材料力学(西安交大版)教学课件NO7应力状态和强度理论

材料力学第7章

应力状态和强度理论7.1应力状态的基本概念7.2平面应力状态分析的解析方法7.3二向应力状态分析的图解法7.4三向应力状态及其应力圆7.8强度理论概述7.9四种常用的强度理论7.10各种强度理论的应用7.5平面应变状态分析7.6广义胡克定律7.7应变能密度

应力状态是指受力构件中一点处的应力情况，是过该点在不同方位截面上的应力的集合。杆件轴向拉伸时所取截面方位不同，截面上的应力随之而异，如图7-1所示。

7.1应力状态的基本概念图7-1圆轴扭转时横截面上的应力沿半径方向逐点变化，而某一点处的应力又随截面方位不同而改变，如图7-2所示。由此可见，构件受到外力作用时，同一点处不同截面上的应力是不同的。研究一点处的应力状态，就是要分析该点不同截面上的应力之间的联系和特点。构件强度的判断、强度理论的建立都与应力状态的分析有关。图7-2

7.1应力状态的基本概念通常采用单元体的方法来研究一点处的应力状态。受力构件中微小的正六面体称为单元体。“正六面体”是指单元体各相邻侧面相互垂直，即正方体或长方体。“微小”是指同一个面上的应力可以看成是均匀的，相对的两个平行面上的应力是大小相等而方向相反的。在构件一点附近可以取无数个不同方位的单元体。

7.1应力状态的基本概念原始单元体7.1.1从受力构件中截取的各面上应力均已知的单元体称为原始单元体。从受力构件内一点处截取原始单元体是十分重要的，它是应力状态分析的基础，也是研究该点处不同方位截面上应力状况的关键。

7.1应力状态的基本概念在图7-1(a)所示的轴向受拉构件A点处，通过两个横截面和四个纵向截面，围绕A点截取的单元体各面上的应力均为已知，此单元体即为原始单元体，如图7-1(c)所示。而沿45°方向取出的单元体，各个侧面上的应力是未知的，需要通过分析计算才能全部得到，就不是原始单元体，如图7-1(d)所示。在图7-2(a)所示的受扭圆轴上，通过横截面、径向截面、同心圆柱面围绕A点截取的微小正六面体为原始单元体，如图7-2(c)所示。而沿45°方向取出的单元体为非原始单元体，如图7-2(d)所示。

7.1应力状态的基本概念在如图7-3(a)所示的简支梁上，A点处通过横截面和纵截面取出的原始单元体如图7-3(b)所示，侧面上有两个应力分量，正应力，切应力为

。可见，原始单元体往往是在应力已知的截面截取的。通过前面的研究，我们已经熟悉杆件基本变形时横截面上的应力，故原始单元体一般可通过截取横截面获得。图7-3

7.1应力状态的基本概念一般来说，从受力构件内一点处任意截取的单元体，其侧面上既有正应力，也有切应力，如图7-4(a)所示。如果取出的单元体，某个侧面上只有正应力而没有切应力，则称其为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主平面的法线方向称为主应力方向，简称主方向；六个面都是主平面的单元体称为主单元体，如图7-4(b)所示。理论分析可以证明，各点处的主单元体是一定存在的。主单元体上的三个主应力按代数值大小排列，分别记为σ1、σ2和σ3，即σ1≥σ2≥σ3。如图7-1(c)所示的主单元体中，σ1=σ>0，σ2=σ3=0。

主应力和应力状态的分类7.1.2单元体上的应力1.

7.1应力状态的基本概念图7-4

7.1应力状态的基本概念（1）按照单元体的应力是否在同一个平面进行分类。单元体有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内，则称为平面应力状态；单元体三对平面上都有应力，则称为空间应力状态。应力状态的分类2.

