材料力学(西安交大版)教学课件NO4弯曲内力

材料力学4.1平面弯曲及梁的计算简图4.2弯曲内力——剪力与弯矩4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用4.5按叠加原理作弯矩图第4章弯曲内力在实际工程中，存在着大量的受弯构件。例如，图(a)中的桥式吊车梁，图(b)中的火车轮轴，以及图（c）中的管线托架等，其所有横向外力均作用在包含杆件轴线的纵向平面内，变形时，杆件的轴线由直线变为曲线。

平面弯曲4.1.1

4.1平面弯曲及梁的计算简图图4-1一般来说，当作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线或在其轴线平面内作用有外力偶时（见图4-2)，这些杆件的轴线由直线变为曲线，这种形式的变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。图4-2

4.1平面弯曲及梁的计算简图工程中常见的梁，其横截面一般都具有对称轴，则全梁有一个包含轴线和截面对称轴的纵向对称面，当所有外力都位于纵向对称面内时，梁的轴线弯成位于该纵向对称平面内的一条平面曲线（见图4-2)。这是弯曲问题中最常见的情况，也是最基本的弯曲问题，称为平面弯曲。材料力学主要讨论平面弯曲问题。

4.1平面弯曲及梁的计算简图

梁的计算简图4.1.2图4-1所示的各梁，其结构形式、支承情况和载荷作用方式各不相同。为便于讨论，有必要将实际情况进行适当简化，得到梁的计算简图。简化的前提是能够反映实际结构的本质特征，并且据此计算的结果能够满足工程中的精度要求。图4-1中在各实际结构图的下方，绘出了相应的计算简图。实际工程中，梁的几何形状和支承情况是多种多样的，为了便于分析和计算，通常以梁的轴线表示梁本身。

4.1平面弯曲及梁的计算简图（1)固定铰支座。图4-3(a)所示是固定铰支座的简化形式。该支座限制梁在载荷平面内沿支承面和垂直于支承面方向的移动。固定铰支座有两个约束，相应有两个约束反力，即沿支承面的反力和垂直于支承面的反力。传动轴的止推轴承一般可简化为固定铰支座。梁的支座1.图4-3

4.1平面弯曲及梁的计算简图图4-1(a)、图4-1(b)所示的通过车轮放置在轨道上的吊车主梁和火车轮轴，因车轮凸缘可限制梁的轴向移动，且同一时刻只有一条钢轨与凸缘接触，故其中一条钢轨可简化为固定铰支座，而另一条钢轨则视为可动铰支座。

4.1平面弯曲及梁的计算简图（2)可动铰支座。图4-3(b)所示是可动铰支座的简化形式。该支座限制梁在载荷平面内沿垂直于支承面方向的移动。可动铰支座有一个约束，相应只有一个约束反力，即垂直于支承面的反力。桥梁的滚轴支承、传动轴的径向滚动轴承等，一般可简化为可动铰支座。

4.1平面弯曲及梁的计算简图（3)固定端。图4-3(c)所示是固定端约束的简化形式。该支座限制梁在载荷平面内沿支承面和垂直于支承面方向的移动，也限制梁在载荷作用面内的转动。固定端约束有三个约束，相应有三个约束反力，即沿支承面的反力、垂直于支承面的反力和约束反力偶。图4-1(c)所示的管线托架的固定端、车刀在车床刀架上的压紧端、镗刀杆在镗床中的夹紧端等，一般都可简化为固定端约束。

4.1平面弯曲及梁的计算简图（1)集中力。作用在梁上很小区域的横向力，如图4-1中重物经滑轮与小车作用在吊车主梁上的力、火车车厢通过轴承作用在轮轴上的力及管线作用在托架上的力等，都可简化为集中力。集中力通常用F表示，常用单位是N或kN。载荷的基本类型2.

