第3章 圆的基本性质期末复习（知识清单）（学生版）-浙教版(2024)九上

第3章圆的基本性质

1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆2.圆内的其他基本定义：（1）定点O叫做圆心，圆O一般写作（2）线段OP叫做圆的；（3）连结圆上任意两点的线段BC叫做；（4）经过圆心的弦AB叫做直径，直径也是弦，是圆上最的弦。（5）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如图中弧BC，可以表示成；3.点与圆的位置关系：d表示同一平面内点到圆心的距离（1）d＞r⇔点在圆；如图P1，∵OP1＞半径r，所以点P1在圆外；同理因为点P1在圆外，所以OP1＞r（2）d=r⇔点在圆；如图P2；（3）d＜r⇔点在圆；如图P3；PP1P2P34.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做；小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，半径相等的两个圆叫等圆，能够重合的圆弧叫做；5.圆的确定：不在上的三个点确定一个圆6.三角形与圆：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心.7.旋转三要素：、、8.(1)图形旋转所得的图形和原图形；(2)对应点到旋转中心的距离；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度9.有旋转必有等腰三角形→连结点与对应点，以及所构成的三角形是等腰三角形。10.垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的；11.关于垂径定理的推论：l2dr推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直ldr推论2：平分弧的直径弧所对的弦12.垂径定理相关计算常和直角三角形结合。如图所示，半径r、半弦长l2和弦心距d构成了直角三角形，因此有：13.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；14.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦也；15.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两个弦心距中有一对量相等，那么他们所对应的其余各对量都。（与圆心角有关的定理及应用都有一个前提，即“在同圆或等圆中”，不加这个条件对应结论不成立）AABOCDdd如图所示，在⊙O中，当∠AOB=∠COD，那么。16.圆周角：顶点在圆上，且角的两边都和圆相交的角做圆周角；17.圆周角的性质定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的；圆周角性质定理的推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是；推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角；相等的圆周角所对的弧也；如下图所示，在⊙O中，AB是直径，点C和点D分别是圆上两点，则可知：（1）根据性质定理可知∠CAB=12∠（2）根据推论1可知：∠ACB=，即为直角.（3）根据推论2可知：.（4）如果BC=BD，根据推论2可知：.AABCOD18.圆的内接四边形：一个四边形的各个顶点在同一圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形。圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角；19.根据圆内接四边形的性质定理可知：圆内接四边形的一个外角与其相邻内角的对角20.正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形.21.正n边形每个内角的度数=22.圆内接正多边形：我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫作圆内接正多边形。任何正多边形都有一个外接圆。23.弧长及扇形的面积：半径：R；圆心角：弧长公式：扇形面积公式：一、圆的认识1.圆内基本元素定义的辨析错误：错误理解半径为弦，或忘记直径是最长的弦。注意：在关于圆的基本元素定义的辨析中，主要注意以下几点重要内容：

①半径不是弦，半径一端为圆心，圆心不在圆上；②直径是弦，直径是圆上最长的弦，有无数多条；③弦所对的弧有两条；④长度相等的弧不一定是等弧，等弧需要两条弧完全重合。例1（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧2.点与圆的位置关系错误：要判断点与圆的位置关系时，不能转化为线段与半径的大小关系。注意：探究点与圆的位置关系时，主要是要确定圆心，然后确定半径，再确定点到圆心的距离所表示的线段。将每条表示距离的线段与半径进行比较，根据大小关系判断点与圆的位置关系即可。例2（24-25九年级下·全国·期中）已知矩形ABCD的边AB=6cm，(1)以点A为圆心、8cm为半径作⊙A，求点B，C，D与(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径3.不在同一直线上的三点确定一个圆错误：认为任意三个点都能确定一个圆，或认为两个点也能确定一个圆。注意：“不在同一直线上的三点确定一个圆”说明：需要不在同一直线上的三个点才有唯一确定的圆，其圆心为连结任意两点的线段的垂直平分线的交点，其半径为圆心与其中任意一点的线段长。