2025-2026学年20.1勾股定理及其应用 同步练习人教版八年级数学下学期【附答案】

/第二十章勾股定理20.1勾股定理及其应用第1课时勾股定理及其验证知识要点分类练夯实基础知识点1勾股定理的探究与验证1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a，b，c，则以下结论正确的是（）A.bC.2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系.请你利用图20-1-1对勾股定理(即下列命题)进行验证，从中体会数形结合思想.已知:如图20-1-1,点B,C,D在一条直线上,∠B=∠D=∠ACE=90°,AB=CD=b,BC=DE=a,AC=EC=c.求证:a²+b2知识点2利用勾股定理进行计算3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,则BC的长为()A.2B.4C.8D.9T3变式)在平面直角坐标系中，点P(2，-4)到原点的距离等于()A.4B.6C.23D5.(2024攀枝花)已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和22,6.如图20-1-2,在△AB(中,∠ACB=90°分另以AC，AB为边向外作正方形，面积分别为S₁，S₂.若S1=3,S7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4.(1)若∠A=30°,则BC=,AC=;(2)若∠A=45°,则BC=,AC=8.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.(1)已知b=2,c=3,求a;(2)已知a:c=3:5,b=32,求a,c.规律方法综合练训练思维9.数学思想分类讨论若直角三角形的三边长分别为3,4,x,则x的值为()A.5B.5或7c.7D.210.下列各图中,不能证明勾股定理正确性的是（）11.如图20-1-4,以Rt△ABC的两边AB,BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm²，10cm²，则以另一边AC为直径向外所作半圆的面积为cm².12.如图20-1-5,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AB=5,BD=3,CD=AD,则AC=13.如图20-1-6,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AB的中点,过点D作ED⊥AB交AC于点E,求AE的长.典题变式勾股树方法指引“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.典例呈现图20-1-7中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm,正方形A,B,C的边长分别为6cm,5cm,5cm,则正方形D的边长为.变式训练1.(2025天津南开区月考)图20-1-8中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为()A.36cm²B.18cm²C.81cm²D.27cm²2.(2025天津滨海新区期中)图20-1-9中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是15，B的面积是12，C的面积是17，则D的面积为()A.16B.18C.20D.22第2课时勾股定理在实际生活中的应用A知识要点分类练夯实基础知识点1勾股定理的一般应用1.如图20-1-10，为了测出湖两岸A，B之间的距离，观测者在C处设桩，使△ABC恰好为一个直角三角形(∠ABC=90°).通过测量得到AC的长为10km，BC的长为8km，那么A，B之间的距离为()A.8kmB.6km2.宽为1.5m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长2.8m，宽2.8m；③号木板长4m，宽2.4m.可以从这扇门通过的木板是()A.①号B.②号C.③号D.均不能通过3.如图20-1-12，一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度为18m，倒下后树顶落在离大树根部12m处。这棵大树在离地面m处折断()A.3B.4C.5D.64.如图20-1-13，一根电线杆在离地面12米处各用15米长的铁丝向两侧地面拉线固定，则两个固定点之间的距离是.5.如图20-1-14，数学活动课上，老师组织同学们测量学校旗杆的高度AC，同学们发现将系在旗杆顶端的绳子拉直垂到地面后还多1米，同学们把绳子的末端拉开5米后，发现绳子末端刚好接触地面，求旗杆的高度.(旗杆顶端滑轮上方的部分忽略不计)知识点2梯子问题6.(2025连云港)如图20-1-15，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为m.7.长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上.(1)若梯子底端B离墙脚O0.7米，则这个梯子的顶端A距地面有多高?(2)在(1)的条件下，若梯子的顶端下滑了0.4米，则梯子的底端在水平方向滑动了几米?规律方法综合练训练思维8.如图20-1-17是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的取值范围是()A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤139.如图20-1-18是一架秋千的示意图，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送3m(水平距离BC=3m)时,秋千的踏板离地的垂直高度BF=1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索AD的长度为m.10.新情境数学文化下面是一个“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲.出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边.渔人观看忙向前，花离原位二尺远.能算诸君请解题，湖水如何知深浅?请你用学过的数学知识回答这个问题.典题变式勾股定理与方程思想——单、双勾股列方程方法指引当有以下两种情形时可利用勾股定理构造方程模型解之.(1)单勾股列方程：已知一个直角三角形的一条边，又知另外两条边之间的关系时，根据勾股定理列方程；(2)双勾股列方程：当两个直角三角形具有公共边或相等的边时，需要使用两次勾股定理构建方程.典例呈现如图20-1-20,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答.过点A作AD⊥BC于点D，如图.设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积.2变式训练1.如图20-1-21是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC=4m,BE=1m,则滑道AC的长度为m.2.铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距25km,C,D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,如图20-1-22,已知DA=15km,CB=10km.现要在铁路AB旁建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的距离相等，则收购站E应建在距A站km处.第3课时利用勾股定理作图、计算知识要点分类练夯实基础知识点1利用勾股定理证明1.已知:如图20-1-23,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD²+CD²=2AB².求证:AB=BC.知识点2利用勾股定理在数轴上表示实数2.如图20-1-24,在Rt△OAB中,OA=2,AB=1，OA在数轴上，以原点O为圆心，斜边OB的长为半径画弧，交数轴负半轴于点C，则点C表示的实数是()A.5B.−53.如图20-1-25,点A,B在数轴上表示的数分别为-1,1,∠ABC=90°,BC=2,以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为()A.2B.22C.224.在数轴上分别画出表示10,−知识点3勾股定理与网格5.如图20-1-26，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长是整数的边有()A.0条B.1条C.2条D.3条6.如图20-1-27，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点.以格点为顶点(端点)，分别按下列要求画图(不要求写画法和证明，但要标注顶点)：(1)在图①中,画三条线段AB,CD,EF,使AB(2)在图②中,画△ABC,使AB=3,BC=2知识点4勾股定理与图形折叠7.如图20-1-28,有一张直角三角形纸片，两直角边AC=4,BC=8,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为.8.如图20-1-29,折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求BF,CE及折痕AE的长.规律方法综合练训练思维9.(2025广西)如图20-1-30,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=2则AD=.10.T3变式)如图20-1-31,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形ABCD的四条边为边向外作正方形，正方形的面积分别为a，b，c，d.若a+d=12,则b+c=.11.如图20-1-32①②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合下列要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：(1)画一个面积为5的等腰直角三角形；(2)画一个一边长为22，面积为6的等腰三角形.12.如图20-1-33,已知AD是△ABC的中线,∠C=90°,DE⊥AB于点E.求证：A拓广探究创新练提升素养13.已知:在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,求BC的长.第1课时勾股定理及其验证1.A2.证明：由题意知四边形ABDE是梯形，梯形ABDE的面积可以表示为2×12ab+12c3.C4.D5.36.27.(1)223(2)22228.(1)a=5 (2)a=24,c=409.B10.C11.2π12.4213.25串题训练典例呈现14变式训练1.C2,C第2课时勾股定理在实际生活中的应用1.B2.C3.C4.18米5.12米6.2.47.(1)2.4米(2)0.8米8.A9.510.解：如图，设湖水深AB为x尺，则红莲总长BC为(x+0.5)尺,AC的长为2尺.在Rt△ABC中,根据勾股定理,得x2解得x=3.75,即湖水深3.75尺.串题训练典例呈现解:过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°.设BD=x,则CD=14-x.在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD2在Rt△ACD中,由勾股定理,得AD2∴15∴∴变式训练1.8.52.10第3课时利用勾股定理作图、计算1.