4.1平面弯曲及梁的计算简图（2)分布载荷。连续作用在梁的一段或整个长度上的横向力可简化为分布载荷。建筑结构承受的风压、水压以及梁的自重等是常见的分布载荷。分布载荷的大小用载荷集度q衡量，常用单位是N/mm或kN/m。q为常数的分布载荷称为均布载荷。(3)集中力偶。外力偶只作用在承力构件与梁连接处的很小区域上，称为集中力偶。集中力偶的常用单位是N·m或kN·m。

4.1平面弯曲及梁的计算简图（1)一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁称为简支梁，如图4-4(a)所示。（2)一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座，而梁的一端或两端伸出支座之外的梁称为外伸梁，如图4-4(b)、图4-4(c)所示。简支梁或外伸梁的两个铰支座之间的距离称为跨度。（3)一端固定、另一端自由的梁称为悬臂梁，如图4-4(d)所示。静定梁的基本形式3.

4.1平面弯曲及梁的计算简图图4-4

4.1平面弯曲及梁的计算简图简支梁、外伸梁和悬臂梁都属于静定梁，即梁的约束力均可由静力平衡方程完全确定。有时因工程的需要，为一个梁设置较多的支座，因而梁的约束力数目多于独立的静力学平衡方程的数目，这时仅用静力学平衡方程不能完全确定约束力，这种梁称为超静定梁。

4.1平面弯曲及梁的计算简图当梁上所有外力均为已知时，可用截面法分析静定梁各横截面上的内力。如图4-5(a)所示，F1、F2和F3为作用于简支梁上的外力，FA和FB为两端的约束力。现分析距A端为x处横截面m—m上的内力。按截面法沿m—m横截面假想地将梁截开，分成左右两段，任选其中一段（如取左半段）为研究对象，如图4-5（b)所示。由于整个梁处于平衡状态，故梁的左半段也应处于平衡状态。在左半段梁上作用有外力FA与F1，为了保持左半段梁的平衡，m—m横截面上存在弯曲内力。4.2弯曲内力——剪力与弯矩为了分析其内力，将作用在左半段梁上的所有外力均向截面的形心C简化，得主矢FS和主矩M。由于外力均垂直于梁轴，因此主矢FS也垂直于梁轴。由此可见，当此梁弯曲时，横截面上必然同时存在两种内力分量：与主矢平衡的内力（称为剪力），其作用线与横截面相切，用FS表示，它是与横截面相切的分布内力系的合力；与主矩平衡的内力偶矩（称为弯矩），作用在过梁轴线的平面内，用M表示，它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。剪力和弯矩同为横截面上的内力，可由左半段梁的静力学平衡方程来确定。4.2弯曲内力——剪力与弯矩图4-54.2弯曲内力——剪力与弯矩根据左半段梁的静力学平衡方程∑Fy=0，FA－F1－FS=0得FS=FA－F1(4-1)即剪力FS的大小等于左半段梁上所有外力的矢量和。再由平衡方程∑MC=0，M+F1(x－a)－FAx=0得M=FAx－F1(x－a)(4-2)即弯矩M等于左半段梁上所有外力对形心C的矩的矢量和。4.2弯曲内力——剪力与弯矩同理，如果以右半段梁为研究对象［见图4-5（c)］，并根据右半段梁的静力学平衡条件计算m—m横截面上的内力，将得到与式(4-1)、式(4-2)相同的剪力和弯矩。即无论取左半段为研究对象，还是取右半段为研究对象，通过静力学平衡方程计算同一横截面上的剪力FS和弯矩M，其数值是相同的，但符号相反。4.2弯曲内力——剪力与弯矩为使上述两种算法得到的同一横截面上的剪力和弯矩的数值相同，而且符号也一致，须按照梁的变形情况来规定它们的正负号。现规定：从梁内欲求内力的截面附近取微梁段，凡使该微段发生左上右下的相对错动时，横截面上的剪力为正［见图4-6（a)］，反之为负；使微段弯曲呈凹形的弯矩为正［见图4-6（b)］，反之为负。按此规定，图4-5（b）、图4-5（c）所示的剪力与弯矩均为正值。4.2弯曲内力——剪力与弯矩图4-64.2弯曲内力——剪力与弯矩

