2025-2026学年1.1 菱形的性质与判定同步练习北师大版数学九年级上学期 含答案

/1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质基础夯实知识点1菱形的定义1.如图，在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a(a<6)个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为 ()A.1 B.2 C.3 D.4知识点2 菱形边的性质2.如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为 ()A.(-4,2) BC.(-2,4) D.(-4,33.「2025四川成都铁路中学月考」如图，菱形ABCD的周长为20,E是AC的中点,F是AB的中点,连接EF,则EF=4.「2024四川广安中考」如图,菱形ABCD中,点E,F分别是AB,BC边上的点,BE=BF,求证:∠DEF=∠DFE.知识点3 菱形对角线的性质5.新课标优秀传统文化「2025山东青岛市北期中」中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图，小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形ABCD,测得BD=16cm,AC=12cm,则此菱形的周长为 ()A.28cm B.40cm C.56cm D.80cm6.「2025山西大学附中月考」如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(6，2),点D的坐标是(0,2),点A在x轴上,则点C的坐标是 ()A.(3,2) B.(3,3) C.(3,4) D.(2,4)7.解释教材变式如图,四边形ABCD是菱形,∠ACD=30°,BD=6,求:(1)∠BAD和∠ABC的度数.(2)AB和AC的长.8.「2024上海崇明模拟，☆☆」图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是 ()A.30° B.45° C.60° D.75°9.「2025陕西启迪中学月考,〔公〕如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,E是线段BD上一动点(点E不与点B、D重合),当△ABE是等腰三角形时,∠DAE的度数为 ()A.30° B.70°C.30°或60° D.40°或70°10.如图，在菱形ABCD中,点A、B、C、D均在坐标轴上,∠ABC=120°,点A(-3,0),点E是CD的中点,点P是OC上一动点，则PD+PE的最小值是 ()A.3 B.5 C.22 11.新㪧探究题「2024甘肃中考,☆☆」如图1,动点P从菱形ABCD的点A出发,沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为 ()A.2 B.3 C.5 D.22素养提优12.「2025四川成都七中月考」在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是直线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE(A,P,E逆时针排列),点E的位置随点P的位置变化而变化.(1)如图1,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是.(2)如图2,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立?若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE.若AB=23,BE=219请直接写出△APE的面积.菱形的判定基础夯实知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1.「2025山东济南济阳期中」在实验课上，为判断地板砖是不是菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对角分别相等，然后乙测量出，最后得到结论：地板砖是菱形.则横线处应填 ()A.两组对边分别相等 B.一组邻边相等C.两条对角线相等 D.一组邻角相等2.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是 ()知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.「2024内蒙古通辽中考」如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是 ()A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBDC.OA4.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形.5.教材变式「2023湖南永州中考」如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA=3，BD=8,AB=5.(1)△AOB是直角三角形吗?请说明理由.(2)求证:四边形ABCD是菱形.知识点3 四边相等的四边形是菱形6.「2025河南郑州期中」如图,在A△ABO中,AO=BO,∠O=120°,C是AB的中点,若将△ABO绕点C逆时针旋转180°，则旋转前后两个三角形组成的图形是 ()A.等腰梯形 B.菱形C.正五边形 D.正三角形7.「2025江西吉安十校联考」小明用四个全等的含30°角的直角三角尺拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有 ()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个8.如图，AC=8，分别以点A，C为圆心，以5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和点D.