2025-2026学年23.2 解直角三角形及其应用 同步练习沪科版九年级数学上学期 含答案

/23.2解直角三角形及其应用同步练习一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。1.如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则sin∠BAC的值为(

)A.34B.35C.452.如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯.其与水平面所成的夹角为α，则该电梯的竖直高度AC为(

)

A.50.3sinα B.50.3cosα C.50.3sin3.一个立方体木块静止在斜面OA上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直.若斜面的坡角∠1=30°，则支持力F2与重力G方向的夹角∠2的度数为(

)A.210°B.150°

C.130°D.120°4.如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西50°方向航行，乙船同时从港口O出发，沿OA方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里.则乙船航行的方向是(

)A.南偏西40°方向B.西偏南50°方向

C.西偏南40°方向D.西南方向5.如图，通信公司在斜坡AB上建5G基站塔BC，在A处测得塔顶C的仰角为45°，在D处测得塔顶C的仰角为60°，则∠ACD的度数为(

)A.10°B.15°C.20°D.25°6.如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB，O为AB的中点，它的支撑柱OH垂直于地面，垂足为点H，当AB一端A着地时，∠BAH=α，则支撑柱OHA.120⋅sinαcm B.120⋅tanαcm C.7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD为BC边上的中线.若AC=3，CD=2A.34B.25C.358.如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰△ABC，AB=AC，其中斜坡AB与水平地面BC所成夹角∠ABC=25°，当BC=4米时，土堆顶端A.4tan25°米 B.2tan25∘米 C.2二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。9.如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？______.(填是或否)(可能用到的参考数值：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，10.一人乘雪橇沿坡比1：3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(m)与时间(s)之间的关系为11.在锐角▵ABC中，AB=BC=10，若cosB=312.若某人沿斜坡从B到A行走了15米，上升高度AC为9米，则此斜坡的坡度为______．13.人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB、AC的长都为2m，当α=65°时，人字梯顶端离地面的高度是

m.(结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cos14.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=35°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β15.如图，已知传送带与水平面所成角度是30°，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为______米.16.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时A，B两处相距______海里.(结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远洋”号、“神鹰”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远洋”号每小时航行16nmile，“神鹰”号每小时航行12nmile，它们离开港口三个半小时后分别位于点A，B处，且相距70nmile．

(1)试判断△APB的形状；

(2)18.(本小题8分)

图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩(15m≤AC≤26m)，且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE(90°≤∠CAE≤150°)，转动点A距离地面BD的高度AE为3m.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73)

(1)当起重臂AC19.(本小题8分)

如图为一名滑板运动员在滑板过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的膝盖以下部分FD与斜坡AC垂直，大腿FG与斜坡AC平行，H为头部.假设三点D，F，H三点在同一条直线上，且头部到斜坡的距离DH为1.04米，上身HG与大腿夹角∠HGF=53°，膝盖F与滑雪板后端E的距离EF长为0.8米，若∠FED=30°，则此运动员的身高约为多少米？(结果精确到0.01米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.6020.(本小题8分)

如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资.甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行.乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为25公里/小时.若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度.(参考数据：2≈1.4，21.(本小题10分)

如图，BC/​/AD，斜坡AB的长为10米，坡度i=1：3，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70°，点B到旗杆底部C的距离为4米．

(1)斜坡AB的坡角α=______；

(2)求旗杆顶端离地面的高度ED的长.(结果精确到整数位，参考数据：22.(本小题10分)

为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，A，B，C，D在同一平面内.A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．

(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，7≈2.65)

(1)求BD的长度(结果保留小数点后一位)；

(2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B答案和解析1.【答案】B

【解析】解：如图，CD=3，

由勾股定理得AC=32+42=5，

∴sin∠BAC2.【答案】A

【解析】解：∵∠C=90°，∠B=α，AB=50.3m，

∴AC=AB⋅sinB=50.3×sinα=50.3sinα(米)3.【答案】B

【解析】解：如图，∵重力G的方向竖直向下，∠1=30°，

∴∠3=60°，

∴∠4=∠3=60°，

∵摩擦力F1的方向与斜面平行，

∴∠5=180°−∠4=120°，

∵支持力F2的方向与斜面垂直，

∴∠2=360°−∠5−90°=150°，

故选：B．

根据题意，结合图形，由重力向下垂直，得到∠3的度数，利用对顶角相等得到∠4的度数，结合摩擦力F1与斜面平行，得到∠5，利用周角概念，得到结果．4.【答案】A

【解析】解：连接AB，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西50°方向航行，乙船同时从港口O出发，沿OA方向以12海里/时的速度航行，

