2025-2026学年1.2 矩形的性质与判定 同步练习北师大版数学九年级上学期 含答案

/1.2矩形的性质与判定矩形的性质基础夯实知识点1矩形的定义1.如图，在四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是.知识点2矩形边、角的性质2.「2024陕西中考」如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF.求证:AF=DE.3.如图,在矩形ABCD中,点M在边DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足为点N.(1)求证:AN=DM.(2)若AD=3,AN=4,求矩形ABCD的面积.知识点3矩形对角线的性质4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是()A.AB=AD B.AC⊥BDC.AC=BD D.∠ACB=∠ACD5.「2024甘肃中考」如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为()A.6 B.5 C.4 D.36.「2025四川成都实验中学月考」如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8.对角线AC,BD相交于点O.点E,F分别是AO,AD的中点,连接EF,则△AEF的周长为()A.6 B.7 C.8 D.97.「2025陕西蓝田期中」如图，已知矩形ABCD，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E.求证:AC=EC.知识点4直角三角形斜边上的中线的性质8.「2025吉林长春期末」如图,∠ACB=∠ADB=90°,E为AB的中点,AD与BC相交于点F.若∠CED=56°,则∠DCE的度数是 ()A.56° B.62° C.63° D.72°9.如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为.10.如图,∠MEN=90°,矩形ABCD的顶点B,C分别是∠MEN两边上的动点,已知BC=10,CD=5,则点D,E之间距离的最大值是.11.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由数学家刘徽创建的.“如果将一个几何图形任意切成多个小图形，那么几何图形的总面积等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为F,G,则EF+EG=.素养提优12.阅读材料，并完成相应的任务.三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图(1)，任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F.若EF=2AB,则射线BF是∠ABC的一条三等分线.证明:如图(2),取EF的中点G,连接AG,∵四边形BCAD是矩形,∴∠DAC=90°,AD∥BC.在Rt△AEF中,点G是EF的中点,.∴任务一：上面证明过程中得出“AG=1任务二：完成材料证明中的剩余部分.任务三：如图(3)，在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F,若BF=12矩形的判定基础夯实知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形1.如图,在▱ABCD中,E,F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.求证:四边形ABCD是矩形.知识点2对角线相等的平行四边形是矩形2.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是()A.∠A=90° B.∠B=∠CC.AC=BD D.AC⊥BD3.在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解：已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,OA=OC.小壮说:“若OA=OB,则四边形ABCD为矩形.”小刚说:“若∠ABC=∠BCD,则四边形ABCD为矩形.”小强说:“若∠1=2∠2,则四边形ABCD为矩形.”请判断三人的说法是否正确并任选其一进行证明.知识点3有三个角是直角的四边形是矩形4.如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是()A.测量一组对边是否平行且相等B.测量两组对边是否分别相等C.测量其中的三个角是否都为直角D.测量对角线是否相等5.「2025山东济南商河期中」如图,在▱ABCD中,CE⊥AB,AF⊥CD,垂足分别为E,F,求证:四边形AECF是矩形.能力提升：6.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是 ()7.如图，在四边形ABCD中,连接AC,BD,点E,F,G,H分别为AD,BD,CB和AC的中点,顺次连接EF,FG,GH和HE得到四边形EFGH.若AB⊥CD,AB=8,CD=12,则四边形EFGH的面积等于 ()A.36 B.32 C.24 D.208.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,点P是边AB上任意一点,过点P作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为点D,E,连接DE，则DE的最小值是 ()A.132 B.C.125 D.9.如图，在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动,若AC=12,BD=8,则经过秒后,四边形BEDF是矩形.10.如图,在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)求证:OE=OF.(2)若CE=12,CF=5,求OC的长.(3)连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形?请说明理由.素养提优11.新课新意识新实践操作题某数学兴趣小组，准备将一张三角形纸片(如图)进行如下操作，并进行猜想和证明.(1)用三角尺分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,画AF⊥DE于点F,请按此要求作图.