7.1应力状态的基本概念（2）按照主单元体上的主应力对应力状态进行分类。①若三个主应力中只有一个主应力不为零，则称为单向应力状态，又称为简单应力状态，如图7-1(c)所示。②若三个主应力中有两个主应力不为零，只有一个主应力为零，则称为二向应力状态，如图7-2(d)所示。压力容器外表面上的点和横力弯曲的梁上各点一般为平面应力状态。

7.1应力状态的基本概念在滚珠轴承(见图7-5)中，滚珠与外圈接触处A点的应力状态就是三向应力状态。二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。图7-5

7.1应力状态的基本概念④若三个主应力均为零，则称为零应力状态，零应力状态只是指一点的应力情况，并不代表构件不受力，比如纯弯曲梁中性轴上的点就处于零应力状态。⑤当单元体的各个面上只有切应力而没有正应力时，称为纯剪切应力状态，如图7-2(c)所示。

7.1应力状态的基本概念从受力构件中取出图7-6(a)所示的单元体，其如单元体前、后面（法线平行z轴方向）上既无正应力也无切应力，则该单元体前、后面为主平面，且主应力为零，处于平面应力状态。

7.2平面应力状态分析的解析法图7-6

斜截面上的应力7.2.1现采用解析法研究任意一个与z轴平行的斜截面上的应力。设单元体上的应力σx、σy、τxy

和τyx均为已知，如图7-6(a)所示。根据切应力互等定理有τyx=ττxy

（切应力下角标第一个字母表示应力所在截面与该轴垂直，第二个字母表示应力所在截面与该轴平行）。从x轴正向逆时针转到斜截面ef外法线方向n的方位角α为正，如图7-6(b)所示。通过斜截面ef截取单元体的下三角块afe。设斜截面上的应力分量为σα和τα，其中正应力σα以拉为正，切应力对保留部分内任意一点之矩为顺时针方向时规定为正，如图7-6(c)所示。若斜截面ef的面积为dA，则af面和ae面的面积分别为dAsinα和dAcosα。

7.2平面应力状态分析的解析法

7.2平面应力状态分析的解析法对于任意斜截面，利用式(7-1)和式(7-2)，可求得其上的正应力和切应力。斜截面上的应力是角度α的函数。若再取β截面与α截面垂直，即β=α+90°（见图），则有

(7-3)(7-4）

7.2平面应力状态分析的解析法将式(7-1)和式(7-3)相加，得到

(7-5）即平面应力状态单元体的两个互相垂直截面上的正应力之和恒为常数。又比较式(7-2)和式(7-4)可看出

(7-6）即平面应力状态单元体的互相垂直截面上的切应力等值、异号。进一步证明了前述切应力互等定理。

7.2平面应力状态分析的解析法【例7-1】

7.2平面应力状态分析的解析法解：以水平向右为x轴正向，则σx=－40MPa，σy=60MPa，τxy=－50MPa。(1)ab截面上的应力为

7.2平面应力状态分析的解析法

(2)ac截面上的应力为由此例可知，斜截面上的应力计算与坐标的选择无关，计算时可选择便于计算的坐标方向。习惯上选择水平向右为x轴，不需指明。

7.2平面应力状态分析的解析法

斜截面上的主应力7.2.2斜截面上正应力的表达式是角度2α的三角函数关系，设其在2α=2α0时取到极值，则有

(7-7）即(7-8）考虑到σα是周期为π的函数，在一个周期内有两个解满足上述条件，分别记为α′0和α″0。它们相差90°，分别对应σα的极大值或极小值。将α0代回式(7-1)，得

7.2平面应力状态分析的解析法α′0和α″0中哪个是最大正应力的方向，可根据原始单元体的应力进行判断(不再证明)。若σx>σy，则σmax与σx的夹角的绝对值小于45°；若σx<σy，则σmax与σy的夹角的绝对值小于45°。(也可用切应力判断：σmax所在截面的外法线方向在单元体两个切应力共同指向的象限内，σmin所在截面的外法线方向在两个切应力共同背离的象限内)。比较式(7-2)和式(7-7)可知，当α=α0时，τα=0。因此，正应力取极值的截面是主平面，α0为主应力方向。正应力的极大值和极小值是该点应力状态的两个主应力。

