求335.解一般的一元一次方程错误：“﹣”号在解一元一次方程时非常重要。在解一般方程时，去括号时括号前是“﹣”号的，对括号中的所有单项不变号；或在利用等式的性质1移项时没有变号，在利用等式的性质2将未知数系数化为1时，遇到同乘或除以一个负数时，漏掉“﹣”号。注意：遇到有“﹣”号时，要格外注意：①去括号时，遇到括号前是“﹣”号的，去括号后，括号中的每一项都要变号，或乘以括号前的系数时，每一项都要乘以“﹣”号；②移项使用的是等式的性质1，效果是每一单项从左边移到右边（或从右边移到左边）时，单项要变号。③在合并同类项后，要将左边关于微指数的一次单项式的系数化为1，则需要两边同时除以这个系数，当系数为负数时，注意右边同样要除以这个负数，每一项的结果同样要变号。例5（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程：(1)x-3=32x+1；(2)6.解带分母的一元一次方程错误：一元一次方程中的去分母是难点，常见的错误有两处：①在等式两边同乘一个数时，常数项没有乘；②混淆分子分母同乘一个相同的数的化简，导致在对分母有小数的分数进行化简时，其他项也跟着乘除。注意：①等式两边同时乘以一个各分母的最小公倍数时，主要常数项也要乘，也就是每个单项都要乘；②遇到分母有小数的化简时，要区分分子分母同乘一个数与等式两边同乘一个数的区别，前者是分数的性质，分子分母同乘一个相同的数，分数的大小不变，意味着与整个方程的其他项无关；而后者是等式两边同乘一个数，每一项都要乘。例6（25-26七年级上·山东东营·开学考试）解方程(1)3x-17.根据新定义或规则列式解决问题错误：对新定义运算的运算法则和运算顺序理解不够。注意：新定义问题，首先要理清楚新的运算法则，以及运算顺序，尤其是括号不能省略。例7（25-26七年级上·安徽合肥·期中）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：abcd=ad-例8（2024七年级上·全国·专题练习）一个“数值转换机”按如图所示的程序计算，若输入的数是30，则输出的结果为56，要使输出的结果为60，则输入的最小正整数是．8.已知一元一次方程的解探究字母参数错误：遇到一元一次方程中，存在表示常数的字母参数时，不能根据方程的解的作用进行探究。注意：学会将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的等式，进而求出字母参数的值，或进行其他探究。例9（22-23七年级下·福建泉州·期中）小李在解方程3a-x=13时，误将-x看作+x例10（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程x-x+34=9.解决一元一次方程的实际问题的基本步骤错误：在实际问题中常见的错误：①不能用所设的未知数x表示题中其他数量；②不能根据题目描述，或根据实际问题中的等量关系列式；③解得的方程的解不进行验算，也不检验是否符合题意。注意：解决实际问题要遵循：①审②设③列④解⑤验⑥答，具体注意回顾知识清单中的第6点。例11（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）某校七年级组织研学活动，若租用45座客车，则有15人无座；若租用60座客车，则可少租1辆，且刚好坐满．(1)求参加研学的学生人数；(2)已知45座客车租金为每辆300元，60座客车为每辆400元，问租哪种车更合算？10.等面积、等体积法的使用错误：不能根据题目隐含的面积不变或者体积/容积不变来列等式。注意：注意运用等面积法和等体积法列一元一次方程，解决问题。例12（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为4cm和8cm，高分别为39cm和10cm．先在右侧容器中倒满水然后将其倒入左侧容器中．倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米？小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有xcm．列方程π×2(1)通过计算比较容器大小，并对小刚的结果作出合理的解释．(2)为避免出现通过小刚的方式操作后左侧容器中的水面离容器口距离为负数，若将右侧容器中的水倒入到左侧容器中后，恰好使得左侧容器倒满，此时右侧容器中的水离右侧容器口有多高？11.相遇问题与追及问题错误：不能根据相遇问题或者追及问题列出正确的关于路程的等量关系。注意：相遇问题的等量关系：A的路程+B的路程=AB之间的距离，若A与B同时出发，则只要：(A的速度+B的速度）×时间=AB之间的距离；追及问题的等量关系：A的路程（速度快的）－B的路程=AB之间的距离，若A与B同时出发，则只要：(A的速度－B的速度）×时间=AB之间的距离。例13（25-26七年级上·全国·课后作业）一条公路上A，B，C三地的位置如图所示．已知B，C两地之间相距240千米，一辆货车从B地出发，向C地匀速行驶，经过30分钟，距A地135千米，又经过1.5小时，距A地225千米．(1)求A，B两地之间的距离；(2)该货车从B地出发时，一辆客车从A地以每小时m千米的速度驶向C地，若两车在距C地30千米到60千米的某处相遇，直接写出m的取值范围．12.分配问题中的配套错误：搞反配套问题中比的关系，比如A和B的数量是2:3的关系，会列成2A=3B；注意：要注意，比如当A和B的数量是2:3的关系时，要将比例写成A的数量：B的数量=2:3，根据比例的性质，得到的是3A=2B。例14（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个．(1)七年级一班有男生和女生各多少人？(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．13.毛利率的算法错误：公式错误认为：毛利率注意：毛利率例15（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知某商场经销A商品，所获的毛利率为20%（毛利率=售价-进价售价），A商品每千克的进价为4014.分段计费问题中的分类讨论错误：不同数量时的计费方式是不同的，在未知具体数量的情况下没有分类讨论，就只能得到一种结果。注意：此类问题一定首先要确定每次计费所在的计费分段。如果没有具体说明，一定要每种情况都进行讨论。例16（24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下：第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度0.5元．第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度0.6元．第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元．【浙江电力】【电费通知】尊敬的客户，户号*户名：*，地址：*。（2022.09.01—2022.09.30）电量227度（其中谷85度），电费105.14元，当前用电处于第一档，剩余58.1度(1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元．(2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量．(3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？1．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列方程中，属于一元一次方程的是（

）A．x-y=2 B．2x-1=02．（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中正确的是（

）A．若a=b，则a+1=b+2C．若a=b，则ac=b3．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（A．40%×80C．224×40%×4．（25-26七年级上·北京·期中）若x=0是关于x的方程5x+3n=1A．-3 B．-13 C．35．（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（

）A．设并深为x尺，所列方程为3(B．绳子的长是32尺C．设绳子的长为x尺，所列方程为1D．井深8尺6．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程x+12-A．3x+1-C．3x+1-7．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）如图是今年本月的日历表，图中的“Z”字形可以在表中移动，并且始终可以框住日历表中的7个数．以下数中，是可以框住的7数之和的是（

）A．116 B．140 C．133 D．1128．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱体容器中，实验开始时圆柱体容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱体容器液面高度ycm与时间xh时间x12345圆柱体容器液面高度y610141822如果本次实验记录的开始时间是上午8:00，那么当圆柱体容器液面高度达到8cmA．8:30 B．9:30 C．10:00 D．10:309．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果5x=10-2x（2）如果7x=5x+4，那么10．（25-26七年级上·全国·单元测试）小明在解方程时，不小心将方程中一个常数污染了导致看不清楚，被污染的方程是：2x-1=x+11．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知m-1=3，那么12．（18-19七年级上·全国·单元测试）新华书店举行购书优惠活动①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元以上一律打七折小丽在这次活动中，两次购书总共付款240.87元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是元．13．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程：(1)3x-3+2(3)2x-13-14．（25-26七年级上·吉林长春·阶