例3（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个4.确定坐标轴或网格中圆弧所对应圆的圆心错误：不能通过坐标系或网格中的相关知识、结合全等三角形的性质作图，从而无法作已知线段的垂直平分线而得到圆心。注意：在坐标系或网格中，要作水平方向或垂直方向上线段的垂直平分线，则只要平行于坐标系的坐标轴，或网格上的网线即可；要作斜线段的垂直平分线时，只要关于线段作直角边水平或竖直的直角三角形，利用直角三角形的全等的性质，作出它的垂直平分线。如下图所示：例4（24-25八年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为0，4、点B的坐标为4，4、点C的坐标为5.图形旋转的性质错误：阅读图形旋转有关的题干信息时不能结合其性质，也不能根据全等图形的性质得到相关的等量关系。注意：图形旋转时，旋转前后的图形为全等图形；对应点到旋转中心的距离相等；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。例5（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转α0∘<α<180∘得到三角形EDC．若∠A．60° B．70° C．40° D．100°6.半角旋转模型错误：对“半角旋转模型”的结论认识不足，并混淆等腰直角三角形半角旋转模型和正方形半角旋转模型的结论。注意：“半角旋转模型”的结论如下：H（1）正方形半角旋转模型HA.如右图所示，正方形ABCD中，点E和点F分别为BC、CD边上一点，且∠EAF=45°（即∠EAF=12∠BAD），将直角三角形ADF绕点A顺时针旋转90°①△AFE≌△AF’E（通过∠FAE=∠F’AE=45°、AF=AF’，AE=AE可证）.②EF=EF’=BE+BF’=BE+DF，即BE、EF和DF三边的数量关系为EF=BE+DF.③EA与FA分别是∠BEF和∠DFE的角平分线.④过点A作EF的垂线，正好将△AEF分成两个直角三角形，且△ADF≌△AHF，△ABE≌△AHE，所以也有垂线段AH的长为正方形的边长.⑤根据①、④也可知S△AEF=S△ABE+S△ADFB.半角旋转模型的衍生：满足条件：在四边形中，对角互补，其中一个顶点相邻两边相等，关于该顶点作其内角的12下图中，已知AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠EAF=12∠BAD.以上类似结论同样可以在下图中得到AABCDEFF（2）等腰直角三角形半角旋转模型如右图所示，ABCEFF'在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点E,F分别是斜边BC上两点，且∠EAF=45°（即∠EAF=12∠BAD），将△ABCEFF①△AFE≌△AF’E（通过∠FAE=∠F’AE=45°、AF=AF’，AE=AE可证）.②△BEF’是直角三角形.③EF²=EF’²=BE²+BF’²=BE²+CF²，即BE、EF和CF三边的数量关系为EF²=BE²+CF².例6（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接【思路梳理】∵AB=∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与∵∠ADC∴∠FDG=180°，点F、D、(1)根据以上思路可以证明，△AFG≌（

），从而可得(2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若(3)如图3，AB=AD，∠BAD≠90°，∠EAF二、垂径定理1.用垂径定理计算错误：用垂径定理构建的直角三角形中，直接用弦长与弦心距、半径构建勾股关系。注意：对垂径定理构建出的直角三角形是由半径r、半弦长l2和弦心距d构成，因此有：（lldr例7（24-25九年级下·福建厦门·期中）如图，在⊙O中，弦AB=23，O到AB的距离OC=1，则2.用垂径定理列方程错误：利用（l注意：学会用（l例8（2024九年级上·青海西宁·竞赛）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，则3.学会作辅助线构造垂径定理“三要素”错误：对在圆内求线段长的问题，不能联系到垂径定理问题，不会通过作辅助线构造垂径定理“三要素”来建立直角三角形，进行计算或证明。注意：学会围绕垂径定理中“垂直平分弦”来构建直角三角形，常见的辅助线方法有两种：①是连结弦其中一个端点与圆心，连出半径；②是过圆心作弦的垂线，连出表示弦心距的线段。例9（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，CD为⊙O的弦，A、B为直线CD上两点，OA4.弦相对位置的分类讨论错误：多条弦相关的探究问题，在没有明确弦相对位置关系的情况下，没有进行分类讨论。注意：一般两种情况的弦的问题需要分类讨论，如下：（1）以两条平行的弦为背景的题目，注意讨论两条弦在圆心同侧还是异侧。（2）以两条有公共端点的弦为背景的题目，注意讨论两条弦在圆心同侧还是异侧。例10（24-25九年级上·浙江杭州·期中）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB=24,CD=10，则5.用垂径定理逆定理证明错误：遇到“弦中点”的已知条件时，不能根据垂径定理的逆定理来证明弦心距与该条弦垂直。注意：当已知条件涉及“弦中点”时，要将圆心与弦中点相连，就能得到连结的线段与该条弦垂直，为圆内的几何计算和证明提供重要条件信息。例11（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点，求证：AB6.