7.2平面应力状态分析的解析法切应力的极值7.2.3根据式(7-2），设切应力在2α=2α1时取到极值，则有

(7-10）即(7-11）

τα的周期也是π，在一个周期内有两个解满足上述条件，分别记为α′1和α″1。它们相差90°，分别对应τα的极大值或极小值。将α1代回式(7-2)，得

7.2平面应力状态分析的解析法τα的周期也是π，在一个周期内有两个解满足上述条件，分别记为α′1和α″1。它们相差90°，分别对应τα的极大值或极小值。将α1代回式(7-2)，得

(7-12）

比较式(7-1)和式(7-10)可知，当α=α1时

由于tan2α0tan2α1=－1，故α0和α1相差45°。即切应力极值平面的外法线方向与主应力方向相差45°，如图所示。

7.2平面应力状态分析的解析法【例7-2】

7.2平面应力状态分析的解析法根据式(7-9），主应力为

由于另一主应力为零，按照主应力的记号规定，三个主应力分别为

σ1=80.71MPa，σ2=0，σ3=－60.71MPa

7.2平面应力状态分析的解析法由于σx<σy，则Gmax与Gy的夹角的绝对值小于45°，主单元体如图所示。根据式(7-12），最大切应力为

7.2平面应力状态分析的解析法应力圆的定义7.3.1

7.3二向应力状态分析的图解法前面给出了单元体内任意斜截面上应力的表达式(7-1)和(7-2)。为了利用图形求解斜截面应力，将其改写为

消去α后，得到

(7-13）

7.3二向应力状态分析的图解法式（7-13）为σOτ坐标系中一个圆的方程，该圆（见图）的圆心在σ轴上，其坐标为

，半径

。此圆称为应力圆（莫尔圆）。应力圆圆周上点的坐标与单元体各斜截面上的应力相对应。应力圆的作法7.3.2

(1)在σOτ坐标系中画出单元体中x方向面上的应力(σx，τxy)对应的点D。(2)同样画出单元体中y方向面上的应力(σy，－τyx)对应的点D′。(3)连接DD′与σ轴交于点Cσ，点C为应力圆的圆心。

7.3二向应力状态分析的图解法(4)以点C为圆心

为半径作圆，如图7-11所示。也可以通过任意两个斜截面上的应力确定应力圆上的两个点，同时考虑到应力圆关于σ轴的对称性来作应力圆。

7.3二向应力状态分析的图解法（1）单向应力状态，应力圆与τ轴相切，如图所示。

7.3二向应力状态分析的图解法（2）原始单元体上一个正应力为零的应力状态，应力圆与τ轴相交，如图所示。

7.3二向应力状态分析的图解法（3）二向等拉和等压应力状态，τxy=0，应力圆为点圆，如图所示。

7.3二向应力状态分析的图解法（4）纯剪切应力状态，σx=σy=0，应力圆的圆心在坐标原点，如图所示。

7.3二向应力状态分析的图解法【例7-3】图7-16

7.3二向应力状态分析的图解法

7.3二向应力状态分析的图解法应力圆和斜截面上应力的对应关系7.3.3先计算应力圆上任意一点E的坐标。如图7-11所示，设CD与σ轴正向的夹角为φ0，从CD逆时针转到CE的角度为φ。则点E的坐标为(7-15）(7-15）

7.3二向应力状态分析的图解法

7.3二向应力状态分析的图解法可见E点坐标对应单元体上法线方向为的截面上的应力。所以应力圆的点坐标和单元体斜截面上的应力一一对应。应力圆上从D点逆时针转过圆心角2α=φ的点的坐标，对应单元体上法线方向为α的斜截面上的应力。总结起来为“圆上一点，体上一面；转向相同，角度减半”。显然A1点和A2点的横坐标分别为最大正应力和最小正应力，即(7-16）