根据上述关于符号的规定，一个截面上的剪力和弯矩无论用这个截面左侧还右侧的外力来计算，所得结果的数值和符号都是一样的。上述结论可归纳为一个简单的口诀：“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”。4.2弯曲内力——剪力与弯矩综上所述，可将计算剪力和弯矩的方法总结如下：（1)根据梁的整体平衡方程计算约束力。（2)在欲求内力的横截面处，假想将梁截开，并任选一段来研究。为计算方便，通常取外力比较简单的一段梁为研究对象。（3)画出所选梁段的受力图，图中剪力FS和弯矩M均假设为正。（4)由平衡方程∑Fy=0计算剪力FS。（5)由平衡方程∑MC=0计算弯矩M，其中C为所截横截面的形心。4.2弯曲内力——剪力与弯矩【例4-1】4.2弯曲内力——剪力与弯矩解：（1）计算支反力。设支座A、B处的约束反力分别为FA、FB。由静力学平衡方程4.2弯曲内力——剪力与弯矩（2）计算Ⅰ—Ⅰ截面的剪力与弯矩。沿截面Ⅰ—Ⅰ将梁假想地截开，并选左段为研究对象，如图4-7(b)所示。由平衡条件得∑Fy=0，FA－FS1=0∑MC1=0，FA×1m－M1=0分别求得截面Ⅰ—Ⅰ的剪力和弯矩为

FS1=1.5kNM1=1.5kN·mFS1、M1的值都为正值，表示FS1M1的实际方向与图4-7(b)中所示方向相同。4.2弯曲内力——剪力与弯矩（3）计算Ⅱ—Ⅱ截面的剪力和弯矩。沿截面Ⅱ—Ⅱ将梁假想地截开，并选受力较少的右段为研究对象，如图4-7(c)所示。由平衡条件得∑Fy=0，FS2－q×1m=0∑MC2=0，M2+q×1m×0.5m=0分别求得截面Ⅱ—Ⅱ的剪力和弯矩为

FS2=2kNM2=－1kN·mM2为负号，表示M2的实际方向与图4-7(c)中所示方向相反。4.2弯曲内力——剪力与弯矩【例4-2】图4-84.2弯曲内力——剪力与弯矩解：(1)求约束力。设FA、FB方向向上，由静力学平衡方程得

FA=10kN，FB=10kN(2)求指定截面的剪力和弯矩。取1—1截面的左半段梁为研究对象，得4.2弯曲内力——剪力与弯矩取3—3截面的右半段梁为研究对象，得

取4—4截面的右半段梁为研究对象，得4.2弯曲内力——剪力与弯矩一般情况下，在梁的不同横截面上，剪力与弯矩均不相同，即剪力与弯矩是沿梁轴线变化的。为了描述剪力与弯矩沿梁轴线的变化规律，沿梁轴线选取坐标x表示横截面的位置，则各截面上的剪力、弯矩皆可表示为坐标x的函数，即

FS=FS(x)

M=M(x)

上述函数表达式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图为了形象地显示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可根据剪力方程和弯矩方程绘出梁的剪力图和弯矩图，作图方法与绘制轴力图或扭矩图相似。即以x为横坐标轴，表示横截面的位置，以FS或M为纵坐标轴，按适当的比例尺分别绘制剪力、弯矩沿梁轴线变化的规律。绘制剪力图和弯矩图时，通常规定正剪力和正弯矩画在x轴的上侧，负剪力和负弯矩画在x轴的下侧。（注：土木类专业正弯矩画在x轴的下侧，负弯矩画在x轴的上侧，在以后内容中不再单独绘制）。

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图【例4-3】图4-9

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图解：(1)计算约束力。均布载荷合力为FR=ql，其作用在梁中点，故A端和B端的约束力为

(2)建立剪力方程和弯矩方程。以梁左端A点为坐标原点，取距左端为x的任意截面，根据截面左侧梁上的外力，由图4-9(b)可得梁的剪力方程和弯矩方程分别为

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图(3)作剪力图和弯矩图。由式(Ⅰ)知，剪力FS为x的一次函数，故剪力图为一条斜直线，确定其上两个端点即可作出图4-9（c）所示的剪力图。

由式(Ⅱ)知，弯矩M为x的二次函数，故弯矩图为一条抛物线。为了画出此抛物线，确定其上至少三个点即可作出图4-9（d）所示的弯矩图。

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图由剪力图和弯矩图可以看出：在剪力为零的截面处，弯矩取得极值；在梁段范围内，分布载荷为线性均匀分布，即水平直线，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图【例4-4】图4-10