垂径定理的实际应用错误：几何图形相关的实际应用，不能通过数形结合的思想、数学建模的思想将实际问题中的图形构建以圆为背景的几何问题，再通过垂径定理解决问题。注意：熟练数形结合和数学建模的思想方法，将实际问题转化为与圆相关的几何问题，再用与圆有关的知识解决问题。例12（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4(1)求桥拱的半径；(2)此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12三、圆心角、圆周角与圆内接四边形1.圆心角相关的计算问题错误：在圆内解决计算有关的几何问题，忘记“等腰三角形”的隐含条件。注意：如图，在⊙O中，圆心角为∠AOB，因为OA和OB均为半径，因此OA=OB，所以△AOB为等腰三角形。AABO例13（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，在以O为圆心的半圆中，AB是直径，点C是弧AB的中点，连接OC，OE平分∠COB交⊙O于点E，连接AE，则∠AEOA．20° B．22.5° C．30° D．45°2.圆心角相关的几何证明错误：在圆内解决证明有关的几何问题，忘记“等腰三角形”的隐含条件；也不能根据对应弦、对应弧的等量关系进行证明。注意：注意圆心角与对应弦构成的“等腰三角形”，注意如果两个圆心角、两条弧、两个弦心距中有一对量相等，那么他们所对应的其余各对量都相等。例14如图，O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．求证：(1)AD(2)CD=3.特殊的圆心角及弦长错误：圆心角与对应弦构成的等腰三角形中，特殊的内角构成特殊的等腰三角形。如果不能根据特殊的圆心角联想到特殊三角形，就无法从角信息转变为线段信息。注意：熟悉特殊的圆心角及对应的弦长，常见的特殊情况如下：AABO∵∠AOB=90°，∴AB=2rABO∵∠AOB=60°，∴AB=rABO∵∠AOB=120°，∴AB=3r例15（23-24九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP

4.圆周角度数是其所对弧圆心角的一半错误：不能将同弧的圆心角和圆周角的已知条件、问题所求进行联系。注意：熟练运用“圆周角度数是其所对弧圆心角的一半”这一性质，可以将圆中同弧或等弧所对的圆心角、圆周角联系在一起：当所求与圆心角相关时，注意根据其所对的弧找到对应的圆周角，通过已知条件求得圆周角，再求出对应圆心角及相关几何问题；同样的，当所求与圆周角相关时，注意找到其对应的圆心角，通过已知条件求得圆心角，再求出对应圆周角及相关几何问题.例16（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在⊙O中，若∠A=35°，则∠5.半圆（直径）所对的圆周角是直角错误：不能根据直径找到对应的圆周角，从而确定直角三角形。注意：半圆（直径）所对的圆周角是直角，因此可以得到新的直角三角形，与垂径定理相同，构建直角三角形是计算和证明圆中角、线段等几何问题的关键。例17（2025·宁夏·模拟预测）如图，AB是☉O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB=8,CD=26.90°圆周角所对的弦是直径——坐标系应用错误：在平面直角坐标系中不能根据“90°圆周角所对的弦是直径”确定直径。注意：在平面直角坐标系中，如果圆内的弦两端正好在x轴和y轴上，那么这条弦为该圆的直径。如下图所示，因为∠AOB=90°，所以线段AB即为直径.xxyOAB例18（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别交于点A8，0，B0，6，C是AO的中点，则⊙7.90°圆周角所对的弦是直径——动点问题错误：不能用“90°圆周角所对的弦是直径”来分辨出动点的轨迹为圆弧。注意：有些动点满足无论如何运动，都使得以其为顶点的角为直角，那么这个动点的运动轨迹为圆弧，且这个直角所对的固定长度的线段为该圆的直径。例19如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为8.同弧/等弧所对的圆周角相等错误：不能使用“同弧/等弧所对的圆周角相等”这一推论，在与圆有关的计算或证明中转移等量关系。注意：在圆内，充分利用“同弧/等弧所对的圆周角相等”这一性质，可以将同弧所对的多个圆周角列得等量关系，方便证明与计算。例20（2024年湖南省初中学业水平考试数学试题卷（万唯金卷））如图，直线AB，CD为⊙O的两条直径，点E在⊙O上，连接DE，点C为AE的中点，若∠AOC=50°，则例21（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在半径为5的⊙O中，AQ是⊙O的直径，点B，D是直径右侧半圆弧上的两点（点B，D不与点A，Q重合）．连接AB,OD,OB,(1)当OD⊥AB时，求(2)当OB∥AD时，求(3)设AC=x,S△BCO29.圆的折叠问题错误：圆的折叠问题往往忽视折叠前后的角相等，从而联系不到对应的弧相等.注意：对折叠能为我们带来全等图形，但在圆中，相等的线段或角度，可以衍生更多结论，这些结论就有可能是解决几何问题的关键。比如下图中，将圆沿着弦AB折叠，使得点C折到点C’处，延长AC’交圆于点D，可知∠CAB=∠C’AB，根据圆周角的性质可知，BC=AABCCD例22（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，AB是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧BC沿BC所在的直线折叠后与直径AB交于点D（D在O右侧），当AB=8，OD=2时，CD=10.