7.3二向应力状态分析的图解法

7.3二向应力状态分析的图解法利用应力圆研究一点的应力状态7.3.4根据应力圆的特点，可以利用应力圆方便地求出斜截面上的应力和分析一点的应力状态。一般要根据已知条件先画出应力圆，确定应力圆的圆心和半径，以及φ0的大小。根据式(7-14)和式（7-15），法线方向为α的斜截面上的应力为

7.3二向应力状态分析的图解法【例1-4】

7.3二向应力状态分析的图解法

7.3二向应力状态分析的图解法

7.4三向应力状态及其应力圆如图7-19(a)所示，设法线方向沿z轴的平面为主平面，则σz为主应力。分析和z轴平行的截面上的应力分量。作截面abb′a′平行于z轴，法线方向与x轴正向的夹角为α，如图7-19(b)所示；截取与二向应力状态相似的单元体的三角块，列图示法线n方向和切线t方向的平衡方程，得到(7-21)

(7-22)

7.4三向应力状态及其应力圆α变化时这些截面中的正应力极值为

(7-23)则所有与z轴平行的截面上的应力与主应力σz无关，画出的应力圆是由另外两个主应力σ′max、σ′min确定的一个圆周。三个主应力为σ′max、σ′min、σz按代数值顺序的排列。设σ

1=σ′max，σ2=σ′min，σ3=σz，主单元体如图7-19(c)所示。图7-19

7.4三向应力状态及其应力圆对于三个主应力均已知的应力状态，其单元体如图7-20(a)所示。根据前面的分析，所有与σ1平行的截面上的应力均可用由σ2和σ3确定的应力圆C1来表示；所有与σ2平行的截面上的应力均可用由σ1和σ3确定的应力圆C2来表示；所有与σ3平行的截面上的应力均可用由σ1和σ2确定的应力圆C3来表示，如图7-20(b)所示。三个应力圆的切应力极值分别为

7.4三向应力状态及其应力圆图7-20

7.4三向应力状态及其应力圆切应力极值只与其所在应力圆上的两个主应力有关，与另一个主应力无关。当斜截面不平行于任意一个主方向时，该斜截面上应力分量可用σOτ坐标系中阴影部分的点的坐标来表示。由此可知，过一点所有的斜截面的应力分量中存在以下关系：

(7-25)

7.4三向应力状态及其应力圆【例7-6】

7.4三向应力状态及其应力圆依据三个主应力值，便可作出三个应力圆，如图7-21(b)所示。该单元体的最大切应力(最大的应力圆的半径)为图7-21

7.4三向应力状态及其应力圆构件内任意一点处在不同方位截面上的应力一般不同。与此相似，不同方位的应变一般也不相同。当构件内某点处的变形均平行于某一平面时，其各应变分量也平行于此平面，此时称该点处于平面应变状态。

7.5平面应变状态分析任意方向的应变7.5.1设构件内某点处于平面应变状态(在xOy平面内)，应变分量εx、εy、γxy均已知。为研究α方向上的应变，取单元体abcd［见图7-22(a)］。边长分别为ab=dx，bc=dy，且对角线ac=ds与x方向的夹角为α，则dx=dscosα，dy=dssinα。

7.5平面应变状态分析单元体发生变形后［见图7-22(b)］，x方向的伸长量εxdx使c点移到c″点，y方向的伸长量εydy使c″点移到点，∠dab增加了γxy变成∠d′ab′使

点移到c′点，对角线ac变成了ac′。在小变形条件下，对角线的伸长量为

7.5平面应变状态分析

7.5平面应变状态分析图7-22

7.5平面应变状态分析根据切应力正方向的规定，切应变取直角∠eac的增加量为正，由此可得该方位的切应变为

或者写为

(7-28)可以看出，平面应变状态的任一方向的应变关系和平面应力分析中的斜截面上的应力关系十分相似，只需把应力关系中的正应力换成线应变，切应力换成切应变的一半即可。