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图(2)建立剪力方程和弯矩方程。由于在截面C处作用有集中载荷F，AC和BC两段的剪力和弯矩不能用同一方程来表示，应分段建立剪力方程与弯矩方程。对于AC段，选A点为原点，坐标轴x1向右为正，由图4-10(b)可知，该段梁的剪力与弯矩方程分别为

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图对于BC段，为计算方便，选B点为原点，并用坐标x2表示横截面位置，则由图4-10(c)可知，该段梁的剪力方程与弯矩方程分别为(3)作剪力图和弯矩图。根据式(Ⅰ)和式(Ⅱ)作剪力图，如图4-10(d)所示；根据式(Ⅱ)和式(Ⅳ)作弯矩图，如图4-10(e)所示。由图可看出，在集中载荷F作用的C截面的弯矩最大，其值为

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图【例4-5】

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图解：(1)建立剪力方程和弯矩方程。由于在截面C处作用着集中外力偶Me，故应将梁分成AC和CB两段。选A为原点，对于AC段，坐标x1表示截面位置，可以看出，AC段的剪力方程和弯矩方程分别为

(2)作剪力图和弯矩图。根据式(Ⅰ)、式(Ⅲ)作剪力图，如图4-11（b)所示；根据式(Ⅱ)、式(Ⅳ)作弯矩图，如图4-11（c)所示。

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图由剪力、弯矩图可以看出，在集中外力偶作用处，弯矩发生突变，突变量等于此外力偶之矩|MC右－MC左|=|0－Fa|=Me，从左向右观察，外力偶上台阶向正向突变，外力偶下台阶则向负向突变；集中外力偶对剪力无影响。

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图【例4-6】图4-12

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图

(2)建立剪力方程和弯矩方程。梁截面C处，既是集中载荷作用处，也是分布载荷的不连续处，故应将梁分为AC、CB两段。对于AC段，取A点为原点，坐标x1表示截面位置，则AC段的剪力方程和弯矩方程分别为

(Ⅰ)(Ⅱ)对于CB段，取B点为原点，坐标x2表示截面位置，则CB段的剪力方程和弯矩方程分别为

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图【例4-7】图4-13(2)建立剪力方程和弯矩方程。选坐标x1、x2，如图4-13(a)所示。则梁AB段、BC段的剪力方程和弯矩方程分别为

AB段：BC段：

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图

(3)作剪力图和弯矩图。根据上述方程可作出剪力图和弯矩图，分别如图4-13(b)与图4-13(c)所示，其中在梁BC段中点D截面上，FSD=FS2(a)=q(a－a)=0，弯矩取极值，即

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图通过以上各例题，现将剪力图和弯矩图的绘制步骤归纳如下：（1)求解约束力。（2)划分梁段，并列出各段的剪力方程和弯矩方程。若梁受多个外载荷作用，须先将梁分成若干段分析。支座、集中力和集中力偶的作用点、分布载荷的起点与终点等，应作为段与段的分界点。（3)根据各段梁的剪力方程和弯矩方程，作梁的剪力图和弯矩图。在图上须注明各个控制截面上剪力或弯矩的数值。所谓控制截面，是指梁的端截面、各段梁的分界面以及极值剪力和极值弯矩所在的截面。

4.3弯曲内力图——剪力图与弯矩图

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用如图4-14(a)所示，以梁的左端为坐标原点建立正交直角坐标系。梁上分布载荷的集度q(x)是x的连续函数，并将向上作用的分布载荷q(x)规定为正。从梁中取出长为dx的微梁段，并放大，如图4-14(b)所示。微梁段左侧x截面上的剪力和弯矩分别是FS(x)和M(x)。微梁段右侧x+dx截面上的剪力为FSx+dx=FS(x)+dFS(x)，弯矩为Mx+dx=M(x)+dM(x)。根据符号规则，微梁段dx上的各内力皆取正值，且设dx微梁段内没有集中力和集中力偶。由于梁处于平衡状态，故截出的微梁段也应处于平衡状态。这样，根据静力学平衡方程∑Fy=0，得图4-14

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用根据上述导数关系，容易得出以下规律，有利于绘制或校核剪力图和弯矩图。(1)当某梁段内无分布载荷作用，即q(x)=0时。由