圆内接四边形性质定理的运用错误：忽略圆内接四边形中对角互补的性质。注意：以圆为背景的关于求角的问题中，当有圆内接四边形时，注意对角互补的隐含条件。例23（2025·广东中山·三模）如图，△ABC为圆的内接三角形∠CAB=29°，∠B=34°，将△ABC绕四、正多边形1.正六边形的内角和对角线错误：对正六边形每个内角的度数，以及关键对角线与边的关系不熟悉。注意：如下。正六边形ABABCDEF①②（1）正六边形每个内角都是120°；（2）正六边形可以看作由六个全等的等边三角形拼成，如图②；（3）如果正六边形的边长为a，那么从正六边形一点出发的三条对角线中，AC=AE=3a，AD=2a.例24（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，正六边形的中心与坐标原点重合，若点A的坐标为-1,0，则点C的坐标为五、弧长与扇形面积1.探究多个圆弧运动下的路径弧长错误：求弧长时，不先明确圆心导致半径错误，在使用公式时算错。注意：（1）单条弧长求长度时，最重要是要确定圆心，才能确定半径大小，才能使用公式解弧长。（2）多个弧长的运动路径，主要先确定圆心，才能确定每段弧的半径长和弧长所对的圆心角，分别用公式求出每段弧长，再加起来，才是最终结果。常见的有“渐开线”的圆心呈周期性变化而半径不断增大，或者在几何图形的翻滚运动中的翻滚中心和半径长都呈周期性变化。①边长为1的正六边形中，从点A开始，依次以A、B、C、D、E、F、A为圆心作圆，生成如下图形：FK2:圆心点A，半径1K1K2:圆心点B，半径K2K3:圆心点C，半径K3K4:圆心点D，半径K4K5:圆心点E，半径K5K6:圆心点F，半径K6K7:圆心点A，半径......F→K7的路径长=60×1×π②直角三角形ABC在平面上向右滚动时点A的运动轨迹，视图如下：第一段：圆心为点B，半径为边AB长，角度为∠B外角；第二段：圆心为点A,半径为0，角度为∠A外角；（因此此段轨迹长为0，要格外注意）；第三段：圆心为点C，半径为边AC长，角度为∠C外角（即90°）。例25（24-25六年级下·上海·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°，AB=2，AC=1．将△ABC沿着直线l作顺时针方向的滚动．△ABC到△A'2.求解扇形的衍生图形面积错误：衍生图形不够熟悉，不能利用扇形联系到衍生图形面积的求法。注意：常见的衍生图形：由扇形OAB的面积减去等腰三角形AOB的面积即可。由正方形的面积减去圆的面积的差除以4即可；也可以是左上角正方形减去1/4圆的面积。由扇形BDE的面积减去直角三角形BCD的面积即可。由扇形OAD的面积减去扇形OBC的面积即可。例26（2025·宁夏中卫·三模）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长AB=2，则“勒洛三角形”与等边△ABC围成阴影部分的面积等于（结果保留3.求解组合图形、叠加图形的面积错误：常见的扇形与其他几何图形的组合，或者多个图形的重叠和拼剪无法确认哪些图形变形而成。注意：解决此类问题最主要是要将不规则图形变成规则图形，常见的解决办法如下：1.等量代换法：根据同底等腰的性质，根据同底等腰的性质，S△OCD=S△ACD，所以S阴=S扇OCD。2.割补法：3.加减规则图形法SS阴=S扇形ADE－（S矩形ABCD－S扇形CDF）例27（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A'的位置，则图中阴影部分的面积为1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法错误的有（

）①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3cm且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，是我们平常所用的两把三角尺，将△CDE绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周360°．在旋转过程中，当∠BCD是钝角时，旋转角度α的取值范围是（A．0°<α<30°或120°<α<180° BC．0°<α<60°或150°<α<210° D3.（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD=BD,∠AOCA．140° B．144° C．146° D．150°4.（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交弧AB于点C，测出AB=8cm，CD=2A．4cm B．5cm C．7cm D．10cm5.（2024年长沙市初中学业水平考试（数学）万唯临考金卷）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD，垂足为点E，若∠ADC=58°，则A．32° B．58° C．64° D．72°6.（2024九年级下·广东·学业考试）如图△ABC内接于⊙O．若∠A=75∘，∠B=60A．23 B．22 C．2+7.（2025·河南开封·一模）如图是完全展开的扇形纸扇，AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，DE的长为8A．252πcm2 B．248πcm2 C．8.（24-25九年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，AD是⊙O的