7.5平面应变状态分析应变的主方向与主应变7.5.2根据斜截面上的应力与任一方位上的应变计算公式的相似性，易得应变取极值时的方向，即应变的主方向为

(7-29)沿该主方向上的线应变称为主应变，可得(7-30)

对于各向同性材料，应力的主方向和应变的主方向是重合的。

7.5平面应变状态分析应变圆7.5.3仿照应力圆的办法，根据已知应变分量可以作出应变圆。利用应变圆可求解平面应变状态问题。图所示的应变圆中，D点的坐标为D′点的坐标为，应变圆的圆心C点的坐标为

，应变圆的半径

7.5平面应变状态分析

7.5平面应变状态分析应变的测量计算7.5.4要计算一点的应变状态，首先要知道该点处的三个应变分量εx、εy和γxy。用应变仪直接测定应变时，切应变不易测量，可采用应变花测出三个方向α1、α2、α3的线应变εα1、εα2、εα3，然后应用平面应变状态分析的公式得到

7.5平面应变状态分析从中可解出εx、εy和γxy。通常采用的应变花有两种，即直角应变花和等角应变花。直角应变花如图(a)所示，(α1，α2，α3)=(0°，45°，90°)；等角应变花如图(b)所示，(α1，α2，α3)=(0°，60°，120°)。

7.5平面应变状态分析【例7-7】

7.5平面应变状态分析

7.5平面应变状态分析由于εy>εx，εmax在α″0=105.5°方向上，如图7-25(a)所示，图7-25(b)给出了该点的应变圆。图7-25

7.5平面应变状态分析

7.6广义胡克定律杆件轴向拉伸或压缩时，在弹性范围内，其变形服从胡克定律，即

或

引起的横向应变为

圆轴扭转时，在弹性范围内，横截面上的切应力和切应变之间的关系满足剪切胡克定律，即一般地，对于各向同性材料构件内一点处的应力状态，其单元体各表面既有正应力又有切应力，如图7-4(a)所示。在小变形情况下，正应力只引起纵向和横向线应变，切应力只引起切应变。因此线应变只与各面上的正应力有关，切应变只与切应力有关。x方向的线应变εx包含正应力σx引起的线应变

和σy、σz引起的横向线应变

、

，因此有(7-37)

7.6广义胡克定律上面的应力应变关系称为各向同性材料的广义胡克定律。

7.6广义胡克定律若单元体的六个面均为主平面［见图7-4(b)］，则其法线方向既是主应力方向，又是主应变方向。广义胡克定律可写为

(7-41)

(7-42)

(7-43)

7.6广义胡克定律这是平面应力状态下的广义胡克定律。此时，

一般不为零。也就是说，平面应力状态一般不是平面应变状态。

7.6广义胡克定律单元体边长的长度变化会引起其体积的变化，设图所示主单元体各边的原始长度分别为dx、dy和dz，其体积为

dV=dxdydz在主应力作用下，单元体的三个边长变为

7.6广义胡克定律单元体的体积变为小变形情况下，略去高阶小量，得

则单位体积的体积改变，即体积应变为

(7-44)

7.6广义胡克定律式（7-46）称为体积胡克定律。体积应变与平均应力σm成正比，比例系数

称为体积弹性模量。若三个主应力相等，则，三个方向尺寸等比例变化，单元体变形前后形状不发生变化，该单元体称为形状不变的单元体，如静水压单元体。若σ1+σ2+σ3=0，则θ=0，此时单元体形状发生变化，但体积不变，该单元体称为体积不变的，如纯剪切单元体。

