2025-2026学年22.2 二次函数与一元二次方程 预习讲义人教版数学九年级上学期 含答案

/2025-2026学年人教版数学九年级上册22.2二次函数与一元二次方程预习讲义思维导图学习目标理解二次函数与一元二次方程的联系，掌握二次函数图象与x轴交点的意义。会用判别式Δ判断二次函数图象与x轴的交点个数。能通过二次函数图象求一元二次方程的近似解。会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。知识点梳理1.二次函数与一元二次方程的关系联系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根。交点情况：Δ>0：方程有两个不等实数根，函数图象与x轴有两个交点。Δ=0：方程有两个相等实数根，函数图象与x轴有一个交点（顶点在x轴上）。Δ<0：方程无实数根，函数图象与x轴无交点。2.利用图象求方程的近似解当方程ax²+bx+c=0的根不易直接求解时，可通过画出函数y=ax²+bx+c的图象，观察其与x轴的交点横坐标，得到近似解。3.二次函数与不等式的关系y>0：对应x的取值范围是函数图象在x轴上方的部分。y<0：对应x的取值范围是函数图象在x轴下方的部分。4.实际应用如抛物线的最高点（最大高度）、落地点（方程的解）、最优解等问题。易错点提醒混淆判别式Δ的作用：误认为Δ仅用于判断方程根的情况，忽略其与函数图象的关系。忽略a≠0的条件：在讨论二次函数时，未确认二次项系数a≠0。近似解误差过大：画图不准确导致求得的近似解偏差较大。符号错误：在分析不等式时，混淆“y>0”和“y<0”对应的x范围。实际问题忽略限制条件：如时间、长度等物理量未考虑实际意义（如非负性）。知识点小结核心思想：二次函数图象与x轴的交点对应一元二次方程的根，判别式Δ决定交点个数。关键结论：Δ>0→两个交点→方程有两个不等实根。Δ=0→一个交点→方程有两个相等实根。Δ<0→无交点→方程无实根。应用方法：数形结合：通过函数图象分析方程的解和不等式解集。实际问题中，先建立函数模型，再结合方程求解。注意事项：画图时注意精确性，避免近似解误差过大。使用判别式前确保方程为标准形式（ax²+bx+c=0）。注：本节是二次函数与方程的综合应用，重点理解图象与方程的关联，掌握数形结合的分析方法，为后续学习二次函数与实际问题奠定基础。巩固练习一、选择题1．已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数y的部分对应值如下表：x…-3-2-101…y…-1-4-1823…则方程ax2+bx+c=0的一个解x=t的取值范围下列可能的是（）A．-3<t<-2 B．-2<t<-1 C．-1<t<0 D．0<t<12．下表是一组二次函数y=11.11.21.31.4-1-0.490.040.591.16那么方程x2A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.33．将方程x+1x−2=1的两根记为x1、x2x1<x2，方程10x+1A．x1<xC．x1<x4．二次函数y=ax2+bx+caA．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．小吴用描点法画二次函数y=x2x……1234……y……−4−305……A．4 B．3 C．2 D．16．如图，已知二次函数y=ax2+①abc<0；②x<0时，y的值随x值的增大而减小；③3a+c>0；④若关于A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题7．将二次函数y=−x2+28．对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数y=−2（1）若2是此函数的不动点，则m的值为．（2）若此函数有两个相异不动点a与b(a≠b)，且a9．已知二次函数y=ax2+2ax10．已知二次函数y=kx11．抛物线y=2x2−4x12．二次函数y=ax2+bx+x−1013y−1353下列结论：

①ac<0；

②当x>1时，y的值随x的增大而减小；

③3是方程ax2+(b−1)x+c=0三、解答题13．二次函数y=axx…−1034…y…04m0…（1）直接写出m的值，并求该二次函数的解析式；（2）当1<x（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．（4）若方程ax14．如图，抛物线y=−x2+bx+c（1）求抛物线的解析式；（2）当点P到x轴的距离为8时，求m的值；（3）当图象G的最大值与最小值的差为4时，求m的取值范围．15．阅读下列材料我们通过下列步骤估计方程2x2+x﹣2=0的根的所在的范围．第一步：画出函数y=2x2+x﹣2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，1之间．第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0；当x=1时，y=1＞0．所以可确定方程2x2+x﹣2=0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；取x=0+12=1又因为当x=1时，y＞0，所以12＜x1（1）请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；（2）在﹣2＜x2＜﹣1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小至m＜x2＜n，使得n﹣m≤14

参考答案1．C2．C3．C4．C5．B6．C7．−2148．（1）-2（2）m＞189．−310．k≥−411．x1=-1，x2=312．①③④13．（1）m=4；（2）−6<（3）x（4）k14．（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c∴−1+b解得：b=−4∴抛物线的解析式为y=−（2）解：∵点P的横坐标为m，点P是抛物线上的任意一点，

∴Pm,−m2−4m+5，

∵点P到x轴的距离为8，

∴−m2−4m+5=8或−m2−4m+5=−8，

当−m2−4m+5=8时，整理得m2+4m+3=0，

（3）解：∵抛物线的解析式为y=−x2−4x+5，与∴C∵图象G的最大值与最小值的差为4，①当点P在点C上方时，∵y=−x−m解得m=−4∴−4≤m②当点P在点C下方时，此时点P在点C左侧，不满足题意，∴点P在点C右侧，∴5−−解得m=−2+22或综上所述，m的取值范围是−4≤m≤−2或15．（1）解：因为当x=﹣2时，y＞0；当x=﹣1时，y＜0，所以方程2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是﹣2＜x2＜﹣1．…（2）解：取x=(−2)+(−1)2=﹣32，因为当x=﹣32