(2)将(1)中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形(无缝隙无重叠)，并用三角尺画出示意图.(3)请判断(2)中所拼的四边形的形状，并说明理由.矩形的性质与判定综合基础夯实知识点 矩形的性质与判定综合1.「2024山西晋中寿阳月考」如图,▱ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,BF∥CE,CF∥BE.(1)求证:四边形BECF是矩形.(2)若∠ABC=60°,BC=6,求四边形BECF的周长.能力提升2.如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,且有一点P从B点沿BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P几何画板演示点作AD的垂线交AD于F点，则EF长的最小值为()A145 B.445 C.53.「2024甘肃兰州中考,☆☆」如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.(1)求证:四边形ADCE是矩形.(2)若BC=4,CE=3,求EF的长.4.「2025浙江金华横店八校联考，能」在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10.(1)若G,H分别是AD,BC的中点,则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E、F相遇时除外)?答:.(直接填空，不用说理)(2)在(1)的条件下,若四边形EGFH为矩形,求t的值.(3)在(1)的条件下,若G向D点运动,H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，则求四边形EGFH为菱形时t的值.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质基础夯实I答案∠A=90°(答案不唯一)解析添加的条件可以是∠A=90°(答案不唯一).理由:∵AB∥DC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.2.证明∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°,∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,在△ABF和△DCE中,{AB3解析(1)证明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,∴∠BAN=∠AMD.∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°.在△ABN和△MAD中,{.△ABN≌△MAD(AAS),∴AN=DM.(2)∵△ABN≌△MAD,∵BN=AD=3.在Rt△ANB中,A.4.C∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,∠ADC=90°,AD=BC,5.C··四边形ABCD为矩形,对角线AC,BD相交于点O,AB=2,∴OA=OB=OC=OD,··∠ABD=60°,..△OAB为等边三角形,..OA=OB=AB=2,∴OC=OA=2,∴AC=OA+OC=4,故选C.6.D··四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=8,∠BAD=90°,OB=OD=OA=OC.在Rt△BAD中,∵BD=AB27证明∵四边形ABCD是矩形,∴BD=AC,CD∥BE,又∵CE∥BD,∴四边形DBEC是平行四边形,∴BD=EC,∴AC=CE.8.B∵∠ACB=∠ADB=90°,E为AB的中点,∴△ACB和△ADB均为直角三角形，且点E是公共斜边AB的中点，∴EC=ED=12能力提升9.答案3解析∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,则S△AOK10.答案5+5解析如图,取BC的中点F,连M接EF、FD.∵∠MEN=90°,∴EF=FC=12BC=5.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,∴FD=11.解析连接OE，∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,BC=AD=12,AO=CO=BO=DO,∵AB=5,BC=12,∴AC=A∴S△BOC=S△素养提优12.解析任务一：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.任务二:剩余部分如下:∵EF=2AB,∴AB=AG,∴∠ABG=∠AGB,∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F,··AD∥BC,∴∠F=∠CBF,∴∠ABG=2∠CBF,∴∠ABC=3∠CBF,∴射线BF是∠ABC的一条三等分线.任务三：BF详解:取AC的中点H,连接BH,过点C作CG⊥BF于点C∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,··点H是AC的中点,∴AH=CH=BH,∴∠HAB=∠HBA,设∠HAB=∠HBA=x,∴∠BHF=2x,∵BF=12AC,∴BH=BF,∴∠F=∠BHF=2x,.∠CBE=90°,BF平分∠CBE,∴∠FBE=∠CBF=45°,∵∠FBE=∠HAB+∠F,∴x+2x=45°,..x=15°,..∠F=30°,∵CG⊥BF,CF=4,∴CG=2,∴FG=23,∵∠CBF=45°,∴∠BCG=45°,∴CG=BG=2,∴BF=BG+FG=2+2第2课时矩形的判定基础夯实1.证明.BE=CF,..BE+EF=CF+EF,即BF=CE..四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.又∵AF=DE,∴△ABF≌△DCE(SSS).∴∠B=∠C.··四边形ABCD是平行四边形，..AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°...