2025-2026学年30.4 二次函数的应用 随堂演练冀教版数学九年级下学期【附答案】

/30.4二次函数的应用一、选择题1．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）22．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（）A．2月和12月 B．2月至12月C．1月 D．1月、2月和12月3．如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面2m时，水面AB的宽度为4有下列结论：①当水面宽度为5m时，水面下降了1.125②当水面下降1m时，水面宽度为2③当水面下降2m时，水面宽度增加了(4其中，正确的是（）A．0 B．1 C．2 D．34．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球最高时，运动的时间是（）A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒5．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米 B．3米 C．5米 D．6米6．运动会上，某运动员掷铅球时，所掷铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y=﹣112x2+23x+A．6m B．12m C．8m D．10m7．如图，矩形OABC中，A−3,0，C0,2，抛物线y=−2x−m2A．−3≤m≤0 B．−3≤m≤−1 C．8．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为48mA．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确C．两人均正确 D．两人均错误9．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（）A．55 B．56 C．57 D．5810．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A．y= B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=11．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2 B．183m2 C．243m2 D．4512．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（）A．0.4米 B．0.16米 C．0.2米 D．0.24米13．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界 D．无法确定二、填空题14．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售价提高元时，可以使每天的销售利润最大．15．小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h（单位：米）与在空中飞行的时间t（单位：秒）满足函数关系：h=−4t2+12t16．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为．17．如图是王明正在设计的一动画示意图，×轴上依次有A，B，C三个点，且AB=2，在BC上方有五个台阶（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离BD=10．从点A处向右，上方沿抛物线y=-x2+4x+12发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是．三、解答题18．如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。19．近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火.某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个.如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个.若现提价销售，设销售单价提高x元，每周的销售利润为y元.（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围.（2）当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润.20．如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M,N之间的距离为20米，A,B两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C,D为桥面钢丝的固定点，（1）以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，垂直于MN的直线为y轴构建平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．（2）现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，为了广告效果，海报底边与桥面平行且距离为20米，海报顶边的两个顶点在钢拱圈上，求海报的面积．21．【情境探究】小明和小强做弹力球游戏．游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜．【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示．一次游戏过程中：小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向直线和竖直方向直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2米的A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2m处，达到飞行最大高度为3.6m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离BC=4【问题解决】（1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式；（2）小强在距起点8米处放置接球板EF，EF垂直地面于点E，且EF=1

答案1．D解：依题意，得y=a（1+x）2．故答案为：D．2．D解：由题意知，利润y和月份n之间函数关系式为y=﹣n2+14n﹣24，∴y=﹣（n﹣2）（n﹣12），当n=1时，y＜0，当n=2时，y=0，当n=12时，y=0，故停产的月份是1月、2月、12月．故答案为：D．3．D解：如图，建立平面直角坐标系，坐标原点O在AB上，AB所在直线为x轴，y轴过抛物线顶点C，根据题意得，AB=4，OC由对称性知OA=∴A−2，0，B设抛物线解析式为y=B2，0解得，a=−∴y=−设水面AB下降到A'当水面宽5米时，设B'则n=−∴水面下降了1.125m当水面下降1m设B'm,−1解得，m=∴水面宽度为26当水面下降2m设B't,−2解得t=2∴水面宽度为42∴水面宽度增加了(42故选D．4．C解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，∵﹣5＜0，0≤t≤6，∴抛物线开口向下，当t＝3时，h有最大值，最大值为45，∴小球运动3秒时，小球最高，故选：C．

5．D解：h=﹣5t2+10t+1=﹣5（t2﹣2t）+1=﹣5（t﹣1）2+6，故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m．故选：D．6．D解：把y=0代入y=﹣112x2+23x+53得：﹣112x2+解之得：x1=10，x2=﹣2．又x＞0，∴x=10，故选：D．7．D解：抛物线y=−2∵A−3,0，C∴−3≤m∴-1≤m≤0，故选：D．8．B解：设垂直于墙的一边为xm，则隔离区的另一边为(24−3x∴S根据题意，得不等式组24−3x解得：42当S=48时，−3解得x1当S=36时，−3解得x1=6，故小亮说法正确．故选：B．9．A解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意得，y=−10=−10=−10即当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行团可以获得最大的营业额，故答案为：A．10．C解：依题意设抛物线解析式y=ax2，把B（5，﹣4）代入解析式，得﹣4=a×52，解得a=﹣425所以y=﹣425x2故答案为：C．11．C解：如图，过点C作CE⊥AB于