可知，在该梁段内FS(x)＝常数，即剪力图是平行于x轴的直线。由

=常数可知，M(x)是x的一次函数，即弯矩图是一条斜直线。特殊情况：当FS(x)=0时，弯矩图为一条水平线。

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用式（4-6）和式（4-7）表明，对于图414所示的坐标系，当x2>x1时，任意两截面上的剪力之差等于两截面间分布载荷所覆盖的面积；任意两截面上的弯矩之差等于两截面间剪力图所覆盖的面积。以上所述的关系，亦称为面积增量法，此方法对绘制与校核剪力图和弯矩图非常有效。

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用

(5)在集中外力作用处，剪力发生突变，突变量等于此外力数值的大小，突变方向与此外力作用的方向一致；弯矩图在该处有一个尖角；在集中外力偶作用处，弯矩发生突变，突变量等于此外力偶之矩，从左向右观察，外力偶上台阶向正向突变，外力偶下台阶则向负向突变；集中外力偶对剪力无影响。

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用【例4-8】图4-15

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用求得约束力之后，根据梁所受的外力，可以将梁分为四段，即CA、AD、DB和BE如图4-15（a)所示。在CA、AD两段，因无均布载荷作用，故CA、AD两段的剪力图为水平线，弯矩图为斜直线，其中由于AD段剪力为零，故AD段的弯矩图为特殊的斜直线——水平线。在DB和BE两段，因有均布载荷作用，故DB和BE两段的剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用下面就从左至右，利用表4-1给出的特征，直接画FS、M图。由于C截面有集中力F作用，故剪力图在C截面上有突变，方向向下，突变值F=ql；CA段无均布载荷作用，故剪力图为水平线；A截面有集中力FA作用，故剪力图有突变，方向向上，突变值FA=ql，剪力由－ql变为0；AD段无均布载荷作用，剪力图为水平线；DB段有均布载荷作用，故剪力图为斜直线，因q是向下作用的，故斜直线也是向下倾斜的，即是递减的；根据，且FSD=0，所以FSB=－ql，B截面有集中力FB作用，故剪力图有突变，方向向上，突变值FB=2ql，剪力由－ql变为ql；BE段有均布载荷q作用，故剪力图为斜直线，因q是向下作用的，故斜直线也是向下倾斜的，且剪力的坐标之差为BE段内均布载荷所覆盖的面积，即，所以FSE=0。

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用【例4-9】图4-15

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用根据梁所受的外力，将该梁分为四段，即CA、AD、DB和BE。根据表4-1可知，在CA和BE两段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；在AD和DB两段剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；在A、B两截面，有集中力FA、FB作用，故剪力图有突变；在D截面，有集中力偶矩Me作用，故弯矩图有突变。各截面的坐标值可根据以下方程来确定。最后，从左至右，就可作出全梁的剪力图和弯矩图，如图4-16（b）、图4-16（c）所示。从图中可知

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用从上例可以看出，该梁所承受的载荷对于D截面是反对称载荷，则剪力图对于D截面正对称，而弯矩图对于D截面反对称。同理可证明，若梁所承受的载荷对某一截面对称，则剪力图对该截面反对称，而弯矩图对该截面正对称。

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用【例4-10】

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用由于梁上外力将梁分为四段，因此需分段绘制剪力图和弯矩图。因AE、ED、KB三段梁上无分布载荷，即q(x)=0，故该三段梁上的剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。应当注意，在支座A及截面E处有集中力，剪力图有突变，要分别计算集中力作用处的左、右两侧截面上的剪力值。在ED段的中间铰C处的弯矩为零。DK段q(x)方向向下，即q(x)<0，剪力图为向右下方倾斜的直线，M图为向上凸的二次抛物线。在FS=0的截面上弯矩有极值。由各段的剪力值和弯矩值并结合微积分关系，便可作出该梁的剪力图和弯矩图，分别如图4-17（b）和图4-17（c）所示。

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用图4-17

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用【例4-11】

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用作剪力图，如图4-18（b)所示。注意到FSC左=FSC右，C面剪力无突变。图4-18

4.4载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用（2)作载荷图。AC段：由剪力图为水平线知AB梁上q=0，只可能有集中力与力偶作