7.6广义胡克定律【例7-8】

7.6广义胡克定律

解：铜块铅垂方向(z方向)的压应力为

由于铜块水平方向受到刚性凹槽的约束，不能发生变形，其x、y方向的应变为零，根据广义胡克定律，有

解得

三个主应力分别为，

7.6广义胡克定律

7.7应变能密度应变能可通过外力的功来衡量。例如，对于杆件的轴向弹性拉压变形，轴力和变形量呈线性关系，轴力沿轴向不变时的应变能

，轴力沿轴向变化时的应变能。应变能密度

。考虑单元体，体积dV=dxdydz，在单向应力状态下，其应变能密度的计算公式为若三个方向的主应力相同，即σ1=σ2=σ3=σm，则

称为平均应变

)。单元体发生变形后，三个边长的比例没有发生变化，其体积的大小发生变化。此时单元体的应变能密度称为体积改变能密度vV，即

7.7应变能密度若三个方向的主应力之和为零，即σ1+σ2+σ3=0，则σm=εm=0，体积应变θ=0。单元体变形后，体积不发生变化，仅发生形状的变化。此时单元体的应变能密度称为畸变能密度用vd表示，即

(7-50)

7.7应变能密度对于任意处于三向应力状态的主单元体，均可看成上面两种特殊应力状态的组合，如图所示。

7.7应变能密度一个是形状不变的单元体，三个主应为，三个主应变为；另一个是体积不变的单元体，三个主应力分别为

、

和，对应的主应变分别为ε″1、ε″2

和ε″3，则σ″1+σ″2+σ″3=0，θ=ε″1+ε″2+ε″3=0。其应变能密度为

7.7应变能密度实际上，由于应变能密度均为应力或应变的二次函数，且一般是不能叠加的。因此，只有在某些特殊条件下，才能采用叠加的办法计算。比如上面的情况，从式(7-51)可以看出，一种应力状态的应力在另一种应力状态的变形上不做功，或者说做功和为零，这时才可以采用叠加原理。

7.7应变能密度【例7-10】

7.7应变能密度解：AB段的轴力FNAB=30kN，伸长量，弹性应变能为

7.7应变能密度【例7-11】

7.7应变能密度此外，根据图7-14可知，纯剪切的主应力是σ1=τ，σ2=0，σ3=-τ。把主应力代入式(7-49)又可算出应变能密度为

按两种方式算出的应变能密度同为纯剪切的应变能密度，令其相等即可求出三个弹性常数间的关系，即

与例7-9得到的最终结论一致。

7.7应变能密度低碳钢试件拉伸时，首先沿着45°方向屈服、滑移、失效，最终沿45°方向局部颈缩断裂，如图(a)所示；低碳钢试件扭转时，沿着横截面被剪断，如图(b)所示；铸铁试件拉伸时，沿着横截面被拉断，如图(c)所示；铸铁试件扭转时，沿着45°斜截面被拉断，如图(d)所示。

7.8强度理论概述材料不同或外载荷的作用形式不同，其破坏形式也不尽相同。材料的破坏有断裂和屈服两种。低碳钢杆件轴向拉伸时，当横截面上的正应力达到ReL时就会出现屈服现象。此时材料进入塑性状态，产生大量不可恢复的永久变形，构件将不能正常工作，这就是屈服破坏，是塑性材料最常见的破坏形式。脆性材料最常见的破坏形式是断裂，这种破坏发生前，材料没有明显的塑性变形，具有突然性。

7.8强度理论概述从低碳钢和铸铁的试验中可以看出，不同材料的构件在相同载荷作用下的破坏现象不同，这说明不同材料的破坏机理是不同的。即使是同一种材料，在不同的应力状态下，其破坏现象也不一样。一般地，塑性材料常发生屈服破坏，脆性材料常发生断裂。但是塑性材料在三向等值拉应力作用下都会发生脆性断裂，而大理石这样的脆性材料在三向等值压应力作用下会表现出很好的塑性。可见材料的破坏形式还与所处的应力状态有关。

7.8强度理论概述在单向应力状态下，材料破坏的强度条件可以通过试验建立起来。实际构件的危险点的应力状态往往不是单向应力状态。复杂应力状态下，材料的破坏方式也比单向应力状态要复杂。由于应力的各种组合及各应力之间的比值无法通过试验一一穷尽，要得到复杂应力状态下的强度条件，通过试验是难以直接实现的，但也不是无章可循。通过各种应力情况的大量试验结果，总结出一般的规律，可以建立复杂应力状态下材料发生破坏的条件。