由题意得：AO=16×1=16(海里)，BO=1×12=12(海里)，AB=20(海里)，∠AOM=50°，

∵202=162+122，即AB2=OA2+BO2，

∴∠AOB=90°，

∴∠BON=180°−90°−50°=40°，

∴乙船航行的方向是南偏西40°方向，

故选：A．5.【答案】B

【解析】解：如图：延长CD交AG于点F，

由题意得：DE/​/AG，

∴∠CDE=∠CFG=60°，

∵∠CFG是△ACF的一个外角，

∴∠ACD=∠CFG−∠CAF=60°−45°=15°，

故选：B．

延长CD6.【答案】A

【解析】解：∵O为AB的中点，AB=240cm，

∴OA=12AB=120(cm)，

在Rt△AOH中，∠BAH=α7.【答案】C

【解析】解：∵AD为BC边上的中线，CD=2，

∴BC=2CD=4，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，

∴AB=AC2+8.【答案】C

【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC=12BC=2米，

在Rt△ADB中，∠ABC=25°，

∵tan9.【答案】否

【解析】解：根据天花板与地面平行，可知∠CAB=27°，CB=AC⋅tan∠CAB=4×0.51=2.04(米)，

因为2.04>1.78，

10.【答案】32m【解析】解：设斜坡的坡度角为α，则tanα=13=33，

∴α=30°，

在s=8t+2t2中，当t=411.【答案】2

【解析】该题考查了解直角三角形和勾股定理，过点作AD⊥BC，则cosB=BDAD=BD10=35，得出【详解】解：如图，过点作AD⊥则cosB解得：BD=6∴AD=∴tan∵AB∴∠BAC∴tan故答案为：2．12.【答案】1：43【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15米，AC=9米，

由勾股定理得：BC=152−92=12(米)，

则斜坡AB的坡度为：AC：BC=9：12=1：43，

故答案为：1：4313.【答案】1.8

【解析】【分析】

过点A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，求出AD即可．

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

【解答】

解：过点A作AD⊥BC，

∵AB=AC=2m，AD⊥BC，

∴∠ADC14.【答案】125°

【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α=35°，

则∠DBC=90°+35°=125°，

∵OE/​/AD，

∴β15.【答案】10

【解析】解：已知传送带与水平面所成角度是30°，把物体送到离地面5米高的地方，如图，

∴∠AEB=90°，∠ABE=30°，AE=5米，

∴AB=2AE=2×5=10(米)，

故答案为：10．

根据30°角所对直角边等于斜边的一半求解即可．16.【答案】112

【解析】解：如图，∠NPA=37°，AP=80海里，

∴∠PAC=∠NPA=37°，

∴在Rt△APC中，AC=AP⋅cosA≈80×0.80=64(海里)，

PC=AP⋅sinA≈80×0.60=48(海里)，

∵∠SPB=45°，

∴∠CPB=∠CBP=45°，

∴17.【答案】直角三角形；

北偏东40°方向．

【解析】(1)根据题意，PA=16×3.5=56nmile，PB=12×3.5=42nmile，AB=70nmile，

∵PA2+PB2=562+422=4900=AB2，

∴△APB为直角三角形；

(2)∵“神鹰”号沿北偏西50°方向航行，

∴∠NPB=50°，

由(1)知∠APB=90°，

∴∠NPA18.【答案】15m

消防车能对该户居民家进行有效救援．

当∠CAE=150°，AC=26m时，云梯消防车能达到最高高度，

由

同理可得，∠EAG=90°，

∴∠CAG=∠CAE−∠EAG=150°−90°=60°，

在Rt△AGC中，【解析】(1)过点A作AG⊥CF于点G，则AE=FG=3m，∠EAG=∠AGC=90°，∠CAE=127°，

∴∠CAG=∠CAE−∠EAG=37°，

∵AC=20m，sin∠CAG=CGAC，

∴CG=AC⋅sin∠CAG=20×sin37°≈12m，

∴CF=CG+GF=15m，

即云梯消防车最高点C距离地面的高度CF约为15m；

(2)消防车能对该户居民家进行有效救援．

当∠CAE=150°，AC=26m时，云梯消防车能达到最高高度，

由(1)同理可得，19.【答案】约为1.68m．【解析】解：在Rt△FDE中，∠FED=30°，EF=0.8m，

则DF=12EF=12×0.8=0.4(m)，

∵DH=1.04m，

∴HF=DH−DF=1.04−0.4=0.64(m)，

在Rt△HFG中，∠HGF=53°，

∵20.【答案】甲船的平均速度约为35公里/小时．

【解析】解：如图，过点C作CD⊥AM，垂足为D，

由题意，得∠CAD=75°−45°=30°，∠CBD=75°−30°=45°，

设CD=a公里，

在Rt△CDB中，BC=CDsin∠CBD=2a公里，

在Rt△ADC中，AC=CDsin∠CAD=2a公里，

∵两船同时到达C处海岛，

∴ACv甲=BCv乙，

21.【答案】30°；

16米．

【解析】(1)∵坡度i=1：3，即tanα=i=13=33，

∴∠α=30°，

故答案为：30°；

(2)作BF⊥AD，垂足为F，

在Rt△ABF中，∠α=30°，斜坡AB的长为10米，

∴BF=12AB=5米，

在矩形BFDC中

BF=CD=