2025-2026学年第一章 勾股定理 测试题北师大版八年级数学上学期 含答案

/第一章勾股定理一、单选题1．下列每组数分别是三根木棒的长度（单位：），其中能摆出直角三角形的一组是（

）A． B． C． D．2．小敏从处向北偏东方向前行到处，再从处向某一方向前行到处，最后从处向某一方向前行回到处，则处在处的（）方向A．南偏东 B．南偏东或北偏西C．北偏西 D．北偏西或南偏东3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（

）A．3，4，5 B．2，6，7 C．1，3，4 D．3，6，84．如图，中，于H，则的长为（

）A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.25．已知一直角三角形的三边的平方和为200，则斜边长为（

）A．20 B．15 C．10 D．4006．在中，，，，则的长为（

）A．7 B．5 C．25 D．67．如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（）．A．5 B． C．6 D．8．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（

）A． B． C． D．二、填空题9．将一支长为的圆珠笔，放在底面内径为，高为的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为，则的取值范围是．10．如图，在棱长为3的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是．11．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．12．如图，在中，，，，点D、E分别是边上的动点，且，则的最小值．13．如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为．三、解答题14．如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且．(1)求证：；(2)若，求的长．15．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米．(1)求旗杆的高度；(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？16．某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长．17．如图，在中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的处，求折痕的长．18．如图，在中，，点Q为的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点B运动，连接，以为底边向下作等腰直角，设点P运动的时间为t秒．(1)求边的长．(2)用含t的代数式表示的长．参考答案1．C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断三边能否构成直角三角形，掌握以上知识是解答本题的关键；本题根据勾股定理的逆定理，对选项进行逐一判断，然后即可求解．【详解】解：A、，不能摆出直角三角形，不符合题意；B、，不能摆出直角三角形，不符合题意；C、，能摆出直角三角形，符合题意；D、，不能摆出直角三角形，不符合题意；故选：C．2．B【分析】先根据的三边长判断出的形状，求出与之间的关系，再根据两角之间的关系确定处在处位置即可．本题考查的是直角三角形在实际生活中的运用，解题的关键是根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再找出符合条件的角即可．【详解】解：∵，，，∴，即，∴是直角三角形，∴为直角，过向直线作垂线，则，，∴，故处在处的南偏东或北偏西．故选：B．3．A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对选项中的各个数进行计算判断，即可解题．【详解】解：A、，3，4，5能作为直角三角形的三边长，符合题意；B、，2，6，7不能作为直角三角形的三边长，不符合题意；C、，1，3，4不能作为直角三角形的三边长，不符合题意；D、，3，6，8不能作为直角三角形的三边长，不符合题意；故选：A．4．A【分析】本题主要考查了勾股定理，先根据勾股定理求出，再根据可得答案.【详解】解：在中，，根据勾股定理，得.∵，∴，解得.故选：A.5．C【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得，再由三边的平方和为200，得，根据两式即可求出斜边的长．【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，根据勾股定理得：，∵，∴，∴，∴（舍去负值）故选：C．6．B【分析】此题考查了勾股定理.在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，已知斜边，直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度.掌握勾股定理是本题的解题关键.【详解】解：在中，，∴．故选：B.7．B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．如图：过点B作，且使，连接，先由勾股定理求出，，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值．【详解】解：如图：过点B作，且使，连接，在中，，，，∴，，，在中，，，由勾股定理得：，，，，，，在和中，，，，，当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：，当点F，E，A共线时，为最小，最小值是，的最小值是故选：B．8．C【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得．【详解】解：由题意得：，，，，∴，设，则，∴，，又∵，∴，即，解得，∴，∴，故选：C．9．【分析】本题考查了勾股定理的应用，分当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长两种情况求解即可．【详解】解：如图，当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，如图所示，此时，，∴最短为；如图，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长，最长为，故的取值范围是，故答案为：．10．【分析】根据立方体的展开图，两点间线段最短，勾股定理解答即可．本题考查了立方体的展开图，两点间线段最短，勾股定理，熟练掌握勾股定理，展开图是解题的关键．【详解】解：根据立方体的展开图，两点间线段最短，得,故答案为：．11．15【分析】设米，则米，根据勾股定理，结合题意，得，解方程即可．本题考查了勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【详解】解：设米，则米，根据勾股定理，得（米），由两只猴子所经过的距离相等，得，∴米故，解得，故树高为：米，故答案为：15．12．【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接，由，，，求得，，而，则，推导出，可证明，得，由，得，所以的最小值为，于是得到问题的答案．【详解】解：作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接，∵，，，∴，，∵，即，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴的最小值为，故答案为：．13．2或【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．分，两种情形分析，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求即可．【详解】解：在中，，，，，当时，∴；当时，设，则，∵，，解得，，即，综上所述，的长为2或．故答案为：2或．14．(1)见解析(2)【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理（及逆定理）的应用，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到，进而通过边的关系转化证明直角或列方程求解．（1）连接，由垂直平分线性质得，结合已知等式转化为，利用勾股定理逆定理证；（2）设，用表示的长度，在中通过勾股定理列方程求解x．【详解】（1）证明：连接∵是的垂直平分线∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∵，且∴即∴是直角三角形，且（勾股定理的逆定理）即（2）解：设的长为x∵∴∵∴在中，由勾股定理得：即展开得：化简得：,即∴∴的长为．15．(1)12米(2)7米【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．（1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可；（2）先根据勾股定理求出，即可得解．【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，由题意知：米，，在中，，，解得：，答：旗杆的高度12米；（2）解：由（1）知，米，则米，米，米，答：珍珍应从A处向东走7米．16．，【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键．【详解】解：设，则．根据题意，得．∴，解得．∴．∴，．17．【分析】本题考查图形的翻折变换，掌握轴对称的性质是解决问题的关键．根据勾股定理易求，根据折叠的性质有，，，