7.8强度理论概述

强度理论就是关于材料破坏条件的假说。这类假说认为，材料之所以按照某种方式(屈服或断裂)破坏，与其具体的应力分量无关，而与其应力分量的某种综合因素有关，或者说由其主应力的某种组合所决定。按照这类假说，无论是简单的还是复杂的应力状态，引起材料破坏的因素都是相同的。强度理论是否正确，适用于什么情况，必须由生产实践来检验。不同的强度理论有其各自的适用范围。

7.8强度理论概述四种常用的强度理论7.9.1

7.9四种常用的强度理论早期人们使用的建筑材料多为脆性材料(铸铁、石料等)，依据大量的脆性材料的破坏结果，提出了第一强度理论，也称为最大拉应力理论。该强度理论认为最大拉应力是材料断裂的主要因素。即无论应力状态如何，只要最大拉应力超过了极限值σu，材料就会发生断裂破坏。既然最大拉应力的极限值与应力状态无关，则可由单向应力状态确定它。单向拉伸时脆性材料的最大拉应力极限值为σu=σb，于是该强度理论的断裂准则为

σ1=σb引入安全因数n，得到该强度理论的强度条件为

或

σ1≤［σ］(7-54)试验证明，这一理论与铸铁、石料、混凝土等脆性材料的拉断破坏现象比较相符。无论是铸铁杆件的轴向拉伸和扭转，还是铸铁圆筒同时承受内压和轴向拉力，都与该理论比较相符。但这一理论没有考虑到其他两个主应力对材料断裂的影响，也不适用于脆性材料受压时的情况。

7.9四种常用的强度理论最大拉应变理论(第二强度理论)7.9.2为了补充第一强度理论，人们综合考虑三个主应力对脆性材料断裂的影响，提出了第二强度理论，也称为最大拉应变理论。该强度理论认为最大拉应变是材料断裂的主要因素。即无论应力状态如何，只要最大拉应变超过了极限值εu，材料就会断裂失效。根据广义胡克定律，最大拉应变为

7.9四种常用的强度理论可由单向应力状态确定这一极限值。单向拉伸时，σ2=σ3=0，最大拉应变的极限值为

于是该强度理论的断裂准则为

考虑安全因数，得到该强度理论的强度条件为

(7-55)

7.9四种常用的强度理论该强度理论对强度计算中最常遇到拉伸压缩二向应力状态比第一强度理论更接近实际情况，所以曾一度得到广泛应用，至今还在一些机械设计中采用。石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时，往往出现纵向裂缝而断裂破坏（见图)也符合该理论。但试验结果表明，该理论仅仅与少数脆性材料在某些情况下的破坏相符。脆性金属及砖、石料的拉断试验并不支持这一理论。石料在二向受拉下发生脆性断裂时，第一强度理论更接近于试验结果。

7.9四种常用的强度理论【例7-12】

7.9四种常用的强度理论

，

根据第一强度理论，有满足第一强度理论的强度条件。根据第二强度理论，对于A点的应力状态有

对于B点的应力状态有A点处的值超出［σt］大约10%，显然不满足该理论的强度条件。

7.9四种常用的强度理论最大切应力理论(第三强度理论)7.9.3塑性材料常见的破坏形式是屈服破坏。人们依据低碳钢单向拉伸试验给出了材料屈服的强度理论——第三强度理论，也称为最大切应力理论。该强度理论认为最大切应力是材料发生屈服的主要因素。无论应力状态如何，只要最大切应力超过了极限值τu，材料就会屈服失效。根据前面的应力状态分析可知

7.9四种常用的强度理论此准则常称为屈雷斯加(H.Tresca)准则。考虑安全因数，得到第三强度理论的强度条件为

σ1-σ3≤［σ］(7-56)