依次连接点D，A,B,C,D,连接BD、AC,交于点O.(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由.(2)求BD的长.9.如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是()A.AC=BD B.AC⊥BDC.AB=CD D.AB⊥CD10.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是()11.「2025辽宁沈阳大东月考,」如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF.(1)求证:AE∥BF.(2)若DF=FC,求证:四边形DECF是菱形.12.教材变式做「2024江苏扬州中考，〔如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD.(1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由.(2)已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2所示的位置时，四边形ABCD的面积为8cm²,求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数.素养提优13.新根据能力考虑分类讨论如图，在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,BC=10,点P从点B出发，沿射线BC方向运动，同时点Q从点D出发，沿DA方向运动，当点Q运动到点A时，点Q停止运动，设运动的时间为ts.(1)若点P每秒运动3个单位，点Q每秒运动1个单位，求当t为何值时，以P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形.(2)当点P每秒运动m个单位，点Q每秒运动n个单位时，若运动中能使以点P、C、D、Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系.第3课时菱形的性质与判定综合基础夯实知识点1菱形的面积1.如图,菱形ABCD中,AB=10,BD=12,菱形ABCD的面积为 ()A.60 B.120 C.192 D.962.如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是()A.245 B.6 C.485知识点2菱形的性质与判定的综合3.「2025山东青岛期中」如图,在菱形ABCD中,E是AD的中点,CE,BA的延长线交于点F,连接AC,DF.(1)求证:AF=CD.(2)连接BD,请判断BD与DF的位置关系,并说明理由.(3)当菱形ABCD满足∠ABC=°时,四边形ACDF是菱形.4.「2025河南郑州外国语学校期中」如图，在▱ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上,AC与EF交于点O,且EF垂直平分AC,连接AE,CF.(1)求证:四边形AECF是菱形.(2)若AC⊥AB,∠B=30°,AE=12,求四边形AECF的面积.能力提升5.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且BD=2AB,AE∥BD,OE∥AB.(1)求证:四边形ABOE是菱形.(2)若AO=4,四边形ABOE的面积是123,求BD的长.6.如图,已知等边△ABC中,AD⊥BC,E为AB中点.以D为圆心,适当长为半径画弧,交DE于点M,交DB于点N,分别以M、N为圆心，大于12(1)求证:四边形BDEF是菱形.(2)若AC=4,求△AFD的面积.素养提优7.如图，在边长为10的菱形ABCD中,对角线BD=16,对角线AC,BD相交于点G,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.(2)如图①,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?请说明理由.(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化?若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系.微专题对角线互相垂直的四边形的面积例题如图①，四边形ABCD的对角线AC⟂BD,则S四边形ABCD结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于应用：如图②，四边形ABCD是我们常见的风筝的图案，其中对角线BD的长为30cm,AC的长为40cm,AC垂直平分BD,垂足为E.求四边形ABCD的面积.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质基础夯实1.B∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,CE∥FD,CD=AB=4,∵将线段AB水平向右平移得到线段EF,..AB∥EF∥CD，∴四边形ECDF为平行四边形.根据菱形的定义可知,当CD=CE=4时,▱ECDF为菱形,此时a=BE=BC-CE=6-4=2.故选B.2C如图,过C作CN⊥x轴于N,过A作AM⊥x轴于M,∵点C的坐标为(3,4),∴ON=3,CN=4,∴OC=ON3.答案5解析··菱形ABCD的周长为20,∴BC=20÷4=5,∵E是AC的中点,F是AB的中点,∴EF是△ABC的中位线，∴EF=124.证明∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C,∵BE=BF,∴AB-BE=BC-BF,∴AE=CF,在△DAE和△DCF中,{∴△DAE≌△DCF(SAS),∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.5.B∵四边形ABCD为菱形,且BD=16cm,AC=12cm,∴AB=BC=CD∴菱形ABCD的周长=4AB=4×10=40(cm),故选B.6.C连接AC,BD,相交于点E,∵四边形ABCD是菱形,∴AE=CE,BE=DE,AC⊥BD,∵点A在x轴上，点B的坐标为(6，2)，点D的坐标为(0,2),∴BD=6,AE=2,∴DE=127.