平行四边形ABCD是矩形(矩形的定义).2.D选项A,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠A=90°时，平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意;选项B,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,..∠B+∠C=180°,当∠B=∠C时,∠B=∠C=90°，此时▱ABCD为矩形，故选项B不符合题意；选项C,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当AC=BD时,平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；选项D,,四边形ABCD是平行四边形,∴当AC⊥BD时,平行四边形ABCD是菱形,∴选项D不能判定▱ABCD为矩形，故选项D符合题意.故选D.3.解析三人的说法都正确.①选择小壮的说法证明，过程如下：证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠2,∠ADB=∠CBD,又∵OA=OC,∴△AOD≌△COB,..OD=OB=12BD,又OA②选择小刚的说法证明，过程如下：证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠2,∠ADB=∠CBD,又∵OA=OC,..△AOD≌△COB,∴OD=OB,∴四边形ABCD为平行四边形,..AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠ABC=∠BCD,∴2∠ABC=180°,..∠ABC=90°,∴四边形ABCD为矩形.③选择小强的说法证明，过程如下：证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠2,∠ADB=∠CBD,又∵OA=OC,∴△AOD≌△COB,..OD=OB,∴四边形ABCD为平行四边形,∴∠1=∠2+∠OBC,∠1=2∠2,.∠2=∠OBC,∴OB=OC,..OA=OD,..OA+OC=OB+OD,即AC=BD,..四边形ABCD为矩形.4.C选项A，测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；选项B，测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；选项C，测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意；选项D，测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意.故选C.5.证明CE⊥AB,AF⊥CD,..∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,..∠FAE=∠AFD=90°,˙∠AEC=∠AFC=∠FAE=90°,∴四边形AECF是矩形.能力提升6.A选项A,∴AD=BC=4,AB=CD=3,∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意；选项B,∵∠A=∠B=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形,故选项B不符合题意;选项C,∵∠A=∠B=90°,∠A+∠B=180°,.AD∥BC,∵AD=BC=4,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠A=90°,平行四边形ABCD为矩形,故选项C不符合题意;选项D,∵AB=CD=3,AD=BC=4,∴四边形ABCD是平行四边形,。AC=5,∴7C∵点E,F分别为AD,BD的中点,∴EF是△ABD的中位线，EF=12AB=4,EF‖·四边形EFGH为平行四边形，,AB⊥CD,..EF⊥EH,∴平行四边形EFGH为矩形,∴四边形EFGH的面积为6×4=24,故选C.8.B如图,连接CP,作CQ⊥AB于点Q,∵∠ACB=90°,AC=12,BC=5,.∴PE⊥BC,垂足分别为点D,E,∴∠PDC=∠PEC=∠DCE=90°,∴四边形PECD是矩形,∴CP=DE,.当CP与CQ重合时,CP的长最小,此时DE的长最小,.CQ=9.答案2或10解析设运动的时间为t秒，··四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=8,∴∴OE=OF=6-t或OE=OF=t-6,∴四边形BEDF是平行四边形，易知当EF=BD时,四边形BEDF是矩形,∴OE=OD,∴6-t=4或t-6=4,∴t=2或t=10,∵.经过2秒或10秒后,四边形BEDF是矩形,故答案为2或10.10.解析(1)证明:∵CE平分∠ACB,..∠ACE=∠ECB,∵MN∥BC,.∠ECB=∠OEC,..∠ACE=∠OEC,..OE=OC.同理可得OC=OF,∴OE=OF.(2)∵CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD,∴∠∵∠ACB+∠ACD=180°,∠ACE∴∴OC(3)当O在AC的中点处时,四边形AECF是矩形.理由：当O为AC中点时,OA=OC,由(1)可知,OC=OE=OF,∴OA=OC=OE=OF,∴四边形AECF为平行四边形,AC=EF,·平行四边形AECF为矩形.素养提优11.解析(1)如图①.如图②.(3)矩形.理由如下：如图，·∠MDB+∠BDE=180°,∠DEC+∠NEC=180°,∴点M、D、E、N在同一条直线上,∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE为△ABC的中位线,..DE‖∴四边形MBCN为平行四边形，由题意可得△MDB≌△FDA,△AFE≌△CNE,∴∠N=∠AFE,∵AF⊥DE,∴∠AFE=90°,∴∠N=90°,∴四边形MBCN为矩形.第3课时矩形的性质与判定综合基础夯实1.解析(1)证明:∵BF∥CE,CF∥BE,∴四边形BECF是平行四边形，··BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,·∠EBC=1·四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠ABC+∠BCD=180°,∠EBC(2)∵BE平分∠ABC,∠ABC=60°,∴∠EBC=30°,由(1)可知,∠BEC=90°,∴CE=12BC=3,∴BE=∵四边形BECF是矩形,∴CF=BE=33,B