最大切应力理论较为满意地解释了塑性材料的屈服现象。例如，低碳钢拉伸时，在与轴线成45°的方向上出现滑移线，这正是最大切应力的作用面方向。塑性材料薄壁圆筒的试验结果也说明最大切应力屈服准则与其较为吻合。

7.9四种常用的强度理论畸变能密度理论(第四强度理论)7.9.4考虑到第三强度理论没有涉及中间主应力的影响，人们根据材料屈服失效的试验结果提出了第四强度理论，也称为畸变能密度理论。该强度理论认为畸变能密度是材料发生屈服的主要因素。只要畸变能密度vd超过了极限值τu，材料就会屈服失效。单元体内存储的弹性变形能包括体积变形能和畸变能。材料三向等值压缩时，发现应力很大时都不会发生屈服破坏。此时单元体只发生了体积改变，所以体积变形能密度vV不会引起材料的破坏。无论应力状态如何，当材料畸变能密度达到了某极限值时，材料就会发生塑性屈服。

7.9四种常用的强度理论单向拉伸时，可得到畸变能密度的极限值为，于是屈服准则为即此准则常称为米赛斯(R.V.Mises)准则。考虑安全因数，得到第四强度理论的强度条件为（7-57）或

7.9四种常用的强度理论几种塑性材料（如钢、铜、铝）的薄管试验资料表明，畸变能密度屈服准则比最大切应力屈服准则更接近实际。不过，第三强度理论也能给出比较满意的结果，而且计算方便，一直得到工程上的广泛应用。

7.9四种常用的强度理论【例7-13】图7-35

7.9四种常用的强度理论解：先按薄壁结构设计锅炉的厚度。在圆筒内壁的A点用一对横截面（垂直于圆筒的轴线x)，一对径向截面(通过圆筒轴线x)和一对相距为dr的圆柱面，自锅炉筒壁内侧取出一原始单元体，如图7-35(b)所示。此单元体三个面上的应力均为主应力，分别是

因为p的值远小于另外两个主应力，先略去不计，认为σ3=0。根据第三强度理论，根据式(7-56)得

解得t≥11.25mm。

7.9四种常用的强度理论根据第四强度理论，根据式(7-57)得

解得t≥9.75mm。可见，第三强度理论比第四强度理论更保守。根据两种强度理论设计的厚度的相对差别为

7.9四种常用的强度理论如选用壁厚t=9.75mm，t/d≈1/100，可以看出容器确属于薄壁结构。如果不忽略σ3，取厚度t=9.75mm，则有根据第四强度理论可得超出［σ］约2%，仍可以认为是安全的。可见忽略数值相对很小的主应力进行强度设计是合理的。

7.9四种常用的强度理论【例1-14】

7.9四种常用的强度理论图7-36

7.9四种常用的强度理论先按正应力强度条件选择截面。最大正应力发生在截面C的上、下边缘处［见图7-35(d)］，其应力状态为单向应力状态，根据弯曲正应力强度条件，有

所需的截面系数为

从型钢表查得，要符合上述条件最小为28a号工字钢，Wz=508cm3。显然，这一截面满足正应力强度条件的要求。

7.9四种常用的强度理论考虑截面C的剪力。如图7-36(d)所示，最大切应力发生在中性轴处，且为纯剪切应力状态。对28a号工字钢的截面进行切应力强度校核。由型钢表查得

7.9四种常用的强度理论以上考虑了危险截面上的最大正应力和最大切应力。但是在腹板与翼缘交界处，正应力和切应力都接近最大值，须对这些点进行强度校核。为此，取腹板与下翼缘交界的a点处的单元体，如图7-36(e)所示。根据28a号工字钢截面简化后的尺寸［见图7-35(d)］，求得横截面上a点处的正应力σ和切应力τ分别为

7.9四种常用的强度理论该点的三个主应力分别为

按第四强度理论对该点进行强度校核超出［σ］约15.5%，所以应另选较大的工字钢。若选用28b号工字钢，再按上