解析(1)∵四边形ABCD是菱形,∴DC=BC,AC⊥BD,∠BCD=2∠ACD,∠ABC=2∠CBD,∵∠ACD=30°,∴∠BCD=60°,∴∠BAD=∠BCD=60°,△BCD为等边三角形,∴∠CBD=60°,∴∠ABC=2∠CBD=120°.(2)∵四边形ABCD是菱形,△BCD为等边三角形,BD=6,AC⊥BD,∴AO=OC,BC=BD=6,∴AB=BC=CD=6.在Rt△COD中,∠ACD=30°,∴∴能力提升8.C如图,∵∠BAD=∠BAE=∠DAE,∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°,∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°,∵BC∥AD,∴∠ABC=180°-120°=60°,故选C.9.C在菱形ABCD中,∠ABC=80°,∴∠ABD=12∵△ABE是等腰三角形,点E不与点B、D重合,∴AE=BE或AB=BE.当AE=BE时,∠ABE=∠BAE=40°,∴∠DAE=100°-40∘=60综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE的度数为30°或60°,故选C.10A根据题意得E点关于x轴的对称点是BC的中点,设为点E',连接DE'交AC于点P,如图,此时PD+PE的值最小,为DE'的长.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,点A(-3,0),∴OA=OC=3,∠DBC=60°,BC=CD,∴△BCD是等边三角形,易得DE'=OC=3,即PD+PE的最小值是3.11C结合图象可得,当x=0时,PO=AO=4,当点P运动到点B时,PO=BO=2,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOB=∠BOC=90°,∴AB=BC=OA2+O方法总结动点与函数图象综合问题的解题策略(1)趋势判断法：根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势；(2)解析式计算法：根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；(3)定点求值法：结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除；(4)范围排除法：根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除.素养提优12解析(1)如图1,连接AC,延长CE交AD于点H,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵△APE是等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°,∵∠BAP+∠PAC=∠CAE+∠PAC=60°,∴∠BAP=∠CAE.在△BAP和△CAE中,{∴△BAP≌△CAE(SAS),∴BP=CE.∵四边形ABCD是菱形,.∴∠∵△ABC是等边三角形,∴∠BCA=60°,.△BAP≌△CAE,∴∠ABP=∠ACE=30°,∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=60°+30°=90°,∴CE⊥BC.故答案为BP=CE;CE⊥BC.(2)(1)中的结论:BP=CE,CE⊥BC仍然成立,理由如下：如图2，连接AC，.在菱形ABCD中,AB=BC,且∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,∴△APE是等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°,∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC,∴∠BAP=∠CAE.在△ABP和△ACE中,{∴△ABP,∠ABP=12∵.∠BCE=∠ACE+∠ACB=90°,∴CE⊥BC,∵(1)中的结论:BP=CE,CE⊥BC仍然成立.(3)△APE的面积为73或313详解：如图3，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O,作EF⊥AP于F,四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BD平分∠ABC,∠AB与(2)同理可知CE⊥BC,∵BE=219,BC=AB=2∵'=CE=8,∴DP=2,∴OP=5,AP∵△APE是等边三角形,∴S△APE=∴综上所述，△APE的面积为73或313第2课时菱形的判定基础夯实1.B由“甲测量出两组对角分别相等”推知该地板砖是平行四边形，则当乙测量出一组邻边相等时，该平行四边形地板砖是菱形，故选B.2.C选项A中，∵四边形是平行四边形，∴对角线互相平分，故A不一定是菱形.选项B中，∵四边形是平行四边形，∴对边相等，故B不一定是菱形.选项C中，根据三角形的内角和定理可得：180选项D中，∵四边形是平行四边形，∴对边平行，故D不一定是菱形.故选C.3.D选项A,∵∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意.选项B，∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,·∠ABD=∠CBD,..∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,.▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意.