∴∠AEC=∠CEB=90°，

∵四边形ABCD是直角梯形，

∴∠A=∠ADC=∠AEC=90°，

∴四边形ADCE是矩形，

∴CD=AE，AD设CD=AE=x，

∵BC+CD=12，

∴BC=12−x，

∴梯形ABCD的面积为：S=∴当x=4时，梯形ABCD的最大面积为243m故答案为：C．12．C如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，设抛物线解析式为y=ax2，由题知，图象过B（0.6，0.36），代入得：0.36=0.36a∴a=1，即y=x2．∵F点横坐标为-0.4，∴当x=-0.4时，y=0.16，∴EF=0.36-0.16=0.2米故答案为：C．13．C解：根据题意，将点A(0，2)代入y得：36a+2.6=2，解得：a∴y与x的关系式为y当x=9时，y∴球能过球网，当x=18时，y∴球会出界.故答案为：C.14．4解：设销售价提高a元时，每天的销售利润为w元，由题意得：w整理得w=−10由二次函数的性质可知，当a=4即销售价提高4元时，可以使每天的销售利润最大，故答案为：4．

15．3解：∵h=−4t2+12t=−4∴当t=∴当篮球在空中的飞行时间为32故答案为：32．

16．l=﹣2m2解：把x=m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得AD=﹣m2+6m把y=﹣m2+6m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得﹣m2+6m=﹣x2+6x解得x1=m，x2=6﹣m∴C的横坐标是6﹣m，故AB=6﹣m﹣m=6﹣2m∴矩形的周长是l=2（﹣m2+6m）+2（6﹣2m）即l=﹣2m2+8m+12．17．（5，7）解：如图所示，以BD的延长线为y轴，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

∵每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离BD=10，

∴对于①~⑤个台阶有：

台阶①：0≤x≤1.5，y=10；

台阶②：1.5＜x≤3，y=9；

台阶③：3＜x≤4.5，y=8；

台阶④：4.5＜x≤6，y=7；

台阶⑤：6＜x≤7.5，y=6，

∵y=-x2+4x+12=-（x-2）2+16，

∴对称轴x=2，

∴当0≤x≤1.5，12≤y≤15.75，台阶①高为10，即抛物线与台阶①无交点，P点不会落在台阶①处，

当1.5＜x≤3，15≤y≤16，台阶②高为9，即抛物线与台阶②无交点，P点不会落在台阶②处，

当3＜x≤4.5，9.75≤y≤15，台阶③高为8，即抛物线与台阶③无交点，P点不会落在台阶③处，

当4.5＜x≤6，0≤y≤9.75，台阶④高为7，即抛物线与台阶④处存在交点，P点落在台阶④处，

∴令y=-（x-2）2+16=7，

∴解得x=5或-1（舍去，不符合题意），

∴此时落点P的坐标为（5，7）.

18．如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设DN=x，PN=y，则面积S=xy①，∵点P在AB上，由△APQ~△ABF得，4−即：x=10-2y，∴代入①，得S=(10-2y)y=-2y2+10y即S=−2(y即：x=10-2y，∴代入①，得S=(10-2y)y=-2y2+10y即S=−2(因为3≤y≤4而y=52所以y=52当y=3时，S=12；当y=4时，S=8，故面积的最大值是S=12，此时，钢板的最大利用率是80%。19．（1）解：设销售单价提高x元，则每组销售量为120−4x个，单个公仔利润为(10+∴每组销售利润y∵售量不能为负，∴0⩽答：y（2）解：函数y=−4x2+80x+1200开口向下，存在最大值.

当x=−b220．（1）解：如图，建立平面直角坐标系，

则OM=ON,OC=OD,

∵CD=90米，MN=20米，

∴CO=DO=45米