选项C，∵四边形ABCD是平行四边形,OB=OD,.OA²+OB²=AD²,∴OA²+OD²=AD²,..∠AOD=90°,∴AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形,故选项C不符合题意.选项D,.AD²+OA²=OD²,∴∠OAD=90°,∴OA⊥AD,∴AC与BD不垂直，∴▱ABCD不是菱形，故选项D符合题意.故选D.4.答案AD∥BC(答案不唯一)解析答案不唯一.当添加“AD∥BC”时,∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AC⊥BD,..四边形ABCD是菱形.5.解析(1)△AOB是直角三角形.理由:∵四边形ABCD是平行四边形，BD=8,∴(2)证明:由(1)可知∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.6.B如图,∵C是AB的中点,∴CA=CB.△ABO绕点C逆时针旋转180°得到△BAC',·BC'=AO,AC'=BO,∵AO=BO,∴B7D四个全等的含30°角的直角三角尺拼成如题图所示的三个图案，第一个与第三个图案中的四边形的四条边都相等，∴第一个与第三个图案是菱形.第二个图案如图.∵上图是由四个全等的含30°角的直角三角尺拼成的四边形,∴AD=BC=EF,CD=AB,··∠ADF=∠FEB=30°,∠AFD=∠FBE=90°,∴AF=12∴四边形ABCD是菱形.故选D.8解析(1)四边形ABCD为菱形.理由如下：由作法，得AB=AD=CB=CD=5,∴四边形ABCD为菱形.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴在Rt△AOB中,(OB能力提升9.C∵点E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点,∴EF10C选项A,由作图可知AC是BD的垂直平分线,.AB=AD,设AC与BD的交点为O,则OB=OD.易知AD∥BC,..∠ADO=∠CBO,又∠AOD=∠COB,∴△AOD≌△COB,∴AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,不符合题意;选项B,由作图可知AB=BC,AD=AB,∴BC=AD,又BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形,又AB=BC,∴四边形ABCD是菱形,不符合题意;选项C，由作图可知AB、CD是角平分线，只能得出四边形ABCD是平行四边形，符合题意；选项D，由作图可知∠DAC=∠CAB,∠DCA=∠ACB,.AD∥BC,..∠DAC=∠ACB,∴∠DAC=∠CAB=∠DCA,∴AB∥CD,AD=DC,结合AD∥BC可得四边形ABCD是菱形，不符合题意.故选C.11证明(1)∵AD=BC,:AD+CD=BC+CD,∴AC=BD,∵AE=BF,CE=DF,∴△AEC≌△BFD(SSS),∴∠A=∠B,∴AE∥BF.(2)∵△AEC≌△BFD,∴∠ECA=∠FDB,∴EC∥DF,∵EC=DF,∴四边形DECF是平行四边形,∵DF=FC,∴四边形DECF是菱形.12.解析(1)四边形ABCD是菱形,理由如下:如图1,作CH⊥AB,垂足为H,CG⊥AD,垂足为G,∵两个纸条为矩形,∴AB∥CD,AD∥BC,..四边形ABCD是平行四边形，∵S▱ABCD=AB·CH=AD·CG,且CH=CG,∴AB=AD,..四边形ABCD是菱形.(2)如图2,作AM⊥CD,垂足为M,∵S∴CD=4cm,∴AD=CD=4cm.在Rt△ADM中,AM=12素养提优13.解析(1)①如图,当点P在线段BC上时,DQ=t,PC=10-3t,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.若以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，则.DQ=PC,∴t=10-3t,..t=2.5.②当点P在BC的延长线上时,PC=3t-10.若以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，则DQ=PC,∴t=3t-10,∴t=5.综上,当t的值为2.5或5时,以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形.(2)①当点P在线段BC上时,若以点P、C、D、Q为顶点的四边形是菱形,则DQ=PC=CD=6,∴nt=10-mt②如图,当点P在BC的延长线上时,连接PQ,交CD于点E,·AB⊥AC,∴∠BAC=90°,.四边形ABCD是平行四边形，..CD∥AB,∴∠ACD=∠BAC=90°.若以点P、C、D、Q为顶点的四边形是菱形，则PQ⊥CD,CE=DE=3,PE=QE,DQ=PC,∴PQ∥AC.:AD∥BC,∴四边形ACPQ是平行四边形,∴PQ=AC=8,∴QE=PE=4,∴∴nt=mt-10=5,∴mt=15,∴m=3n.综上,当3m=2n或m=3n时,以点P、C、D、Q为顶点的四边形为菱形.第3课时菱形的性质与判定综合基础夯实1.D如图,连接AC,交BD于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,OA=OC,OB=OD,∵BD=12,∴OB=OD=6.在Rt△AOB中,AO=A∴菱形的面积为122.A∵四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,.BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD,∴∠BOC=90°.在Rt△OBC中,由勾股定理得OC=BC2−BO23.解析(1)证明;∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴∠AFE=∠DCE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,在△AFE与△DCE中,{∠(2)BD⊥DF.理